高考數學 第七章 第五節(jié) 直線、平面垂直的判定及其性質課件 理 新人教A版

第五節(jié) 直線、平面垂直的判定及其性質1.1.直線與平面垂直直線與平面垂直(1)(1)定義定義條件：直線條件：直線l與平面與平面內的內的_一條直線都垂直一條直線都垂直. .結論：直線結論：直線l與平面與平面垂直垂直. .任意任意(2)(2)判定定理與性質定理判定定理與性質定理文字語言文字語言圖形語言圖形語言符號語言符號語言 判判定定定定理理 一條直線與一一條直線與一個平面內的兩個平面內的兩條條_直線都直線都垂直，則該直垂直，則該直線與此平面垂線與此平面垂直直 _，_，_,_,_，_， l 性性質質定定理理 垂直于同一個垂直于同一個平面的兩條直平面的兩條直線線_ _ _，_，abab 相交相交平行平行l(wèi)aal b ba ab babab=O=Oaabb2.2.直線與平面所成的角直線與平面所成的角(1)(1)定義：平面的一條斜線和它在平面上定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的的射影所成的_，叫做這條直線和這，叫做這條直線和這個平面所成的角個平面所成的角. .如圖，如圖，_就是斜線就是斜線APAP與平面與平面所成的角所成的角. .(2)(2)線面角線面角的范圍：的范圍：_._.規(guī)定：當直線在平面內或與平面平行時，直線與平面所成的角規(guī)定：當直線在平面內或與平面平行時，直線與平面所成的角為為0 0，當直線與平面垂直時，直線與平面所成的角為，當直線與平面垂直時，直線與平面所成的角為 . .銳角銳角PAOPAO20 0， 23.3.平面與平面垂直平面與平面垂直(1)(1)二面角二面角定義：從一條直線出發(fā)的兩個半平面定義：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角所組成的圖形叫做二面角. .這條直線叫做這條直線叫做二面角的棱二面角的棱. .兩個半平面叫做兩個半平面叫做_._.如圖的二面角，可記作如圖的二面角，可記作: :二面角二面角_或二面角或二面角_._.二面角的面二面角的面P-AB-QP-AB-Q-l-二面角的平面角二面角的平面角如圖，過二面角如圖，過二面角-l-的棱的棱l上一點上一點O O在在兩個半平面內分別作兩個半平面內分別作BOBOl，AOAOl, ,則則_就叫做二面角就叫做二面角-l-的平面角的平面角. .二面角的范圍二面角的范圍設二面角的平面角為設二面角的平面角為，則，則_._.AOBAOB0,0,(2)(2)平面與平面垂直平面與平面垂直定義：定義：條件：兩相交平面所成的二面角為條件：兩相交平面所成的二面角為_._.結論：這兩平面垂直結論：這兩平面垂直. 直二面角直二面角判定定理和性質定理：判定定理和性質定理：文字語言文字語言圖形語言圖形語言符號語言符號語言判判定定定定理理 一個平面過另一個一個平面過另一個平面的平面的_，則，則這兩個平面垂直這兩個平面垂直 _, ,_, , 性性質質定定理理 兩個平面垂直，則兩個平面垂直，則一個平面內垂直于一個平面內垂直于_的直線與另的直線與另一個平面垂直一個平面垂直 _,_,_,_,_，_， l 垂線垂線交線交線ll =a=al l a a判斷下面結論是否正確判斷下面結論是否正確( (請在括號中打請在括號中打“”或或“”).”).(1)(1)直線直線l與平面與平面內的無數條直線都垂直，則內的無數條直線都垂直，則l .( ) .( )(2)(2)若直線若直線aa平面平面，直線，直線bb, ,則直線則直線a a與與b b垂直垂直. . ( )( )(3)(3)異面直線所成的角與二面角的取值范圍均為異面直線所成的角與二面角的取值范圍均為(0(0， . .( )( )2(4)(4)二面角是指兩個相交平面構成的圖形二面角是指兩個相交平面構成的圖形. .( )( )(5)(5)若兩個平面垂直，則其中一個平面內的任意一條直線垂直若兩個平面垂直，則其中一個平面內的任意一條直線垂直于另一個平面于另一個平面. .( )( )(6)(6)若平面若平面內的一條直線垂直于平面內的一條直線垂直于平面內的無數條直線，則內的無數條直線，則. .( )( )【解析【解析】(1)(1)錯誤錯誤. .直線直線l與平面與平面內的無數條直線都垂直時，內的無數條直線都垂直時，直線直線l與平面與平面可平行，可相交，直線可平行，可相交，直線l也可在平面也可在平面內內. .(2)(2)正確正確. .由由bb可得可得b b平行于平行于內的一條直線，設為內的一條直線，設為b,b,因為因為aa, ,所以所以abab，從而，從而abab. .(3)(3)錯誤錯誤. .異面直線所成角的范圍是異面直線所成角的范圍是(0(0， , ,而二面角的范圍而二面角的范圍是是0 0，. .2(4)(4)錯誤錯誤. .二面角是從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形二面角是從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形. .(5)(5)錯誤錯誤. .若平面若平面平面平面，則平面，則平面內的直線內的直線l與與可平行，可平行，可相交，也可在平面可相交，也可在平面內內. .(6)(6)錯誤錯誤. .平面平面內的一條直線垂直于平面內的一條直線垂直于平面內的無數條直線，內的無數條直線，不能保證該直線垂直于此平面不能保證該直線垂直于此平面，故不能推出，故不能推出. .答案答案: :(1)(1) (2) (3) (2) (3) (4) (4) (5) (5) (6) (6) 1.1.若若m m，n n為兩條不同的直線，為兩條不同的直線，為兩個不同的平面，則以為兩個不同的平面，則以下命題正確的是下命題正確的是 ( )( )(A)(A)若若mm，nn，則，則mnmn(B)(B)若若mn,mmn,m, ,則則nn(C)(C)若若m,m,，則，則mm(D)(D)若若=m,mn=m,mn, ,則則nn【解析【解析】選選B.AB.A選項中，選項中，m m與與n n可平行、相交、異面；可平行、相交、異面；C C選項中，選項中，m m可以平行于可以平行于，m m也可以在也可以在內；內；D D選項中，選項中，n n可能在可能在內或內或nn或與或與相交相交. .2.2.設設，為不重合的平面，為不重合的平面，m,nm,n為不重合的直線，則下列命為不重合的直線，則下列命題正確的是題正確的是( )( )(A)(A)若若,=n,mn,=n,mn, ,則則mm(B)(B)若若m m,n,n,mn,mn, ,則則nn(C)(C)若若n,n,mn,n,m, ,則則mm(D)(D)若若m,n,mnm,n,mn，則，則【解析【解析】選選C.CC.C選項中選項中,n,n,n,n,. .又又m,mm,m. .3.3.設設a,b,ca,b,c表示三條不同的直線，表示三條不同的直線，表示兩個不同的平面，表示兩個不同的平面，則下列命題中不正確的是則下列命題中不正確的是( )( )(A) (B)(A) (B)(C)(C) (D) (D) 【解析【解析】選選D.D.由由a,baa,ba可得，可得，b b與與的位置關系有的位置關系有:b:b, ,b b，b b與與相交，所以相交，所以D D不正確不正確. .cc abbbcca是 在 內的射影b cbcc abba 4.4.如圖，正方體如圖，正方體ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，B B1 1C C與平面與平面A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1所成的角為所成的角為_，其大小為其大小為_；D D1 1B B與平面與平面ABCDABCD所所成的角的正弦值為成的角的正弦值為_._.【解析【解析】B B1 1C C與平面與平面A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1所成的角為所成的角為CBCB1 1C C1 1，其大小為，其大小為4545；連接連接BDBD，則，則D D1 1B B與平面與平面ABCDABCD所成的角為所成的角為D D1 1BDBD，其正弦值為，其正弦值為答案答案: :CBCB1 1C C1 1 45453.3335.5.將正方形將正方形ABCDABCD沿沿ACAC折成直二面角后，折成直二面角后，DAB=_.DAB=_.【解析【解析】如圖如圖, ,取取ACAC的中點的中點O O，連接連接DODO，BOBO，則，則DOACDOAC，BOACBOAC，故故DOBDOB為二面角的平面角，從而為二面角的平面角，從而DOB=90DOB=90. .設正方形邊長設正方形邊長為為1 1，則，則DO=BO= DO=BO= ，所以，所以DB=1DB=1，故，故ADBADB為等邊三角形，所以為等邊三角形，所以DAB=60DAB=60. .答案答案: :606022考向考向1 1 直線與平面垂直的判定和性質直線與平面垂直的判定和性質【典例【典例1 1】(1)(2013(1)(2013深圳模擬深圳模擬) )設設l,m,n,m,n為三條不同的直線，為三條不同的直線，為兩個不同的平面，下列命題中正確的個數是為兩個不同的平面，下列命題中正確的個數是( )( )若若l,m,m,，則，則lmm; ;若若m m,n,n, , lmm, , lnn, ,則則l; ;若若lm,mnm,mn, , l, ,則則nn; ;若若lm,m,n,m,m,n,，則，則lnn. .(A)1 (B)2 (C)3 (D)4(A)1 (B)2 (C)3 (D)4 (2)(2013(2)(2013潮州模擬潮州模擬) )如圖，三棱錐如圖，三棱錐P-ABCP-ABC中，中，PAPA底面底面ABCABC，ABBCABBC，DEDE垂直平分線段垂直平分線段PCPC，且分別交，且分別交ACAC，PCPC于于D D，E E兩兩點點,PB=BC,PB=BC，PA=AB.PA=AB.求證：求證：PCPC平面平面BDEBDE；若點若點Q Q是線段是線段PAPA上任一點，上任一點，判斷判斷BDBD，DQDQ的位置關系，并證明你的結論；的位置關系，并證明你的結論；若若AB=2,AB=2,求三棱錐求三棱錐B-CEDB-CED的體積的體積. .【思路點撥【思路點撥】(1)(1)根據線面平行、面面平行及線面垂直的判定根據線面平行、面面平行及線面垂直的判定定理和性質定理逐個判斷定理和性質定理逐個判斷. .(2)(2)利用線面垂直的判定定理證明；利用線面垂直的判定定理證明；證明證明BDBD平面平面PACPAC即可；即可；根據根據V VB-CEDB-CED=V=VC-BDEC-BDE，轉化為求，轉化為求S SBDEBDE及及CECE的長度的長度. .【規(guī)范解答【規(guī)范解答】(1)(1)選選B.B.對于對于，直線，直線l,m,m可能互相平行，可能互相平行，不正確；不正確；對于對于，直線，直線m,nm,n可能是平行直線，此時不能得可能是平行直線，此時不能得l，不正確；不正確；對于對于，由，由“平行于同一條直線的兩條直線平行平行于同一條直線的兩條直線平行”與與“若兩條平若兩條平行線中的一條垂直于一個平面，則另一條也垂直于這個平面行線中的一條垂直于一個平面，則另一條也垂直于這個平面”得得知，知，正確；對于正確；對于，由，由lm,mm,m得得l, ,由由n,n,得得nn，因此有，因此有l(wèi)nn, ,正確正確. .綜上所述，其中命題正確的個數是綜上所述，其中命題正確的個數是2 2，故選故選B.B.(2)(2)DEDE垂直平分線段垂直平分線段PCPC，PB=PCPB=PC，DEPCDEPC，BEPCBEPC，又又BEDE=EBEDE=E，PCPC平面平面BDE.BDE.由由得，得，PCBD.PCBD.PAPA底面底面ABCABC，PABD.PABD.又又PCPA=PPCPA=P，BDBD平面平面PACPAC，當點當點Q Q是線段是線段PAPA上任一點時都有上任一點時都有BDDQ.BDDQ.PA=AB=2,PB=BC=2PA=AB=2,PB=BC=2ABBC,AC=2 ABBC,AC=2 ，PC=4PC=4，CE=2CE=2，且且BD= = =BD= = =CDECDECPACPA，DE= = =DE= = =由可知：由可知：BDDE.BDDE.VVB-CEDB-CED=V=VC-BDEC-BDE= S= SBDEBDECECE= =2.3AB BCAC2 2 22 32 6.3CEDE,CAPACE PACA2 22 32 3.313112 62 34 2() 2.32339【互動探究【互動探究】本例題本例題(2)(2)若改為若改為“設設Q Q是線段是線段PAPA上任意一點，上任意一點，求證：平面求證：平面BDQBDQ平面平面PAC”PAC”，如何證明？，如何證明？【證明【證明】由由(2)(2)的解法可知的解法可知BDBD平面平面PAC.PAC.又又BDBD平面平面BDQ,BDQ,平面平面BDQBDQ平面平面PAC.PAC.【拓展提升【拓展提升】1.1.判定線面垂直的四種方法判定線面垂直的四種方法方法一：利用線面垂直的判定定理方法一：利用線面垂直的判定定理. .方法二：利用方法二：利用“兩平行線中的一條與平面垂直，則另一條也與兩平行線中的一條與平面垂直，則另一條也與這個平面垂直這個平面垂直”. .方法三：利用方法三：利用“一條直線垂直于兩平行平面中的一個，則與另一條直線垂直于兩平行平面中的一個，則與另一個也垂直一個也垂直”. .方法四：利用面面垂直的性質定理方法四：利用面面垂直的性質定理. .2.2.線面垂直性質的重要應用線面垂直性質的重要應用當直線和平面垂直時，則直線與平面內的所有直線都垂直，給當直線和平面垂直時，則直線與平面內的所有直線都垂直，給我們提供了證明空間兩線垂直的一種重要方法我們提供了證明空間兩線垂直的一種重要方法. .【提醒【提醒】解題時一定要嚴格按照定理成立的條件規(guī)范書寫過程，解題時一定要嚴格按照定理成立的條件規(guī)范書寫過程，如用判定定理證明線面垂直時，一定要體現出如用判定定理證明線面垂直時，一定要體現出“平面中的兩條平面中的兩條相交直線相交直線”這一條件這一條件. .【變式備選【變式備選】如圖，幾何體如圖，幾何體ABCDPEABCDPE中，中，底面底面ABCDABCD是邊長為是邊長為4 4的正方形，的正方形，PAPA平面平面ABCDABCD，PAEBPAEB，且，且PA=2BE=4PA=2BE=4(1)(1)證明：證明：BDBD平面平面PEC.PEC.(2)(2)若若G G為為BCBC上的動點，求證：上的動點，求證：AEPG.AEPG.2.【證明【證明】(1)(1)連接連接ACAC交交BDBD于點于點O O，取，取PCPC的中點的中點F F，連接，連接OFOF，EFEF，EBPAEBPA，且，且EB= PAEB= PA，又，又OFPAOFPA，且，且OF= PAOF= PA，EBOFEBOF，且，且EB=OFEB=OF，四邊形四邊形EBOFEBOF為平行四邊形，為平行四邊形，EFBD.EFBD.又又EFEF平面平面PECPEC，BDBD平面平面PECPEC，BDBD平面平面PEC.PEC.1212 (2)(2)連接連接BPBP， ,EBA=BAP=90,EBA=BAP=90, ,EBAEBABAP,BAP,PBA=BEA,PBA+BAE=BEA+BAE=90PBA=BEA,PBA+BAE=BEA+BAE=90, ,PBAE.PBAE.PAPA平面平面ABCDABCD，PAPA平面平面APEBAPEB，平面平面ABCDABCD平面平面APEB.APEB.BCABBCAB，平面，平面ABCDABCD平面平面APEB=ABAPEB=AB，BCBC平面平面APEBAPEB，BCAE.BCAE.又又BCPB=BBCPB=B，AEAE平面平面PBC.GPBC.G為為BCBC上的動點，上的動點，PGPG平面平面PBCPBC，AEPG.AEPG.EBBA1ABPA2考向考向2 2 面面垂直的判定與性質面面垂直的判定與性質【典例【典例2 2】(2013(2013惠州模擬惠州模擬) )如圖所示，如圖所示，ABCABC為正三角形，為正三角形，CECE平面平面ABCABC，BDCEBDCE，CE=CA=2BDCE=CA=2BD，M M是是EAEA的中點的中點. .求證：求證：(1)DE=DA.(1)DE=DA.(2)(2)平面平面BDMBDM平面平面ECA.ECA.【思路點撥思路點撥】(1)(1)由于由于CE=2BDCE=2BD，故可考慮取，故可考慮取CECE的中點的中點F F，通過證，通過證明明DEFDEFADBADB來證明來證明DE=DA.DE=DA.(2)(2)證明面面垂直，應先證明線面垂直證明面面垂直，應先證明線面垂直. .【規(guī)范解答【規(guī)范解答】(1)(1)取取CECE的中點的中點F F，連接，連接DF.DF.CECE平面平面ABCABC，CEBC.CEBC.BDCEBDCE，BD= CE=CF=FEBD= CE=CF=FE，四邊形四邊形FCBDFCBD是矩形，是矩形，DFEC.DFEC.又又BA=BC=DFBA=BC=DF，RtRtDEFRtDEFRtADBADB，DE=DA.DE=DA.12 (2)(2)取取ACAC中點中點N N，連接，連接MNMN，NBNB，M M是是EAEA的中點，的中點，MNMN CE. CE.由由BDBD CE,CE,且且BDBD平面平面ABCABC，可得四邊形，可得四邊形MNBDMNBD是矩形，是矩形，于是于是DMMN.DE=DADMMN.DE=DA，M M是是EAEA的中點，的中點，DMEA.DMEA.又又EAMN=MEAMN=M，DMDM平面平面ECAECA，而，而DMDM平面平面BDMBDM，平面平面BDMBDM平面平面ECA.ECA.1212【拓展提升【拓展提升】1.1.面面垂直的證明方法面面垂直的證明方法面面垂直的證明問題，主要思路有兩條：其一，用面面垂直的面面垂直的證明問題，主要思路有兩條：其一，用面面垂直的判定定理，即先證明其中一個平面經過另一個平面的一條垂線；判定定理，即先證明其中一個平面經過另一個平面的一條垂線；其二，用面面垂直的定義，即證明兩個平面所成的二面角是直其二，用面面垂直的定義，即證明兩個平面所成的二面角是直二面角，把證明面面垂直的問題轉化為證明平面角為直角的問二面角，把證明面面垂直的問題轉化為證明平面角為直角的問題題. .2.2.面面垂直的性質應用技巧面面垂直的性質應用技巧兩平面垂直，在一個平面內垂直于交線的直線必垂直于另一個兩平面垂直，在一個平面內垂直于交線的直線必垂直于另一個平面平面. .這是把面面垂直轉化為線面垂直的依據這是把面面垂直轉化為線面垂直的依據. .運用時要注意運用時要注意“平面內的直線平面內的直線”. .【變式訓練【變式訓練】如圖，正方形如圖，正方形ABCDABCD和四邊形和四邊形ACEFACEF所在的平面互相所在的平面互相垂直，垂直，EFACEFAC，AB= AB= ，CE=EF=1.CE=EF=1.求證：求證：(1)AF(1)AF平面平面BDE.BDE.(2)CF(2)CF平面平面BDE.BDE.【證明【證明】(1)(1)設設ACAC與與BDBD交于點交于點G.G.因為因為EFAGEFAG，且，且EF=1EF=1，AG= AC=1AG= AC=1，所以四邊形所以四邊形AGEFAGEF為平行四邊形為平行四邊形. .所以所以AFEG.AFEG.因為因為EGEG平面平面BDEBDE，AFAF平面平面BDEBDE，所以所以AFAF平面平面BDE.BDE.122(2)(2)連接連接FG.FG.因為因為EFCGEFCG，EF=CG=1EF=CG=1，且，且CE=1,CE=1,所以四邊形所以四邊形CEFGCEFG為菱形為菱形. .所以所以CFEG.CFEG.因為四邊形因為四邊形ABCDABCD為正方形，所以為正方形，所以BDAC.BDAC.又因為平面又因為平面ACEFACEF平面平面ABCDABCD，且平面且平面ACEFACEF平面平面ABCD=ACABCD=AC，所以所以BDBD平面平面ACEFACEF且且CFCF平面平面ACEFACEF，所以所以CFBD.CFBD.又又BDEG=GBDEG=G，所以，所以CFCF平面平面BDE.BDE. 考向考向3 3 垂直關系的綜合應用垂直關系的綜合應用【典例【典例3 3】(1)(2013(1)(2013韶關模擬韶關模擬) )如圖，已知六棱錐如圖，已知六棱錐P-ABCDEFP-ABCDEF的的底面是正六邊形，底面是正六邊形，PAPA平面平面ABCABC，PA=2ABPA=2AB，則下列結論正確的，則下列結論正確的是是( )( )(A)PBAD(A)PBAD(B)(B)平面平面PABPAB平面平面PBCPBC(C)(C)直線直線BCBC平面平面PAEPAE(D)(D)直線直線PDPD與平面與平面ABCABC所成的角為所成的角為4545(2)(2013(2)(2013南京模擬南京模擬) )如圖所示，如圖所示，M M，N N，K K分別是正方體分別是正方體ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的棱的棱ABAB，CDCD，C C1 1D D1 1的中點的中點. .求證：求證：ANAN平面平面A A1 1MK;MK;平面平面A A1 1B B1 1CC平面平面A A1 1MK.MK.【思路點撥【思路點撥】(1)(1)結合圖形、題意，對選項逐一判斷即可結合圖形、題意，對選項逐一判斷即可. .(2)(2)要證線面平行，需證線線平行要證線面平行，需證線線平行; ;要證面面垂直，需證線要證面面垂直，需證線面垂直面垂直. . 【規(guī)范解答【規(guī)范解答】(1)(1)選選D.D.對于選項對于選項A A，B B，C C，根據條件無法判斷成，根據條件無法判斷成立，對于選項立，對于選項D D，在，在RtRtPADPAD中，中，PAD=90PAD=90，PA=2AB=AD,PA=2AB=AD,故故PDA=45PDA=45, ,即直線即直線PDPD與平面與平面ABCABC所成的角為所成的角為4545，故選，故選D.D.(2)(2)如圖所示，連接如圖所示，連接NK.NK.在正方體在正方體ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，四邊形四邊形AAAA1 1D D1 1D D，DDDD1 1C C1 1C C都為正方形，都為正方形，AAAA1 1DDDD1 1，AAAA1 1=DD=DD1 1，C C1 1D D1 1CDCD，C C1 1D D1 1=CD.=CD.NN，K K分別為分別為CDCD，C C1 1D D1 1的中點，的中點，DNDDND1 1K K，DN=DDN=D1 1K K，四邊形四邊形DDDD1 1KNKN為平行四邊形為平行四邊形. .KNDDKNDD1 1，KN=DDKN=DD1 1，AAAA1 1KNKN，AAAA1 1=KN=KN，四邊形四邊形AAAA1 1KNKN為平行四邊形，為平行四邊形，ANAANA1 1K.K.AA1 1K K平面平面A A1 1MKMK，ANAN平面平面A A1 1MKMK，ANAN平面平面A A1 1MK.MK.連接連接BCBC1 1. .在正方體在正方體ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，ABCABC1 1D D1 1，AB=CAB=C1 1D D1 1. .MM，K K分別為分別為ABAB，C C1 1D D1 1的中點，的中點，BMCBMC1 1K K，BM=CBM=C1 1K K，四邊形四邊形BCBC1 1KMKM為平行四邊形，為平行四邊形，MKBCMKBC1 1. .在正方體在正方體ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，A A1 1B B1 1平面平面BBBB1 1C C1 1C C，BCBC1 1平面平面BBBB1 1C C1 1C C，A A1 1B B1 1BCBC1 1. . MKBCMKBC1 1,A,A1 1B B1 1MK.MK.四邊形四邊形BBBB1 1C C1 1C C為正方形，為正方形，BCBC1 1BB1 1C.C.MKBMKB1 1C.AC.A1 1B B1 1平面平面A A1 1B B1 1C C，B B1 1C C平面平面A A1 1B B1 1C C，A A1 1B B1 1BB1 1C=BC=B1 1，MKMK平面平面A A1 1B B1 1C.C.又又MKMK平面平面A A1 1MKMK，平面平面A A1 1B B1 1CC平面平面A A1 1MK.MK. 【拓展提升【拓展提升】垂直關系綜合題的類型及解法垂直關系綜合題的類型及解法(1)(1)三種垂直的綜合問題，一般通過作輔助線進行線線、線面、三種垂直的綜合問題，一般通過作輔助線進行線線、線面、面面垂直間的轉化面面垂直間的轉化. .(2)(2)垂直與平行結合問題，求解時應注意平行、垂直的性質及垂直與平行結合問題，求解時應注意平行、垂直的性質及判定的綜合應用判定的綜合應用. .(3)(3)垂直與體積結合問題，在求體積時，可根據線面垂直得到垂直與體積結合問題，在求體積時，可根據線面垂直得到表示高的線段，進而求得體積表示高的線段，進而求得體積. .【變式訓練【變式訓練】如圖，已知三棱錐如圖，已知三棱錐A-BPCA-BPC中，中，APPCAPPC，ACBCACBC，M M為為ABAB的中點，的中點，D D為為PBPB的中點，且的中點，且PMBPMB為正三角形為正三角形. .(1)(1)求證：求證：DMDM平面平面APC.APC.(2)(2)求證：平面求證：平面ABCABC平面平面APC.APC.(3)(3)若若BCBC4 4，ABAB2020，求，求三棱錐三棱錐D-BCMD-BCM的體積的體積. .【解析【解析】(1)M(1)M為為ABAB中點，中點，D D為為PBPB中點，中點，DMAP.DMAP.又又DMDM平面平面APCAPC，APAP平面平面APC,APC,DMDM平面平面APC.APC.(2)(2)PMBPMB為正三角形，且為正三角形，且D D為為PBPB中點，中點，DMPB.DMPB.又由又由(1)(1)知知DMAPDMAP，APPB.APPB.又又APPCAPPC，PBPC=PPBPC=P，APAP平面平面PBCPBC，APBC.APBC.又又ACBCACBC，APAC=AAPAC=A，BCBC平面平面APC.APC.又又BCBC平面平面ABC,ABC,平面平面ABCABC平面平面APC.APC. (3)AB(3)AB2020，MPMP1010，PBPB10.10.又又BCBC4 4，PCPC , ,SSBCDBCD S SPBCPBC PCPCBCBC 2 2 4=2 .4=2 .又又DMDM APAP 5 5 ，V VD-BCMD-BCMV VM-BCDM-BCD S SBCDBCDDMDM 10 .10 .100 16 2 21 1214142121121400 100231312 21 5 337考向考向4 4 線面角、二面角的求法線面角、二面角的求法【典例【典例4 4】(2013(2013寧波模擬寧波模擬) )如圖所示，三棱柱如圖所示，三棱柱ABC-AABC-A1 1B B1 1C C1 1的的底面是邊長為底面是邊長為2 2的正三角形且側棱垂直于底面，側棱長是的正三角形且側棱垂直于底面，側棱長是 ，D D是是ACAC的中點的中點. .(1)(1)求證：求證：B B1 1CC平面平面A A1 1BD.BD.(2)(2)求二面角求二面角A A1 1-BD-A-BD-A的大小的大小. .(3)(3)求直線求直線ABAB1 1與平面與平面A A1 1BDBD所成的角的正弦值所成的角的正弦值. .3【思路點撥【思路點撥】(1)(1)三棱柱的側面是矩形，對角線三棱柱的側面是矩形，對角線A A1 1B B，ABAB1 1的交點的交點與點與點D D的連線平行于的連線平行于B B1 1C.C.(2)(2)由于三棱柱的底面是正三角形，由于三棱柱的底面是正三角形，D D為為ACAC的中點，由側面與底的中點，由側面與底面垂直，可以得到面垂直，可以得到BDBD平面平面ACCACC1 1A A1 1，BDABDA1 1D D，A A1 1DADA就是二面就是二面角的平面角角的平面角. .(3)(3)根據根據(2)(2)得平面得平面A A1 1BDBD平面平面A A1 1ADAD，只要過點，只要過點A A作作A A1 1D D的垂線即的垂線即可得到點可得到點A A在平面在平面A A1 1BDBD內的射影，即得到了線面角內的射影，即得到了線面角. .【規(guī)范解答【規(guī)范解答】(1)(1)設設ABAB1 1與與A A1 1B B相交于點相交于點P P，連接連接PDPD，如圖所示，則，如圖所示，則P P為為ABAB1 1的中點，的中點，因為因為D D為為ACAC的中點，所以的中點，所以PDBPDB1 1C.C.又因為又因為PDPD平面平面A A1 1BDBD，B B1 1C C平面平面A A1 1BDBD，所以，所以B B1 1CC平面平面A A1 1BD.BD. (2)(2)由題知，平面由題知，平面ACCACC1 1A A1 1平面平面ABCABC，平面平面ACCACC1 1A A1 1平面平面ABC=ACABC=AC，又因為，又因為BDACBDAC，則，則BDBD平面平面ACCACC1 1A A1 1，所以所以BDABDA1 1D D，所以，所以A A1 1DADA就是二面角就是二面角A A1 1-BD-A-BD-A的平面角的平面角. .因為因為AAAA1 1= = ，AD= AC=1AD= AC=1，則則tanAtanA1 1DA= = DA= = ，所以，所以A A1 1DA= DA= ，即二面角即二面角A A1 1-BD-A-BD-A的大小是的大小是 . .3121A AAD333(3)(3)作作AMAAMA1 1D D于于M.M.由由(2)(2)，易知，易知BDBD平面平面ACCACC1 1A A1 1，因為因為AMAM平面平面ACCACC1 1A A1 1，所以，所以BDAM.BDAM.因為因為A A1 1DBD=DDBD=D，所以，所以AMAM平面平面A A1 1BD.BD.連接連接MPMP，易知，易知APMAPM就是直線就是直線ABAB1 1與平面與平面A A1 1BDBD所成的角所成的角. .因為因為AAAA1 1= = ，AD=1AD=1，所以在，所以在RtRtAAAA1 1D D中，中，A A1 1DA= DA= ，所以所以AM=1AM=1sin 60sin 60= ,AP= AB= ,AP= AB1 1= = ，所以所以sinAPMsinAPM= = ，所以直線，所以直線ABAB1 1與平面與平面A A1 1BDBD所所成的角的正弦值為成的角的正弦值為 . . 333212723AM212AP772217【拓展提升【拓展提升】1.1.求空間角的三個步驟求空間角的三個步驟(1)(1)找，即找出相關的角找，即找出相關的角. .(2)(2)證，即證明找出的角即為所求的角證，即證明找出的角即為所求的角. .(3)(3)計算，即通過解三角形的方法求出所求角計算，即通過解三角形的方法求出所求角. .2.2.空間角的找法空間角的找法(1)(1)線面角線面角找出斜線在平面上的射影，關鍵是作出垂線，確定垂足找出斜線在平面上的射影，關鍵是作出垂線，確定垂足. .(2)(2)二面角二面角二面角的大小用它的平面角來度量，平面角的常見作法有：二面角的大小用它的平面角來度量，平面角的常見作法有：定義法；定義法；垂面法垂面法. .其中定義法是最常用的方法其中定義法是最常用的方法. .【變式訓練【變式訓練】如圖，在梯形如圖，在梯形ABCDABCD中，中，ABCDABCD，AD=DC=CB=2AD=DC=CB=2，CAB=30CAB=30，四邊形，四邊形ACFEACFE為矩形，平面為矩形，平面ACFEACFE平面平面ABCDABCD，CF=3.CF=3.(1)(1)求證：求證：BCBC平面平面ACFE.ACFE.(2)(2)設點設點M M為為EFEF中點，中點，求二面角求二面角B-AM-CB-AM-C的余弦值的余弦值. .【解析【解析】(1)AD=DC=CB=2(1)AD=DC=CB=2，CAB=30CAB=30，則則ABC=60ABC=60，BCACBCAC，平面平面ACFEACFE平面平面ABCDABCD，平面平面ACFEACFE平面平面ABCD=ACABCD=AC，BCBC平面平面ACFE.ACFE.(2)(2)過過C C作作CHAMCHAM交交AMAM于點于點H H，連接，連接BHBH，BCBC平面平面ACFEACFE，BCAM.BCAM.又又CHBC=CCHBC=C，AMAM平面平面CHBCHB，AMBHAMBH，CHBCHB為二面角為二面角B-AM-CB-AM-C的平面角的平面角. .在在RtRtBHCBHC中，中，CH=3CH=3，HB= ,cosCHBHB= ,cosCHB= = ，則二面角則二面角B-AM-CB-AM-C的余弦值為的余弦值為 . . 133 13133 1313【滿分指導【滿分指導】垂直關系綜合問題的規(guī)范解答垂直關系綜合問題的規(guī)范解答【典例【典例】(12(12分分)(2012)(2012廣東高考廣東高考) )如圖所示，在四棱錐如圖所示，在四棱錐P-ABCDP-ABCD中，中，ABAB平面平面PADPAD，ABCDABCD，PD=ADPD=AD，E E是是PBPB的中點，的中點，F F是是DCDC上的上的點且點且DF= ABDF= AB，PHPH為為PADPAD中中ADAD邊上的高邊上的高. .(1)(1)證明：證明：PHPH平面平面ABCD.ABCD.(2)(2)若若PH=1PH=1，AD= AD= ，FC=1FC=1，求三棱錐，求三棱錐E-BCFE-BCF的體積的體積. .(3)(3)證明：證明：EFEF平面平面PAB.PAB.122【思路點撥【思路點撥】 已已 知知 條條 件件條條 件件 分分 析析ABAB平面平面PADPADABAB垂直平面垂直平面PADPAD內的所有直線內的所有直線E E是是PBPB的中點的中點三棱錐三棱錐E-BCFE-BCF的高為的高為PHPH的一半的一半E E為為PBPB的中點，的中點，DFDF AB AB可作出可作出PAPA的中點的中點G G，利用三角形，利用三角形的中位線可得的中位線可得GEGE DFDF 12【規(guī)范解答【規(guī)范解答】(1)(1)由于由于ABAB平面平面PADPAD，PHPH平面平面PADPAD，故，故ABPH.ABPH.1 1分分又又PHPH為為PADPAD中中ADAD邊上的高，故邊上的高，故ADPH.ADPH.2 2分分ABAD=AABAD=A，ABAB平面平面ABCDABCD，ADAD平面平面ABCDABCD，PHPH平面平面ABCD.ABCD.4 4分分 (2)(2)由于由于PHPH平面平面ABCDABCD，E E為為PBPB的中點，的中點，PH=1PH=1， 故故E E到平面到平面ABCDABCD的距離的距離h= PH= . h= PH= . 5 5分分又因為又因為ABCDABCD，ABADABAD，所以，所以ADCDADCD，6 6分分故故S SBCFBCF= = FCFCAD= AD= 1 1 = = 7 7分分因此因此V VE-BCFE-BCF= S= SBCFBCFh h= = = . = . 8 8分分1212121222.213131221222(3)(3)過過E E作作EGABEGAB交交PAPA于于G G，連接，連接DG. DG. 由于由于E E為為PBPB的中點，的中點，GG為為PAPA的中點的中點. . 9 9分分AD=PDAD=PD，故，故DPADPA為等腰三角形，為等腰三角形，DGAP.DGAP.ABAB平面平面PADPAD，DGDG平面平面PADPAD，ABDG.ABDG.1010分分 又又ABPA=AABPA=A，ABAB平面平面PABPAB，PAPA平面平面PABPAB，DGDG平面平面PAB.PAB.1111分分又又GE AB,DFGE AB,DF AB,AB,GEGE DF.DF.四邊形四邊形DFEGDFEG為平行四邊形，故為平行四邊形，故DGEF.DGEF.EFEF平面平面PAB.PAB.1212分分1212【失分警示【失分警示】( (下文下文見規(guī)范解答過程見規(guī)范解答過程) )1.(20131.(2013珠海模擬珠海模擬) )已知兩條不同的直線已知兩條不同的直線m m，n n，兩個不同的平，兩個不同的平面面，則下列命題中的真命題是，則下列命題中的真命題是( )( )(A)(A)若若mm，nn，則，則mnmn(B)(B)若若mm，nn，則，則mnmn(C)(C)若若mm，nn，則，則mnmn(D)(D)若若mm，nn，則，則mnmn【解析【解析】選選A.A.由由m,m,可得可得mm或或m m，又，又nn，故故mnmn，即，即A A正確；如圖正確；如圖(1)(1)，m,n,m,n, ,但但mnmn，故故C C錯；如圖錯；如圖(2)(2)知知B B錯；如圖錯；如圖(3)(3)正方體中，正方體中，m,nm,n, ,，但，但m,nm,n相交，故相交，故D D錯錯. .2.(20132.(2013東莞模擬東莞模擬) )如圖，在正四面體如圖，在正四面體P-ABCP-ABC中，中，D D，E E，F F分別分別是是ABAB，BCBC，CACA的中點，下面四個結論不成立的是的中點，下面四個結論不成立的是( )( )(A)BC(A)BC平面平面PDFPDF(B)DF(B)DF平面平面PAEPAE(C)(C)平面平面PDFPDF平面平面PAEPAE(D)(D)平面平面PDEPDE平面平面ABCABC【解析【解析】選選D.D.對于對于A A，由于，由于BCDFBCDF，故由線面平行的判定定理，故由線面平行的判定定理知知BCBC平面平面PDFPDF，即，即A A正確；對于正確；對于B B，由于，由于BCPEBCPE，BCAEBCAE，從，從而而BCBC平面平面PAEPAE，又，又DFBCDFBC，故，故DFDF平面平面PAEPAE，故，故B B成立；對于成立；對于C,C,由于由于DFDF平面平面PAEPAE，故平面，故平面PDFPDF平面平面PAEPAE，即，即C C正確；對于正確；對于D D，無法判定平面無法判定平面PDEPDE平面平面ABCABC，故，故D D不正確不正確. .3.(20133.(2013廣州模擬廣州模擬) )正四棱錐正四棱錐S-ABCDS-ABCD的底面邊長為的底面邊長為2 2，高為，高為2 2，E E是邊是邊BCBC的中點，動點的中點，動點P P在表面上運動，并且總保持在表面上運動，并且總保持PEACPEAC，則，則動點動點P P的軌跡的周長為的軌跡的周長為_._.【解析【解析】如圖，取如圖，取CDCD的中點的中點F F，SCSC的中點的中點G G，連接，連接EFEF，EGEG，FGFG，設設EFEF交交ACAC于點于點H H，易知，易知ACEFACEF，又，又GHSOGHSO，GHGH平面平面ABCDABCD，ACGH.ACGH.又又GHEF=HGHEF=H，ACAC平面平面EFG.EFG.故點故點P P的軌跡是的軌跡是EFGEFG，其周長為，其周長為 + .+ .答案答案: : + + 26264.(20134.(2013梅州模擬梅州模擬) )如圖所示，在三棱柱如圖所示，在三棱柱ABC-AABC-A1 1B B1 1C C1 1中，側面中，側面A A1 1ABBABB1 1和和BCCBCC1 1B B1 1是兩個全等的正方形，是兩個全等的正方形，ACAC1 1平面平面A A1 1DB,DDB,D為為ACAC的的中點中點. .(1)(1)求證：平面求證：平面A A1 1ABBABB1 1平面平面BCCBCC1 1B B1 1. .(2)(2)求證：求證：B B1 1CC平面平面A A1 1DB.DB.(3)(3)設設E E是是CCCC1 1上一點，試確定點上一點，試確定點E E的位置，使平面的位置，使平面A A1 1DBDB平面平面BDEBDE，并說明理由并說明理由. .【解析【解析】(1)(1)方法一：連接方法一：連接ABAB1 1,AC,AC1 1平面平面A A1 1DB.DB.A A1 1B B平面平面A A1 1DB,ACDB,AC1 1AA1 1B.B.又又A A1 1BABBAB1 1,AC,AC1 1ABAB1 1=A,=A,AA1 1BB平面平面ACAC1 1B B1 1, ,又又B B1 1C C1 1平面平面ACAC1 1B B1 1,A,A1 1BBBB1 1C C1 1. .又又在正方形在正方形BCCBCC1 1B B1 1中，中，B B1 1C C1 1BBBB1 1, ,又又BBBB1 1AA1 1B=B,B=B,BB1 1C C1 1平面平面A A1 1ABBABB1 1. .BB1 1C C1 1平面平面BCCBCC1 1B B1 1, ,平面平面A A1 1ABBABB1 1平面平面BCCBCC1 1B B1 1. .方法二：由已知可知三棱柱是直三棱柱，方法二：由已知可知三棱柱是直三棱柱，四邊形四邊形A A1 1ACCACC1 1為矩形為矩形. .又又ACAC1 1平面平面A A1 1DB,ADB,A1 1D D平面平面A A1 1DB,DB,ACAC1 1AA1 1D.D.又又D D為為ACAC的中點，的中點，AAAA1 1AD=ACCCAD=ACCC1 1, , AC AC2 2=AA=AA1 1CCCC1 1=AB=AB2 2,AC= AB,AC= AB,ABBC.ABBC.又又BCBBBCBB1 1且且BBBB1 1AB=B,AB=B,BCBC平面平面A A1 1ABBABB1 1, ,又又BCBC平面平面BCCBCC1 1B B1 1, ,平面平面A A1 1ABBABB1 1平面平面BCCBCC1 1B B1 1. .122 (2)(2)設設ABAB1 1交交A A1 1B B于點于點O O，連接，連接OD,OOD,O為為ABAB1 1的中點的中點. .又又D D為為ACAC的中點，的中點，在在ACBACB1 1中，中，ODBODB1 1C.C.BB1 1C C平面平面A A1 1DB,ODDB,OD平面平面A A1 1DB,DB,BB1 1CC平面平面A A1 1DB.DB. (3)(3)取取CCCC1 1的中點的中點E E，又，又D D為為ACAC的中點，的中點，在在ACCACC1 1中，中，DEACDEAC1 1. .又又ACAC1 1平面平面A A1 1DB,DB,DEDE平面平面A A1 1DB.DB.又又DEDE平面平面BDEBDE，平面平面A A1 1DBDB平面平面BDE,BDE,即當點即當點E E為為CCCC1 1的中點時，平面的中點時，平面A A1 1DBDB平面平面BDE.BDE.1.1.如圖，如圖，O O為正方體為正方體ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的底面的底面ABCDABCD的中心，則下列的中心，則下列直線中與直線中與B B1 1O O垂直的是垂直的是( )( )(A)A(A)A1 1D (B)AAD (B)AA1 1 (C)A (C)A1 1D D1 1 (D)A (D)A1 1C C1 1【解析解析】選選D.D.易知易知A A1 1C C1 1平面平面BBBB1 1D D1 1D.D.又又B B1 1O O平面平面BBBB1 1D D1 1D D，A A1 1C C1 1BB1 1O,O,故選故選D.D.2.2.如圖所示，在四棱錐如圖所示，在四棱錐P-ABCDP-ABCD中，中，PAPA底面底面ABCDABCD，且底面各邊，且底面各邊都相等，都相等，M M是是PCPC上的一動點，當點上的一動點，當點M M滿足滿足_時，平面時，平面MBDMBD平面平面PCD(PCD(只要填寫一個你認為正確的條件即可只要填寫一個你認為正確的條件即可).).【解析【解析】由由PABDPABD，ACBDACBD可得可得BDBD平面平面PACPAC，所以，所以BDPC.BDPC.所以當所以當DMPC(DMPC(或或BMPC)BMPC)時，時，即有即有PCPC平面平面MBDMBD，而，而PCPC平面平面PCDPCD，平面平面MBDMBD平面平面PCD.PCD.答案答案: :DMPC(DMPC(或或BMPC)BMPC)3.3.如圖，在長方形如圖，在長方形ABCDABCD中，中，AB=2AB=2，BC=1BC=1，E E為為DCDC的中點，的中點，F F為線為線段段EC(EC(端點除外端點除外) )上一動點上一動點. .現將現將AFDAFD沿沿AFAF折起，使平面折起，使平面ABDABD平面平面ABC.ABC.在平面在平面ABDABD內過點內過點D D作作DKABDKAB，K K為垂足為垂足. .設設AK=t,AK=t,則則t t的的取值范圍是取值范圍是_._.【解析【解析】連接連接KFKF，易證，易證DKKF.DKKF.設設EF=m,EF=m,則則0m1.0m1.在在RtRtDKFDKF中，中，DF=1+mDF=1+m，DK= ,KF= ,DK= ,KF= ,由勾股定理得由勾股定理得DFDF2 2=DK=DK2 2+KF+KF2 2，即即(1+m)(1+m)2 2=1-t=1-t2 2+1+(1+m-t)+1+(1+m-t)2 2, ,t= .t= .又又0m1,0m1,故故 t1.t1.答案答案: :( ( ，1)1) 221t2211mt11m1212