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層次分析法 論文

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層次分析法 論文

歐洲五大足球俱樂部的數(shù)學(xué)建模分析論文統(tǒng)計(jì)學(xué) 楊子清 101201010117前言:縱觀當(dāng)今歐洲足壇,風(fēng)起云涌,豪強(qiáng)并起。巴薩皇馬,稱雄西甲;德甲拜仁,一枝獨(dú)秀;藍(lán)黑軍團(tuán)國際米蘭,逐鹿意甲之天下;英超一霸切爾西,竟然也能在高手如林的歐冠賽場捧杯。歐洲的足球水平為何如此之高?五大豪強(qiáng)的經(jīng)驗(yàn)又帶給了我們什么樣的啟示呢?這便是本文要探討的問題。本文引用了數(shù)學(xué)建模的思想,采用了層次分析法對歐洲五大足球俱樂部的綜合實(shí)力進(jìn)行理性而深入的分析。所謂數(shù)學(xué)建模,就是對現(xiàn)實(shí)世界中的某一特定現(xiàn)象,為了某一特定的目的,做的簡化假設(shè),運(yùn)用數(shù)學(xué)工具,得到一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。而層次分析法,是建模中常用的方法之一。通過層與層之間的對比分析,得出實(shí)際問題中的某些結(jié)論。本文所研究的問題是關(guān)于五大足球俱樂部的綜合實(shí)力排名情況。現(xiàn)實(shí)的足球世界中,影響一支球隊(duì)的綜合能力有許多。例如進(jìn)攻能力、防守能力、球員能力、教練的執(zhí)教能力、裁判的執(zhí)法能力等。這些因素都是對于一支的球隊(duì)綜合實(shí)力有著或多或少的影響。但他們各自的權(quán)重并不一樣,所以,如何篩選這些因素是本文分析的關(guān)鍵所在。 眾所周知,當(dāng)數(shù)學(xué)模型建立之后,還不能馬上用于實(shí)際分析,必須對模型做進(jìn)一步的檢驗(yàn)。由于本文數(shù)據(jù)分析過程較為繁瑣,所以檢驗(yàn)部分并非人工完成,而是運(yùn)用電腦軟件R來完成的。采用了Satty的檢驗(yàn)方法對模型進(jìn)行分析,使模型分析的可信度大大提高。關(guān)鍵詞:數(shù)學(xué)模型、層次分析法、歐洲足球一、 數(shù)學(xué)建模的基本過程:如下圖所示實(shí)際問題抽象、簡化假設(shè)、設(shè)定參數(shù)、變量數(shù)學(xué)建模模型求解參數(shù)估計(jì)模型檢驗(yàn)符合否?模型應(yīng)用圖1:數(shù)學(xué)建?;玖鞒虉D層次分析法把人的思維層次化、數(shù)量化, 并用數(shù)學(xué)為分析、決策、預(yù)報(bào)或控制提供定量的依據(jù)。這一方法的特點(diǎn)是在對復(fù)雜決策問題的本質(zhì)、影響因素以及內(nèi)在關(guān)系等進(jìn)行深入分析之后, 構(gòu)建一個(gè)層次結(jié)構(gòu)模型, 然后利用較少的定量信息, 把決策的思維過程數(shù)學(xué)化, 從而為求解多目標(biāo)、多準(zhǔn)則或無結(jié)構(gòu)特性的復(fù)雜決策問題提供一種簡便的決策方法 , 尤其適合于人的定性判斷起重要作用的、對決策結(jié)果難于直接準(zhǔn)確計(jì)量的場合。二、問題重述本文將對歐洲五大足球俱樂部(巴塞羅那、皇家馬德里、國際米蘭、切爾西、拜仁慕尼黑)的綜合實(shí)力進(jìn)行分析。利用層次分析法,把問題分成三個(gè)層次,即目標(biāo)層、準(zhǔn)則層、方案層。其基本思想是:通過準(zhǔn)則層各因素對目標(biāo)層的重要程度比較的量化,經(jīng)過適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)推導(dǎo),得出前述的各權(quán)系數(shù)。三、問題分析首先本文的研究目的是為了評價(jià)歐洲五大球隊(duì)(巴薩、皇馬、拜仁、國米、切爾西)的綜合實(shí)力。對于一支球隊(duì)來說,球員是組成球隊(duì)的重要部分,因此,球員能力高低將直接影響球隊(duì)的實(shí)力。其次,球隊(duì)在比賽的過程中是通過進(jìn)球來獲得比賽的勝利的,而要想進(jìn)球,就要攻破對手的防線,所以進(jìn)攻能力也是綜合實(shí)力的體現(xiàn)。最后,球隊(duì)的防守的效果,是決定球隊(duì)立于不敗之地的關(guān)鍵所在,也是球隊(duì)綜合實(shí)力的一個(gè)評價(jià)指標(biāo)。四、 做出假設(shè),畫出層次分析圖基于以上的分析:1、 假設(shè)球隊(duì)的綜合實(shí)力主要體現(xiàn)在自身的進(jìn)攻實(shí)力、防守實(shí)力已經(jīng)球員能力。2、 假設(shè)影響一支球隊(duì)獲勝的其他因素均視為隨機(jī)誤差。3、 假設(shè)足球比賽中獲勝、平局、落敗的概率相等(沒有暗箱操作)。故層次分析圖如下所示:五支歐洲俱樂部足球隊(duì)綜合實(shí)力A的綜合實(shí)力進(jìn)攻指數(shù)B1防守指數(shù)B2球員身價(jià)總值B3巴 薩C1皇馬C2拜仁C3國米C4切爾西C5 圖2:層次分析圖五、方案說明1、符號說明:表1:符號說明圖五支球隊(duì)的綜合實(shí)力B1進(jìn)攻指數(shù)B2防守指數(shù)B3球員的身價(jià)總值C1巴薩羅那C2皇家馬德里C3拜仁慕尼黑C4國際米蘭C5切爾西六、 兩兩比較、建立判別矩陣構(gòu)建層次分析結(jié)構(gòu)之后,將問題歸結(jié)為各支俱樂部球隊(duì)三個(gè)體現(xiàn)綜合實(shí)力的指標(biāo)進(jìn)行排序。所以,我們要在各層中對元素進(jìn)行兩兩比較,構(gòu)建判別矩陣。層次分析法主要是人們對每一層次中各因素相對重要性給出的判斷, 這些判斷通過引入合適的標(biāo)度, 用數(shù)值表示出來, 寫成判斷矩陣。判別矩陣表示針對上一層次因素, 本層次與之有關(guān)因素之間的相對重要性的比較。因此,首先判斷B1、B2、B3對于A的重要性。眾所周知,每一支球隊(duì)都是由每一個(gè)足球運(yùn)動(dòng)員組成的。所以,球隊(duì)實(shí)力的體現(xiàn)最重要的部分,應(yīng)該是球員的身價(jià)總值;其次,評價(jià)一支球隊(duì)的強(qiáng)弱,應(yīng)該看球隊(duì)的進(jìn)攻能力,倘若一支球隊(duì)進(jìn)球多,那么它獲勝的可能性也就比較大:同樣球隊(duì)的防守能力也很重要,只要簡單地設(shè)想一下就知道,如果這支球隊(duì)失球數(shù)越少,那么它獲勝的可能性也就大。接著就是確定各元素的權(quán)重,考慮都各元素對目標(biāo)元素的影響,可用下表數(shù)值表示:表2:權(quán)重的對應(yīng)的數(shù)值Xi/Xj相等較強(qiáng)強(qiáng)很強(qiáng)絕對強(qiáng)aij13579若介于上述二者之間,則取2、4、6、8,由此得到的矩陣A為正互反矩陣。依據(jù)上文的分析,球員身價(jià)的權(quán)重應(yīng)該是最大的。其次是球隊(duì)的進(jìn)攻指數(shù)。權(quán)重最小的應(yīng)該是防守指數(shù)。所以,基于上表的數(shù)據(jù),我們確定A-B矩陣為:AB1B2B3B1131 /3B21/311/5B3351 各球隊(duì)數(shù)據(jù)如下,通過對一下數(shù)據(jù)的粗步分析:表3:五支球隊(duì)的具體數(shù)據(jù)巴薩羅那的進(jìn)球數(shù)(主要指標(biāo))最多,傳球成功率也最高,其次是拜仁、皇馬、國米、切爾西。失球數(shù)最多的是巴薩和國米,其次是皇馬和切爾西、最后是拜仁。所以我們可以做出如下矩陣:B1-CB1C1C2C3C4C5C113245C21/311/223C31/23134C41/41/21/212C51/51/31/41/21從數(shù)據(jù)上看,巴薩和國米失球最多,17場比賽共失球19個(gè),其次是皇馬和切爾西,共失球17個(gè),而拜仁失球最少,只有7個(gè)。以此建立B2-C矩陣為:B2-CB2C1C2C3C4C5C111/31/511/3C231 1/3 31C353153C411/31/511/3C5351/331從體育網(wǎng)站上獲得的數(shù)據(jù):目前,各支球員身價(jià)總值為(歐元):巴薩5.4 億、皇馬5.245億、國米3.6725億、切爾西3.62億、拜仁3.031億。所以B3-C矩陣:B3C1C2C3C4C5C113957C21/31735C31/91/711/51/3C41/51/3513C51/71/531/31七、一致性檢驗(yàn)對于判別矩陣的一致性檢驗(yàn),本文采用Saaty提出的平均隨機(jī)一致性檢。若某矩陣為一致性矩陣,其最大特征根為n,其余特征根為0。通常用CI來衡量一致性。如果CI越小,則一致性越好。但這種方法用缺陷,所以,Saaty提出平均隨機(jī),引入了RI概念,并用CR=CI/RI來衡量矩陣的一致性,當(dāng)CR<0.1時(shí),則認(rèn)為矩陣有較滿意的一致性。其中:注:Satty給出的RI標(biāo)準(zhǔn)為N12345RI000.580.91.12 運(yùn)用R軟件可以求的矩陣的特征值和特征向量。并可從中確定最大特征根,將其代入公式,就可以求的CR的取值。運(yùn)用R軟件計(jì)算得:A-B矩陣的CR0.07<0.1,所以矩陣A通過一致性檢驗(yàn)。B1-C矩陣的CR=2.232143e-0.8<0.1,B1-C也通過檢驗(yàn)。B2-C矩陣的CR=0<0.1B2-C矩陣通過一致性檢驗(yàn)。B3-C矩陣的CR=-2.232143e-0.8<0.1B3-C矩陣通過一致性檢驗(yàn)。八、 模型的優(yōu)缺點(diǎn)該模型主要運(yùn)用了層次分析法進(jìn)行數(shù)據(jù)分析,其優(yōu)點(diǎn)是:1、 通過層與層之間的對比分析,使讀者對于這五大足球俱樂部的綜合實(shí)力有了進(jìn)一步的認(rèn)識(主要通過判別矩陣)。2、 從過層次分析法得到五支球隊(duì)的綜合實(shí)力評價(jià),要比根據(jù)自己的主觀分析得都的綜合實(shí)力評價(jià)顯得客觀一些。3、 通過建模分析實(shí)際問題可以達(dá)到深入簡出的效果。其缺點(diǎn)是:1、由于本人學(xué)藝不精,沒能完全掌握層次分析法的精髓,故在做一致性別時(shí)沒能采用最好的方法。導(dǎo)致分析的結(jié)果與實(shí)際的結(jié)果有所不同。2、判別矩陣中的各元素自己全是本人憑經(jīng)驗(yàn)臆測得出的。沒有經(jīng)過專業(yè)人士的認(rèn)證。所以得出的判別矩陣可能與真實(shí)的判別矩陣略有不同。九、結(jié)論基于模型本身,通過以上的分析可以得出最終的綜合實(shí)力排名情況為:巴薩、拜仁、皇馬、切爾西、國米。在這五大俱樂部球隊(duì)中,巴薩羅那隊(duì)擁有豪華的球員陣容,進(jìn)攻能力是五支球隊(duì)當(dāng)中最強(qiáng)的,但防守的能力比較弱;皇馬同樣擁有豪華的球員陣容,但進(jìn)攻能力稍弱,防守能力也稍弱(或許是因?yàn)檫@幾場比賽是狀態(tài)低迷的原因);拜仁雖然沒有豪華的球員陣容,但進(jìn)攻能力比較強(qiáng),而防守能力又是這五支球隊(duì)中最好的,歷來都是歐冠的一支勁旅。因此,個(gè)人認(rèn)為拜仁擁有很強(qiáng)的實(shí)力;國米最近幾場比賽中所體現(xiàn)的進(jìn)攻能力和防守能力都偏弱,可以說球隊(duì)正處于下滑期,但就此判斷國米的真實(shí)實(shí)力為時(shí)尚早,再怎么說,畢竟也是當(dāng)年叱咤綠茵場的米蘭雙雄中的一員;切爾西也是沒有豪華的球員陣容,所以進(jìn)攻能力偏弱是可以理解的,但切爾西的防守能力還是可以跟五大球隊(duì)抗衡的。2012年,切爾西正是憑借自己的防守能力擊敗各路豪強(qiáng),奪得歐冠聯(lián)賽的冠軍。因此,切爾西的實(shí)力也不容小覷。十、附錄 1、陳汝棟 于延榮 數(shù)學(xué)某型與數(shù)學(xué)建模 國防工業(yè)出版社 2009 2、王宗軍 綜合評價(jià)的方法、問題及其研究趨勢理科學(xué)學(xué)報(bào) 高等教育出版社 2009 3、李虎 足球天下 第五頻道出版社 2012 4、陶路 歐洲五大聯(lián)賽球隊(duì)排行榜 新浪體育 R軟件運(yùn)行結(jié)果如下:圖3:A-B矩陣運(yùn)行結(jié)果圖4:B1-C矩陣運(yùn)行結(jié)果圖5:B2-C矩陣運(yùn)行結(jié)果圖6:B3-C矩陣運(yùn)行結(jié)果10

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