北京郵電大學(xué)高等數(shù)學(xué)11-xiti.ppt

常數(shù)項級數(shù) 函數(shù)項級數(shù) 一般項級數(shù) 正項級數(shù) 冪級數(shù) 三角級數(shù) 收斂半徑R 泰勒展開式 數(shù)或函數(shù) 函數(shù) 數(shù) 任意項級數(shù) 傅氏展開式 傅氏級數(shù) 泰勒級數(shù) 滿足狄氏條件 一 主要內(nèi)容 1 常數(shù)項級數(shù) 級數(shù)的部分和 定義 級數(shù)的收斂與發(fā)散 性質(zhì)1 級數(shù)的每一項同乘一個不為零的常數(shù) 斂散性不變 性質(zhì)2 收斂級數(shù)可以逐項相加與逐項相減 性質(zhì)3 在級數(shù)前面加上有限項不影響級數(shù)的斂散性 性質(zhì)4 收斂級數(shù)加括弧后所成的級數(shù)仍然收斂于原來的和 級數(shù)收斂的必要條件 收斂級數(shù)的基本性質(zhì) 常數(shù)項級數(shù)審斂法 定義 2 正項級數(shù)及其審斂法 審斂法 1 比較審斂法 2 比較審斂法的極限形式 定義正 負(fù)項相間的級數(shù)稱為交錯級數(shù) 3 交錯級數(shù)及其審斂法 定義正項和負(fù)項任意出現(xiàn)的級數(shù)稱為任意項級數(shù) 4 任意項級數(shù)及其審斂法 5 函數(shù)項級數(shù) 1 定義 2 收斂點(diǎn)與收斂域 3 和函數(shù) 1 定義 6 冪級數(shù) 2 收斂性 推論 定義 正數(shù)R稱為冪級數(shù)的收斂半徑 冪級數(shù)的收斂域稱為冪級數(shù)的收斂區(qū)間 a 代數(shù)運(yùn)算性質(zhì) 加減法 其中 3 冪級數(shù)的運(yùn)算 乘法 其中 除法 b 和函數(shù)的分析運(yùn)算性質(zhì) 7 冪級數(shù)展開式 1 定義 2 充要條件 3 唯一性 3 展開方法 a 直接法 泰勒級數(shù)法 步驟 b 間接法 根據(jù)唯一性 利用常見展開式 通過變量代換 四則運(yùn)算 恒等變形 逐項求導(dǎo) 逐項積分等方法 求展開式 4 常見函數(shù)展開式 5 應(yīng)用 a 近似計算 b 歐拉公式 1 三角函數(shù)系 三角函數(shù)系 8 傅里葉級數(shù) 2 傅里葉級數(shù) 定義 三角級數(shù) 其中 稱為傅里葉級數(shù) 3 狄利克雷 Dirichlet 充分條件 收斂定理 4 正弦級數(shù)與余弦級數(shù) 奇延拓 5 周期的延拓 偶延拓 二 典型例題 例1 解 根據(jù)級數(shù)收斂的必要條件 原級數(shù)發(fā)散 解 根據(jù)比較判別法 原級數(shù)收斂 解 從而有 原級數(shù)收斂 原級數(shù)發(fā)散 原級數(shù)也發(fā)散 例 解 即原級數(shù)非絕對收斂 由萊布尼茨定理 所以此交錯級數(shù)收斂 故原級數(shù)是條件收斂 例 解 兩邊逐項積分 例4 解 例5 解 例6 解 和函數(shù)的圖形為 例7 解 由上式得 例8 解 測驗題 測驗題答案