北京科技大學(xué)數(shù)學(xué)模型課件M07差分模型.ppt

7 1差分方程介紹7 2減肥計(jì)劃 節(jié)食與運(yùn)動(dòng)7 3差分形式的阻滯增長(zhǎng)模型 第七章差分方程模型 1 的平衡點(diǎn)x 代數(shù)方程x f x 的根 穩(wěn)定性判斷 1 的近似線性方程 x 也是 2 的平衡點(diǎn) x 是 2 和 1 的穩(wěn)定平衡點(diǎn) x 是 2 和 1 的不穩(wěn)定平衡點(diǎn) 差分方程介紹 7 1市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)中的蛛網(wǎng)模型 問題 供大于求 現(xiàn)象 商品數(shù)量與價(jià)格的振蕩在什么條件下趨向穩(wěn)定 當(dāng)不穩(wěn)定時(shí)政府能采取什么干預(yù)手段使之穩(wěn)定 描述商品數(shù)量與價(jià)格的變化規(guī)律 數(shù)量與價(jià)格在振蕩 7 2減肥計(jì)劃 節(jié)食與運(yùn)動(dòng) 背景 多數(shù)減肥食品達(dá)不到減肥目標(biāo) 或不能維持 通過控制飲食和適當(dāng)?shù)倪\(yùn)動(dòng) 在不傷害身體的前提下 達(dá)到減輕體重并維持下去的目標(biāo) 分析 體重變化由體內(nèi)能量守恒破壞引起 飲食 吸收熱量 引起體重增加 代謝和運(yùn)動(dòng) 消耗熱量 引起體重減少 體重指數(shù)BMI w kg l2 m2 18 525 超重 BMI 30 肥胖 模型假設(shè) 1 體重增加正比于吸收的熱量 每8000千卡增加體重1千克 2 代謝引起的體重減少正比于體重 每周每公斤體重消耗200千卡 320千卡 因人而異 相當(dāng)于70千克的人每天消耗2000千卡 3200千卡 3 運(yùn)動(dòng)引起的體重減少正比于體重 且與運(yùn)動(dòng)形式有關(guān) 4 為了安全與健康 每周體重減少不宜超過1 5千克 每周吸收熱量不要小于10000千卡 某甲體重100千克 目前每周吸收20000千卡熱量 體重維持不變 現(xiàn)欲減肥至75千克 第一階段 每周減肥1千克 每周吸收熱量逐漸減少 直至達(dá)到下限 10000千卡 第二階段 每周吸收熱量保持下限 減肥達(dá)到目標(biāo) 2 若要加快進(jìn)程 第二階段增加運(yùn)動(dòng) 試安排計(jì)劃 1 在不運(yùn)動(dòng)的情況下安排一個(gè)兩階段計(jì)劃 減肥計(jì)劃 3 給出達(dá)到目標(biāo)后維持體重的方案 確定某甲的代謝消耗系數(shù) 即每周每千克體重消耗20000 100 200千卡 基本模型 w k 第k周 末 體重 c k 第k周吸收熱量 代謝消耗系數(shù) 因人而異 1 不運(yùn)動(dòng)情況的兩階段減肥計(jì)劃 每周吸收20000千卡w 100千克不變 第一階段 w k 每周減1千克 c k 減至下限10000千卡 第一階段10周 每周減1千克 第10周末體重90千克 吸收熱量為 1 不運(yùn)動(dòng)情況的兩階段減肥計(jì)劃 第二階段 每周c k 保持Cm w k 減至75千克 1 不運(yùn)動(dòng)情況的兩階段減肥計(jì)劃 基本模型 第二階段 每周c k 保持Cm w k 減至75千克 第二階段19周 每周吸收熱量保持10000千卡 體重按減少至75千克 運(yùn)動(dòng) t 24 每周跳舞8小時(shí)或自行車10小時(shí) 14周即可 2 第二階段增加運(yùn)動(dòng)的減肥計(jì)劃 t 每周運(yùn)動(dòng)時(shí)間 小時(shí) 3 達(dá)到目標(biāo)體重75千克后維持不變的方案 每周吸收熱量c k 保持某常數(shù)C 使體重w不變 不運(yùn)動(dòng) 運(yùn)動(dòng) 內(nèi)容同前 7 3差分形式的阻滯增長(zhǎng)模型 連續(xù)形式的阻滯增長(zhǎng)模型 Logistic模型 t x N x N是穩(wěn)定平衡點(diǎn) 與r大小無關(guān) 離散形式 x t 某種群t時(shí)刻的數(shù)量 人口 yk 某種群第k代的數(shù)量 人口 若yk N 則yk 1 yk 2 N 討論平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性 即k yk N y N是平衡點(diǎn) 離散形式阻滯增長(zhǎng)模型的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性 一階 非線性 差分方程 1 的平衡點(diǎn)y N 討論x 的穩(wěn)定性 變量代換 的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性 平衡點(diǎn) 穩(wěn)定性 另一平衡點(diǎn)為x 0 不穩(wěn)定 的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性 初值x0 0 2 數(shù)值計(jì)算結(jié)果 b 3 x b 3 3 x 兩個(gè)極限點(diǎn) b 3 45 x 4個(gè)極限點(diǎn) b 3 55 x 8個(gè)極限點(diǎn) 倍周期收斂 x 不穩(wěn)定情況的進(jìn)一步討論 單周期不收斂 2倍周期收斂 的平衡點(diǎn) x 不穩(wěn)定 研究x1 x2 的穩(wěn)定性 倍周期收斂 的穩(wěn)定性 倍周期收斂的進(jìn)一步討論 出現(xiàn)4個(gè)收斂子序列x4k x4k 1 x4k 2 x4k 3 平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性需研究 時(shí)有4個(gè)穩(wěn)定平衡點(diǎn) 2n倍周期收斂 n 1 2 bn 2n倍周期收斂的上界 b0 3 b1 3 449 b2 3 544 n bn 3 57 b 3 57 不存在任何2n倍收斂子序列 的收斂 分岔及混沌現(xiàn)象 b 差之厘毫 失之千里 補(bǔ)充知識(shí) 認(rèn)識(shí)混沌 線性迭代要么收斂于它的不動(dòng)點(diǎn) 要么趨于無窮大 不收斂的非線性迭代可能會(huì)趨于無窮大 也可能趨于一個(gè)周期解 但也有可能在一個(gè)有限區(qū)域內(nèi)雜亂無章地游蕩 這類由確定性運(yùn)動(dòng)導(dǎo)致的貌似隨機(jī)的現(xiàn)象稱為混沌現(xiàn)象 混沌的特征 i 初值敏感性 兩個(gè)任意近的點(diǎn)出發(fā)的兩條軌跡遲早會(huì)分得很開 ii 遍歷性 任意點(diǎn)出發(fā)的軌跡總會(huì)進(jìn)入 0 1 內(nèi)任意小的開區(qū)間