不確定分析法層次分析法

第一單元層次分析法一AH騎介(TheAnalyticHierarchyProcess-AHP)前言最優(yōu)化技術(shù)在決策分析中占著極重要的位置，數(shù)學(xué)模型在最優(yōu)化技術(shù)中占著統(tǒng)治地位；由于系統(tǒng)越來(lái)復(fù)雜，數(shù)學(xué)模型也越來(lái)越復(fù)雜，掌握運(yùn)用困難很多，并且隨著復(fù)雜性增加，模型解與實(shí)際要求距離也在增加。事實(shí)上，數(shù)學(xué)模型也非萬(wàn)能，決策中大量因素?zé)o法定量表示，所以，有時(shí)人們不得不回到?jīng)Q策的起點(diǎn)和終點(diǎn)：一一人的選擇和判斷，需要認(rèn)真地研究選擇和判斷的規(guī)律，這就是AHP產(chǎn)生的背景。匹茲堡大學(xué)Saaty教授于七十年代中期提出層次分析法AHP。于80年代初由Saaty的學(xué)生介紹到我國(guó)。層次分析AHP的特點(diǎn)：1 .輸入信息主要是決策者的選擇和判斷。決策過(guò)程充分反映了決策者對(duì)決策問(wèn)題的認(rèn)識(shí)；2 .簡(jiǎn)潔性：基于高中知識(shí)，可不用計(jì)算機(jī)完成計(jì)算；3 .實(shí)用性：能進(jìn)行定量分析，也可定性分析；而通常最優(yōu)化方法只能用于定量分析；4 .系統(tǒng)性：人們決策大致分三種：(因果判斷、概率推斷和系統(tǒng)推斷)，AHP把問(wèn)題看作一個(gè)系統(tǒng)屬于第三種，真正要搞清楚AHP原理，需要深刻的數(shù)學(xué)背景。好在我們只重應(yīng)用，并不過(guò)多涉及AHP的數(shù)學(xué)背景。AHP的主要不足在于：AHP只能用于選擇方案，而不能生成方案；主觀性太強(qiáng)，從層次結(jié)構(gòu)建立，判斷矩陣的構(gòu)造，均依賴決策人的主觀判斷，選擇，偏好，若判斷失誤，則可能造成決策失誤。規(guī)劃論一一采用較嚴(yán)格的數(shù)學(xué)計(jì)算，把人的主觀性降到最低程度；但有些決策結(jié)果令決策人難以接受。AHP從本質(zhì)上講是試圖使人的判斷條理化，所得結(jié)果基本上依據(jù)人的主觀判斷，當(dāng)決策者的判斷因受個(gè)人偏好影響對(duì)客觀規(guī)律歪曲時(shí)，AHP的結(jié)果顯然靠不住，所以，AHP中通常是群組判斷方式。盡管AHP在理論上尚不完善，應(yīng)用中也有缺陷；但由于AHP簡(jiǎn)單、實(shí)用，仍被視為是多目標(biāo)決策的有效方法，至今仍被廣泛應(yīng)用的一種無(wú)結(jié)構(gòu)決策方法。1預(yù)備知識(shí)1 .特征值與特征向量1.1特征值與特征向量的概念設(shè)A=（aj晨為n階方陣，若常數(shù)人和非零n維向量g=（g1,g2,，gJT滿足Ag=Zg（1）則稱為一為矩陣 A 的一個(gè)特征值（或特征根），非零向量 g 為矩陣 A 的屬于特征值九的特征向量。1.2特征值與特征向量的求法由（1）知Ag-母=0,（A九 EB=0所以，g 是齊次線性方程組（A-九EX=0的非零解，所以有A九 E=0（2）稱（2）式為矩陣A的特征方程。它是一個(gè)一元n次方程，由代數(shù)基本定理知，該方程有且只有n個(gè)根。解 A 的特征方程，可求得 A 的n個(gè)特征值心，兒2，兒n。解齊次線性方程組（A%EX=0,其非零解為的全部特征向量（i=1,21n）。利用MATERLAB軟件，可以很容易地求出 A 的n個(gè)特征值及相應(yīng)的特征向量。2 .重量模型m（,m2,，mn。設(shè)準(zhǔn)則C為“重量大為好”，要在準(zhǔn)則C下對(duì)n個(gè)物體UI,U2,，Un按其重量大小排序。1.a。0,4=1；12.aij=；aji3.aijajk=aik滿足1）的矩陣A稱為正矩陣。滿足1）、2）的矩陣A稱為正互反矩陣。滿足1）、2）、3）的矩陣A稱為一致性判斷矩陣。如果已知一致性判斷矩陣 A,可根據(jù) A 的任一行（列）元素對(duì)小排序，且按不同行（列）的排序結(jié)果完全相同。設(shè) A 為一致性判斷矩陣，由A-九E=（-1），2（八-n）=0可求得 A 的n個(gè)特征值為設(shè)U1,U2,，Un為n個(gè)物體，重量分別為如果回，m2,，mn的值已知，則可按重量大小對(duì)設(shè)m1,m2,，mn的值未知，令a。=fmj(i,j=1,2，n),A 二n個(gè)物體排序。m1m1m2m2m2(aj葭=m1m2mnmnm1m2m1mnm2mnamnmn)顯然 A 滿足:對(duì)任意的 i,j=1,2,，n,有n個(gè)物體U1,U2,，Un按重量大解齊次線性方程組（A-nE/=0,可得%=n的特征向量為T(mén)g小日凡,E）,k=0由此可得，如果 A 為一致性判斷矩陣，則 A 的最大特征值為九max=n,其余特征值為零。且。=n的特征向量為T(mén)g=k（mi,m2,凡）,k:0由于當(dāng) k0 時(shí)，g 的分量與g0=（m,m2,，0）丁的分量有相同的排序。所以只要求出九max=n的特征向量任意一個(gè)分量全為正的特征向量，則可按此特征向量的分量大小順序?qū)個(gè)物體排序。3 Perro-Frobineus定理正矩陣存在重?cái)?shù)為1的正特征根，其它特征根的模均小于這個(gè)正特征根，該正特征根對(duì)應(yīng)的特征向量可以全部由正分量組成，經(jīng)“歸一化”處理后該特征向量是惟一的。AHP型如果對(duì)一致性判斷矩陣 A 有一個(gè)小的擾動(dòng)，即aj不再是真實(shí)重量的比值，這時(shí)顯然 A 不滿足一致性條件(A是正互反矩陣)，此時(shí) A 的最大特征值?、max不再是n；因擾動(dòng)很小，希望九max與n相差不大，這時(shí)Amax對(duì)應(yīng)的特征向量雖然不會(huì)是n個(gè)物體的真實(shí)重量g0=(m1,m2;-,mnT的倍數(shù)，但變動(dòng)也不會(huì)太大。我們?cè)O(shè)想：如果對(duì) A 的擾動(dòng)不大，則兒max離n就不遠(yuǎn)，此時(shí)Kmax對(duì)應(yīng)的特征向量 g 與50差不多，如果 g 不改變缶的各分量的大小次序，則 g 的分量同樣給出n個(gè)物體u1,u2，un按重量大小的真實(shí)排序。這樣，對(duì)不滿足一致性的正互反矩陣A=(aij)n沖，我們求其最大特征根入max,再求與九max對(duì)應(yīng)的特征向量g,則可按 g 的分量大小對(duì)n個(gè)物體u1,u2，un按重量大小排序。但是，這種做法有幾個(gè)問(wèn)題：當(dāng) A 不滿足一致性時(shí)，A 還有沒(méi)有最大正特征根；既使 A 有最大特征根，那么，這個(gè)最大特征根Kmax對(duì)應(yīng)的特征向量的分量能否全是正數(shù)？上一節(jié)的Perron定理明確告訴我們，對(duì)正的互反矩陣A,既使它不滿足一致性，也一定存在最大正的實(shí)特征根，它對(duì)應(yīng)的特征向量的各個(gè)分量都可以是正數(shù)，并且“歸一化”后是惟一的。最重要的問(wèn)題是，我們能否按這個(gè)“歸一化”后惟一的特征向量對(duì)n個(gè)物體按重量大小排序呢？或說(shuō)這個(gè)“歸一化”后的特征向量是否會(huì)改變擾動(dòng)前的一致性矩陣 A 的最大特征根九max=n對(duì)應(yīng)的特征向量的各分量的大小排序呢？人們難于正面明確地回答這個(gè)問(wèn)題，而只能給出一個(gè)并不是十分令人滿意的簡(jiǎn)接回答。那就是對(duì)判斷矩陣A=(aj的一致性滿意程度進(jìn)行檢驗(yàn)。由于對(duì) A 的擾動(dòng)不大，最大特征值與n不會(huì)相差太大。可以證明：只要 A 不滿足一致性，那么A 的最大特征根Xmax一定比n大，即入maxn0。稱 C.I.為一致性檢驗(yàn)指標(biāo)。顯然，我們希望 C.I.盡量小。但是，C.I.小到什么程度，才能使九max與maxn對(duì)應(yīng)的特征向量“歸一化”后各分量大小次序不被破壞呢？這是一個(gè)理論上無(wú)法解決的問(wèn)題，人們難以正面回答。Saaty給出了平均一致性檢驗(yàn)值 R.I.:對(duì)一致性判斷矩陣 A 進(jìn)彳f1000次隨機(jī)擾動(dòng)，得到1000個(gè)不同的 C.I.,計(jì)算其算術(shù)平均值得到平均隨機(jī)一致性檢驗(yàn)指標(biāo) R.I.如下：階數(shù)123456789101112131415R.I.000.520.891.121.261.361.411.461.491.521.541.561.58 1.59A 的最大特征值九max對(duì)應(yīng)的特征向量“歸一化”后，能給出n個(gè)物體UI,U2,，un按重量大小的真實(shí)排序。C.I.=max-n令當(dāng) C.R.0.1 時(shí)，認(rèn)為判斷矩陣C.R.=C.I.R.I.A 的一致性是可以被接受的。亦即當(dāng)C.I.0.1R.I.時(shí)，認(rèn)為判斷矩陣A=(aj)近似滿足一致性。即認(rèn)為此時(shí)可以看出這不是正面回答，但這已是目前為止最好的回答,從應(yīng)用角度看，當(dāng) C.R.,aij一，aii-1aji所以，A 是正互反矩陣，且又角線上元素為1。但是，A 通常不具有傳遞性，即ajWjk#aik,這是由事物的復(fù)雜性和人的認(rèn)識(shí)的局限性造成的。如果aj，ajk=aik成立，即 A 是一致性矩陣，則n個(gè)元素比較 n-1 次，即可完全確定順序。從判斷矩陣 A 出發(fā)到導(dǎo)出元素在某種準(zhǔn)則下按重要性大小的排序，矩陣 A 的一致性起著至關(guān)重要的作用。按著 1C 比例標(biāo)度的上述說(shuō)明，具體構(gòu)造應(yīng)用實(shí)例的六個(gè)準(zhǔn)則下的兩兩比較判斷矩陣如下：GCiC2C3C4C5G13535C21/31313C31/51/311/33C41/31313C51/51/31/31/31C1A1A2AA1115A2115A31/51/51C2A1A2A3A1135A21312A31/51/21C3A1A2A3A1147A21/414A3171/41C4A1A2A3A11/21/3A2211A3311C5A1A2A3A111/21/3A2211A3311ccC.I.C.R.=R.I.3.0037-320.52=0.00356:二 0.1712b9-Numbered_3d073793-f2c2-411c-bda3-230ce5f27cc8-Numbe 計(jì)算單一準(zhǔn)則下各元素的相對(duì)權(quán)重要性權(quán)重。(b)以G為準(zhǔn)則的判斷矩陣115B21=115利用materlab軟件，求得最大特征值及歸一化特征向量為Xmax=3.0183,p=(0.16921,0.38737,0.44342)T致性檢驗(yàn)：由于B24的一致性可以接受，p 的三個(gè)分量可以作為c4下A、A2、A3的重要性權(quán)重。(。以G為準(zhǔn)則的判斷矩陣11/21/3B25=211=B24311T.一致性檢驗(yàn)：由于所以，通過(guò)檢驗(yàn)。即認(rèn)為性權(quán)重。C.RC.I.R.I.3.0764-320.52=0.07346:二 0.1B23的一致性可以接受，p 的三個(gè)分量可以作為C3下A、A2、A3的重要C.RC.I.R.I.3.0183-320.52=0.01760:二 0.1所以，通過(guò)檢驗(yàn)。即認(rèn)為所以，B24的一致性可以接受，p=(0.16921,0.38737,0.44342)的二個(gè)分量可以作為q下A、A2、人3的重要性權(quán)重。712b9-Numbered_3d073793-f2c2-411c-bda3-230ce5f27cc8-Numbe 計(jì)算各層元素的組合權(quán)重?cái)v昀權(quán)重計(jì)算設(shè)準(zhǔn)則層元素相對(duì)于總目標(biāo)的排序權(quán)重向量為:a=(a1，a2,%,a4，a5)T方案層關(guān)于準(zhǔn)則層第j準(zhǔn)則的排序向量為：bj=(%,b2j,0j)T(j=1,2,3,4,5)則方案層3個(gè)元素相對(duì)于總目標(biāo)的組合權(quán)重向量為:本例中，方案A、B、C在總目標(biāo)G下的排序向量為0.454550.648290.695520.169210.16920=0.454550.229670.229020.387370.3873|、0.090900.122030.075460.443420.4434)攙昀對(duì)于遞階層次組合判斷的一致性檢驗(yàn)設(shè)第一層的計(jì)算結(jié)果為：C.I.1,R.I.1,C.R,1G下B2i的檢驗(yàn)指標(biāo)為C.I.2,R.I.2,C.R.2,(i=1,2,3,4,5)則第二層的相應(yīng)指標(biāo)為:C.I.2=(C.I.12cI.2，C.I.5)aRI.2=(R.I.2,R.I.2,-,R.I.5%aCIC.R.2=C.R.1R.I.當(dāng)C.R.20.1時(shí)，認(rèn)為遞階層次在2層水平上整個(gè)判斷有滿意的一致性。QIb11b12b13b14b15a2b21b22b23b24b25a3&1b32b33b34b35)a4=bibhhbsa1二0.459I10.192870.095120.1928r、0.059910.44270.37270.1845對(duì)本例，有C.I.1=0.051675,R.I.1-1.12,C.R.1=0.046140.4593、0.1928C.I.2=(0,0.00185,0.0382,0.00915,0.00915)，0.0951=0.006300.19280.0599,0.45930.1928RI.2=(0.52,0.52,0.52,0.52,0.52)，0.0951=0.520.19280599)CCC.I.20.00630C.R.2=C.R.12=0.04614=0.05826R.1.20.52因?yàn)镃.R.20,%0%+Nji=1ij%=0(表明一個(gè)隊(duì)無(wú)法與自己比賽)在實(shí)際問(wèn)題中，可取到0,1上的一切實(shí)數(shù)。稱h為Ui和Uj(i#j)的相對(duì)測(cè)度，稱ijnn為兩兩比賽判斷矩陣。如果%則稱Ui比Uj強(qiáng)，記為UiUj,含意是兩者比賽完后Ui得分七比Uj得分吃多，即Ui勝了；若判斷矩陣N=(%)n刈滿足：nn當(dāng)UiUj,UjAUk時(shí)，有UiUk,則稱判斷矩陣叫n=N具有一致性。注意：UiUj,UjUk,而UkUi在此并不罕見(jiàn)，即甲勝乙、乙勝丙，而丙勝甲的連環(huán)套是常有的。一致性矩陣的含意是：全部比賽未出現(xiàn)“連環(huán)套”的情況，允許甲大勝乙，乙大勝丙，而甲僅僅小勝內(nèi)的情況出現(xiàn)。此時(shí)重量模型的一致性不被滿足，但是球賽的一致性卻可以被滿足，故球賽型比重量模型的兩兩比較判斷矩陣的一致性要求要低很多。nn1Uj的總得分fi=%,顯然工 fj=1n(n1)。令j1i12T2nWc=(w：,w：2,，wUn),W：=Z%n(n-1)jw稱Wc為在得分準(zhǔn)則下相對(duì)權(quán)向量。以上討論可由下表給出：準(zhǔn)則cU1U2UnWcU111專(zhuān)cWU1U2-匕1匕23*cWn2-Un匕匕2%cWnnn對(duì)(與n茹逐行檢驗(yàn)就可知是否具有一致性。由于兩兩比較測(cè)度判斷矩陣)海的一致性是UiUj；兩兩比較比例標(biāo)度判斷矩陣nn匕。晨的一致性要求ajajk=aik,顯然在AHP的判斷矩陣的一致性要求高，通常的判斷矩陣的一致性難以滿足；而AHM的判斷矩陣的一致性要求很低，只要甲比乙強(qiáng)、乙比丙強(qiáng)，則甲比丙強(qiáng)，至于強(qiáng)多少?zèng)]有具體要求，所以一致性要求低，在AHP中一致性不被滿足時(shí)，對(duì)應(yīng)到AHM時(shí)一致性卻經(jīng)?？梢员粷M足，并且一致性可從(5)1n刈自身中觀察檢驗(yàn)。注：比賽模型有兩類(lèi)：一類(lèi)如田徑、游泳、跳水、體操等，運(yùn)動(dòng)員的成績(jī)可以單獨(dú)測(cè)量出來(lái)；另一類(lèi)如擊劍、拳擊、球賽，只有通過(guò)兩隊(duì)比賽才能定出來(lái)。球賽模型反映了后一類(lèi)比賽。AHM中的比較判斷矩陣N=(Nj)通常由AHP中的比較判斷矩陣A=(aj)中導(dǎo)出:轉(zhuǎn)模公式為：-Jji定，如B=2如上右式。從(%)中直接檢驗(yàn)一致性，當(dāng)一致性成立時(shí)就可以應(yīng)用AHM,可用來(lái)按分量大小對(duì)Ui排序；綜合得分率最高者認(rèn)為名次在前。事實(shí)上，當(dāng)判斷矩陣N不滿足一致性時(shí)，仍然可以計(jì)算各隊(duì)的得分率，并按得分率對(duì)各隊(duì)排序也是可以的，故一致性檢驗(yàn)是非本質(zhì)的。ij-j11aijk10.50aijaijaij1k二1=12k2k+11=2k10.50，相當(dāng)于兩隊(duì)比賽，一隊(duì)勝得1分,aaijajaijaij_1k=1i=j=1i=j另一隊(duì)敗得0分；當(dāng)P取AHM層次決策例仍用“AHP”的例子， 某鬧市區(qū)一商場(chǎng)附近交通擁擠。 目標(biāo)G:為改善該街區(qū)交通環(huán)境。 有三種方案可供選擇：A:修天橋或修高架橋；A2：修地道；A3：商場(chǎng)搬遷。選擇方案的準(zhǔn)則有5個(gè):Ci:通車(chē)能力；C2:方便市民；C3:改造費(fèi)用；C4:安全性；c5:市容美觀。兩兩比較的比例標(biāo)度判斷矩陣如前。問(wèn)題：選擇哪種方案？解：1、建立遞階層次結(jié)構(gòu):最高層：目標(biāo)層G:改變交通環(huán)境2、單一準(zhǔn)則下的相對(duì)權(quán)向量準(zhǔn)則CU1U2UnE(C)wU111專(zhuān)席nzi=12njn(n-1)j3U2m21a匕2+3nz匕i3a2nZ2jn(n-1jaUn，1%RnnJniiT2n工%n(n-1)j3比如計(jì)算準(zhǔn)則C2得C2A1AA3Sw(C2)A100.8570.9091.7660.5887A20.14300.80.9430.3143A30.0910.200.2910.0970轉(zhuǎn)換公式:2k2k+11ii_jij-2k+10.50aij=ka.ajaij=1i=ja。二 1i=j同理得準(zhǔn)則G,c1,c2,c3,c4,C5下排序權(quán)重，上述比較矩陣顯然滿足一致性條G通車(chē)G方便C2費(fèi)用C3C4巾谷C5Gw通車(chē)G00.8570.9090.8570.9090.3530方便C20.14300.8570.50.8570.2360費(fèi)用C30.0910.14300.1430.8570.1230C40.1430.50.85700.8570.2360巾谷C50.0910.1430.1430.14300.0520通車(chē)能力C1A1A2A3C1w方便C2A1AA3C2w天橋A00.50.9090.47天橋A00.8570.9090.589地道A20.500.9090.47地道A0.14300.80.314搬遷A0.0910.09100.06搬遷A30.0910.200.097費(fèi)用C3A1A2A3C3wC4AAAC4w天橋A100.8890.9330.607天橋A00.20.1430.114地道A20.11100.8890.333地道A0.800.50.433搬遷A0.0670.11100.060搬遷A0.8570.500.453巾谷C5A1AAC5w天橋A100.20.1430.114地道A20.800.50.433搬遷A30.8570.500.4533、計(jì)算各方案對(duì)目標(biāo)的合成權(quán)重WGA=(w2,WC5)WG即：0.3530,0521由此知，方案Ai的權(quán)重最大，故決策Ai,此結(jié)論與文獻(xiàn)1中用AHP所得結(jié)論相同。結(jié)論：層次分析AHP,與層次分析模型AHM是兩種不同模型，AHP基于重量模型，AHM基于球賽模型，本質(zhì)區(qū)別在于a.=1,而匕=0,a。是正整數(shù)或其倒數(shù)，而可在0,1上取連續(xù)數(shù)匕=1-。，但是應(yīng)用上，兩兩比較確定匕較困難，而用1C比例標(biāo)0.470,5890.6070.1140.114、0.236WGA0.470,3140.3330.4330.4330.1239.060,0970.060,4530.4530.23604120.4060,182,AiA2A3Wn-AWn二B一fn度確止aj直觀且易操作，故兩兩比較測(cè)度看常從兩兩比較標(biāo)度中轉(zhuǎn)換得來(lái)。二者最本質(zhì)判別是：AHP用特征根法求導(dǎo)出排序向量，而特征根法要求必須對(duì)(aij)n作一致性檢驗(yàn)：aijajk=aik嚴(yán)格滿足一致性條件，幾乎是不可能的，所以，只是近似滿足，認(rèn)為當(dāng)C.R.Uj,UjAUk時(shí)，就有Ui即可。從本質(zhì)上講，不進(jìn)行一致性檢驗(yàn)，由得分率仍然給出Ui,U2,，Un在準(zhǔn)則C下的一種排序。且運(yùn)算簡(jiǎn)單，僅用加乘，故是一種簡(jiǎn)單的決策方法。關(guān)于一致性檢驗(yàn)：AHP中，一致性檢驗(yàn)；AHM,本質(zhì)上沒(méi)有一致性檢驗(yàn)的條件限制。附錄：關(guān)于特征方程的補(bǔ)充設(shè)兩兩比較相對(duì)重量的精確測(cè)度為:wvv2vv2vv2vvnvWnW2WnWnWn則特征方程|A-距|=0,有一重實(shí)根九=n 及nT重0根。證明：W2WWL.W2W2-/uW2WiWnW2WnW2-WLW2W2-/ljW2WnWWnW2Wi1WnW2W(-)fn4()WnWnW2-fnJ=2X-2七JWnn-1n-1.fn2-2fnm-”,n=0故人二n為一重特征根，九=0為nT 重特征根。皿皿.W1皿W2Wn0-九000*一九0-0-WW2f2-=WnWn四一=（九_(tái)12-1=N-2k證畢!n1=fn=n一2一叫