高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第二章 函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 2.8 函數(shù)與方程課件(理).ppt

第八節(jié)函數(shù)與方程 知識(shí)梳理 1 函數(shù)的零點(diǎn) 1 函數(shù)零點(diǎn)的定義對(duì)于函數(shù)y f x 把使 的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y f x 的零點(diǎn) f x 0 2 函數(shù)零點(diǎn)的判定 零點(diǎn)存在性定理 如果函數(shù)y f x 在區(qū)間 a b 上的圖象是 的一條曲線(xiàn) 并且有 那么 函數(shù)y f x 在區(qū)間 內(nèi)有零點(diǎn) 即存在c a b 使得 這個(gè)c也就是方程f x 0的根 連續(xù)不斷 f a f b 0 a b f c 0 2 二次函數(shù)y ax2 bx c a 0 的圖象與零點(diǎn)的關(guān)系 x1 0 x2 0 x1 0 2 1 0 特別提醒 1 有關(guān)函數(shù)零點(diǎn)的結(jié)論 1 若連續(xù)不斷的函數(shù)f x 在定義域上是單調(diào)函數(shù) 則f x 至多有一個(gè)零點(diǎn) 2 連續(xù)不斷的函數(shù) 其相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之間的所有函數(shù)值保持同號(hào) 3 連續(xù)不斷的函數(shù)圖象通過(guò)零點(diǎn)時(shí) 函數(shù)值可能變號(hào) 也可能不變號(hào) 2 三個(gè)等價(jià)關(guān)系方程f x 0有實(shí)數(shù)根 函數(shù)y f x 的圖象與x軸有交點(diǎn) 函數(shù)y f x 有零點(diǎn) 小題快練 鏈接教材練一練1 必修1P88例1改編 函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為 A 0B 1C 2D 3 解析 選B 函數(shù)f x 的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是方程 0的解的個(gè)數(shù) 即方程的解的個(gè)數(shù) 也就是函數(shù)y 與y 的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù) 在同一坐標(biāo)系中作出兩個(gè)函數(shù)的圖象 可得交點(diǎn)個(gè)數(shù)為1 感悟考題試一試2 2015 安徽高考 下列函數(shù)中 既是偶函數(shù)又存在零點(diǎn)的是 A y cosxB y sinxC y lnxD y x2 1 解題提示 根據(jù)偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng) 偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)及函數(shù)零點(diǎn)的定義進(jìn)行判斷 解析 選A 3 2016 保定模擬 若函數(shù)f x x2 2mx m2 1在區(qū)間 0 1 上恰有一個(gè)零點(diǎn) 則m的取值范圍為 A 1 0 1 2 B 2 1 0 1 C 1 1 D 2 2 解析 選A 令f x x2 2mx m2 1 0 可得x1 m 1 x2 m 1 因?yàn)楹瘮?shù)f x x2 2mx m2 1在區(qū)間 0 1 上恰有一個(gè)零點(diǎn) 所以0 m 1 1或0 m 1 1 所以1 m 2或 1 m 0 4 2016 商丘模擬 已知f x 是定義在R上的奇函數(shù) 當(dāng)x 0時(shí) f x x2 3x 則函數(shù)g x f x x 3的零點(diǎn)的集合為 解析 令x0 所以f x x 2 3 x x2 3x 因?yàn)閒 x 是定義在R上的奇函數(shù) 所以f x f x 所以當(dāng)x 0時(shí) f x x2 3x 所以當(dāng)x 0時(shí) g x x2 4x 3 令g x 0 即x2 4x 3 0 解得x 1或x 3 當(dāng)x0 舍去 或x 2 所以函數(shù)g x 有三個(gè)零點(diǎn) 故其集合為 2 1 3 答案 2 1 3 考向一確定函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間 典例1 1 方程log3x x 3的根所在的區(qū)間為 A 0 1 B 1 2 C 2 3 D 3 4 2 2016 宿州模擬 設(shè)函數(shù)y x3與y 的圖象的交點(diǎn)為 x0 y0 若x0 n n 1 n N 則x0所在的區(qū)間是 解題導(dǎo)引 1 利用零點(diǎn)存在性定理進(jìn)行判斷 2 分別畫(huà)出函數(shù)y x3與y 的圖象 利用函數(shù)零點(diǎn)存在性定理進(jìn)行判斷 規(guī)范解答 1 選C 方程log3x x 3的根即是函數(shù)f x log3x x 3的零點(diǎn) 由于f 2 log32 2 3 log32 10且函數(shù)f x 在 0 上為單調(diào)增函數(shù) 所以函數(shù)f x 的零點(diǎn)即方程log3x x 3的根 所在區(qū)間為 2 3 一題多解 解答本題還有以下方法 選C 方程log3x x 3的根所在區(qū)間即是函數(shù)y1 log3x與y2 3 x交點(diǎn)橫坐標(biāo)所在區(qū)間 兩函數(shù)圖象如圖所示 由圖知方程log3x x 3的根所在區(qū)間為 2 3 2 設(shè)f x x3 則x0是函數(shù)f x 的零點(diǎn) 在同一坐標(biāo)系下畫(huà)出函數(shù)y x3與y 的圖象如圖所示 因?yàn)閒 1 1 10 所以f 1 f 2 0 所以x0 1 2 答案 1 2 規(guī)律方法 確定函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的方法 1 解方程法 當(dāng)對(duì)應(yīng)方程f x 0易解時(shí) 可先解方程 然后再看求得的根是否落在給定區(qū)間上 2 利用函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理 首先看函數(shù)y f x 在區(qū)間 a b 上的圖象是否連續(xù) 再看是否有f a f b 0 若有 則函數(shù)y f x 在區(qū)間 a b 內(nèi)必有零點(diǎn) 3 數(shù)形結(jié)合法 通過(guò)畫(huà)函數(shù)圖象 觀(guān)察圖象與x軸在給定區(qū)間上是否有交點(diǎn)來(lái)判斷 變式訓(xùn)練 2016 九江模擬 函數(shù)f x x log2x的零點(diǎn)所在區(qū)間為 解析 選A 因?yàn)樗怨屎瘮?shù)f x x log2x的零點(diǎn)所在區(qū)間為 加固訓(xùn)練 1 已知函數(shù)f x log2x 在下列區(qū)間中 包含f x 零點(diǎn)的區(qū)間是 A 0 1 B 1 2 C 2 4 D 4 解析 選C 由題意知 函數(shù)f x 在 0 上為減函數(shù) 又f 1 6 0 6 0 f 2 3 1 2 0 由零點(diǎn)存在性定理 可知函數(shù)f x 在區(qū)間 2 4 上必存在零點(diǎn) 2 函數(shù)f x ln x 1 的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間是 A 0 1 B 1 2 C 2 e D 3 4 解析 選B 因?yàn)閒 x 在 0 上為單調(diào)增函數(shù) 且f 1 ln2 20 所以函數(shù)的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間是 1 2 3 下列函數(shù)中在 1 2 內(nèi)有零點(diǎn)的是 A f x 3x2 4x 5B f x x3 5x 5C f x lnx 3x 6D f x ex 3x 6 解析 選D f x ex 3x 6 f 1 e 30 函數(shù)在 1 2 內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn) 4 2016 河南十所名校聯(lián)考 設(shè)函數(shù)f x x lnx 則函數(shù)y f x A 在區(qū)間 1 e 內(nèi)均有零點(diǎn)B 在區(qū)間 1 e 內(nèi)均無(wú)零點(diǎn)C 在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn) 在區(qū)間 1 e 內(nèi)無(wú)零點(diǎn)D 在區(qū)間內(nèi)無(wú)零點(diǎn) 在區(qū)間 1 e 內(nèi)有零點(diǎn) 解析 選D 方法一 當(dāng)x 時(shí) 函數(shù)圖象是連續(xù)的 且所以函數(shù)f x 在上單調(diào)遞減 又f e e lne 0 所以函數(shù)有唯一的零點(diǎn)在區(qū)間 1 e 內(nèi) 方法二 令f x 0得x lnx 作出函數(shù)y x和y lnx的圖象 如圖 顯然y f x 在內(nèi)無(wú)零點(diǎn) 在 1 e 內(nèi)有零點(diǎn) 5 2016 溫州模擬 如圖是二次函數(shù)f x x2 bx a的部分圖象 則函數(shù)g x ex f x 的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間是 A 1 0 B 0 1 C 1 2 D 2 3 解析 選B 由圖象知得10 所以g 0 g 1 0 所以g x ex f x 的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間是 0 1 考向二函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù) 典例2 1 已知函數(shù)y f x 是周期為2的周期函數(shù) 且當(dāng)x 1 1 時(shí) f x 2 x 1 則函數(shù)F x f x lgx 的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是 A 9B 10C 11D 18 2 2016 秦皇島模擬 函數(shù)f x 的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是 解題導(dǎo)引 1 函數(shù)F x 的零點(diǎn)個(gè)數(shù)就是函數(shù)y f x 與y lgx 圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù) 作出函數(shù)圖象 結(jié)合圖象確定零點(diǎn)的個(gè)數(shù) 2 畫(huà)出函數(shù)的圖象 結(jié)合圖象確定零點(diǎn)的個(gè)數(shù) 規(guī)范解答 1 選B 由F x 0得f x lgx 所以函數(shù)F x f x lgx 的零點(diǎn)個(gè)數(shù)就是函數(shù)y f x 與y lgx 圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù) 作出函數(shù)圖象 如圖所示 當(dāng)010時(shí) lgx 1 所以此時(shí)函數(shù)y f x 與y lgx 圖象無(wú)交點(diǎn) 故函數(shù)F x f x lgx 的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是10 2 當(dāng)x 0時(shí) 作函數(shù)y lnx和y x2 2x的圖象 由圖知 當(dāng)x 0時(shí) f x 有2個(gè)零點(diǎn) 當(dāng)x 0時(shí) 由f x 0得x 綜上 f x 有3個(gè)零點(diǎn) 答案 3 易錯(cuò)警示 解決本例 1 會(huì)出現(xiàn)如下錯(cuò)誤 1 不能將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題 2 函數(shù)圖象不準(zhǔn)確導(dǎo)致失誤 母題變式 1 本例 2 中的函數(shù)變?yōu)閒 x x2 2x a2 1 a R 則零點(diǎn)的個(gè)數(shù)如何 解析 因?yàn)閍 R 所以a2 1 1 而y x2 2x 的圖象如圖 所以y x2 2x 的圖象與y a2 1的圖象總有兩個(gè)交點(diǎn) 所以函數(shù)f x 有2個(gè)零點(diǎn) 2 若本例 2 函數(shù)變?yōu)?已知f x 是定義域?yàn)镽的奇函數(shù) 且在 0 內(nèi)的零點(diǎn)有1003個(gè) 則f x 的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)有多少個(gè) 解析 因?yàn)閒 x 為奇函數(shù) 且在 0 內(nèi)有1003個(gè)零點(diǎn) 所以在 0 上也有1003個(gè)零點(diǎn) 又因?yàn)閒 0 0 所以共有2006 1 2007個(gè)零點(diǎn) 規(guī)律方法 判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的方法 1 解方程法 令f x 0 如果能求出解 則有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn) 2 零點(diǎn)存在性定理法 利用定理不僅要求函數(shù)在區(qū)間 a b 上是連續(xù)不斷的曲線(xiàn) 且f a f b 0 還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì) 如單調(diào)性 奇偶性 周期性 對(duì)稱(chēng)性 才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn)或零點(diǎn)值所具有的性質(zhì) 3 數(shù)形結(jié)合法 轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題 先畫(huà)出兩個(gè)函數(shù)的圖象 看其交點(diǎn)的個(gè)數(shù) 其中交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有幾個(gè)不同的值 就有幾個(gè)不同的零點(diǎn) 變式訓(xùn)練 2015 湖北高考 函數(shù)f x 4cos2cos x 2sinx ln x 1 的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為 解析 函數(shù)f x 2sinx ln x 1 的零點(diǎn)個(gè)數(shù)等價(jià)于方程的根的個(gè)數(shù) 即函數(shù)g x 2sinx sin2x與h x ln x 1 的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù) 分別畫(huà)出其函數(shù)圖 象的草圖如圖所示 由圖可知 函數(shù)g x 與h x 的圖象有2個(gè)交點(diǎn) 答案 2 加固訓(xùn)練 1 函數(shù)f x 2x x3 2在區(qū)間 0 1 內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是 A 0B 1C 2D 3 解析 選B 因?yàn)閒 x 2xln2 3x2 0 所以函數(shù)f x 2x x3 2在 0 1 上遞增 且f 0 1 0 2 10 所以有1個(gè)零點(diǎn) 2 若定義在R上的偶函數(shù)f x 滿(mǎn)足f x 2 f x 且當(dāng)x 0 1 時(shí) f x x 則函數(shù)y f x log3 x 的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是 A 多于4個(gè)B 4個(gè)C 3個(gè)D 2個(gè) 解析 選B 由題意知 f x 是周期為2的偶函數(shù) 在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)y f x 及y log3 x 的圖象 如圖 觀(guān)察圖象可以發(fā)現(xiàn)它們有4個(gè)交點(diǎn) 即函數(shù)y f x log3 x 有4個(gè)零點(diǎn) 3 2016 合肥模擬 若偶函數(shù)f x 滿(mǎn)足f x 1 f x 1 且在x 0 1 時(shí) f x x2 則關(guān)于x的方程f x 上的根的個(gè)數(shù)是 A 1B 2C 3D 4 解析 選C 因?yàn)閒 x 為偶函數(shù) 所以當(dāng)x 1 0 時(shí) x 0 1 所以f x x2 即f x x2 又f x 1 f x 1 所以f x 2 f x 1 1 f x 1 1 f x 故f x 是以2為周期的周期函數(shù) 據(jù)此在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)y f x 與y 上的圖象如圖所示 數(shù)形結(jié)合得兩圖象有3個(gè)交點(diǎn) 故方程f x 在上有三個(gè)根 考向三函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用 考情快遞 考題例析 命題方向1 已知函數(shù)的零點(diǎn)或方程的根求參數(shù) 典例3 2015 北京高考改編 設(shè)函數(shù)f x 若f x 恰有2個(gè)零點(diǎn) 則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 解題導(dǎo)引 根據(jù)題意 對(duì)a進(jìn)行分類(lèi)討論 根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)確定實(shí)數(shù)a的取值范圍 規(guī)范解答 若a 0 當(dāng)x 1 f x 2x a恰有一個(gè)零點(diǎn)log2a時(shí) 有解得 a 1 當(dāng)x 1 f x 2x a無(wú)零點(diǎn)時(shí) 有解得a 2 若a 0 當(dāng)x 1時(shí) f x 無(wú)零點(diǎn) 當(dāng)x 1時(shí) 由題意知應(yīng)恰有兩個(gè)零點(diǎn) 所以無(wú)解 綜上 a 1或a 2 答案 a 1或a 2 命題方向2 利用函數(shù)零點(diǎn)比較大小 典例4 2016 長(zhǎng)沙模擬 已知函數(shù)f x 2x x g x x x h x log2x 0 x2 x3B x2 x1 x3C x1 x3 x2D x3 x2 x1 解題導(dǎo)引 分別作出函數(shù)y 2x y x y x y x y log2x y 的圖象 結(jié)合圖象確定x1 x2 x3的大小關(guān)系 規(guī)范解答 選D 由f x 2x x 0 g x x x 0 h x log2x 0得2x x x x log2x 在坐標(biāo)系中分別作出y 2x y x y x y x y log2x y 的圖象 由圖象可知 11 所以x3 x2 x1 技法感悟 1 已知函數(shù)零點(diǎn)情況求參數(shù)的步驟及方法 1 步驟 判斷函數(shù)的單調(diào)性 利用零點(diǎn)存在性定理 得到參數(shù)所滿(mǎn)足的不等式 組 解不等式 組 即得參數(shù)的取值范圍 2 方法 常利用數(shù)形結(jié)合法 2 借助函數(shù)零點(diǎn)比較大小的思路要比較f a 與f b 的大小 通常先比較f a f b 與0的大小 題組通關(guān) 1 2016 德陽(yáng)模擬 已知函數(shù)f x 若函數(shù)y f x k有三個(gè)零點(diǎn) 則實(shí)數(shù)k滿(mǎn)足 A k 2B 1 k 0C 2 k 1D k 2 解析 選D 由于 f x 0 故必須 k 0 即k 0 顯然k 0時(shí)兩個(gè)函數(shù)y f x 和y k圖象只有一個(gè)公共點(diǎn) 所以k 0 要使y f x 與y k的圖象有三個(gè)公共點(diǎn) 如圖所示 只要 k 2 即k 2即可 2 2016 南昌模擬 已知a是函數(shù)f x 2x x的零點(diǎn) 若00D f x0 的符號(hào)不確定 解析 選B 函數(shù)f x 2x log2x在 0 上是增函數(shù) 故零點(diǎn)是唯一的 又0 x0 a 則f x0 f a 0 3 2016 廣州模擬 已知e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù) 函數(shù)f x ex x 2的零點(diǎn)為a 函數(shù)g x lnx x 2的零點(diǎn)為b 則下列不等式成立的是 A f a f 1 f b B f a f b f 1 C f 1 f a f b D f b f 1 f a 解析 選A 函數(shù)f x g x 均為定義域上的單調(diào)遞增函數(shù) 且f 0 10 g 1 10 所以a 0 1 b 1 e 即a 1 b 所以f a f 1 f b 4 2016 長(zhǎng)治模擬 已知0 a 1 k 0 函數(shù)f x 若函數(shù)g x f x k有兩個(gè)零點(diǎn) 則實(shí)數(shù)k的取值范圍是 解析 函數(shù)g x f x k有兩個(gè)零點(diǎn) 即f x k 0有兩個(gè)解 即y f x 與y k的圖象有兩個(gè)交點(diǎn) 分k 0和k1或k 0時(shí) 沒(méi)有交點(diǎn) 故當(dāng)0 k 1時(shí)滿(mǎn)足題意 答案 k 0 k 1