2019屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十篇 計數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量及其分布 第1節(jié) 分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理課件 理 新人教版.ppt

第十篇計數(shù)原理 概率 隨機(jī)變量及其分布 必修3 選修2 3 六年新課標(biāo)全國卷試題分析 第1節(jié)分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理 考綱展示 知識梳理自測 考點專項突破 易錯易混辨析 知識梳理自測把散落的知識連起來 教材導(dǎo)讀 1 分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理中要特別注意什么 提示 分類時注意 不重不漏 分步時注意 步驟完整 2 在應(yīng)用中 如何確定使用哪個原理 提示 方法分類 每類中的方法都能直接完成一件事情 則使用分類加法計數(shù)原理 完成一件事情需分若干步驟 只有順次完成各個步驟事情才能完成 則使用分步乘法計數(shù)原理 知識梳理 1 分類加法計數(shù)原理完成一件事有兩類不同方案 在第1類方案中有m種不同的方法 在第2類方案中有n種不同的方法 那么完成這件事共有N 種不同的方法 這個原理稱為分類加法計數(shù)原理 推廣 完成一件事有n類不同方案 在第1類方案中有m1種不同的方法 在第2類方案中有m2種不同的方法 在第n類方案中有mn種不同的方法 那么完成這件事共有N 種不同的方法 m n m1 m2 mn 2 分步乘法計數(shù)原理完成一件事需要兩個步驟 做第1步有m種不同的方法 做第2步有n種不同的方法 那么完成這件事共有N 種不同的方法 推廣 完成一件事需要分成n個步驟 做第1步有m1種不同的方法 做第2步有m2種不同的方法 做第n步有mn種不同的方法 那么完成這件事共有N 種不同的方法 m n m1 m2 mn 雙基自測 1 某日 從甲城市到乙城市的火車共有10個車次 飛機(jī)共有2個航班 長途汽車共有12個班次 若該日小張只選擇這3種交通工具中的一種 則他從甲城市到乙城市共有 A 12種選法 B 14種選法 C 24種選法 D 22種選法 C 解析 由加法原理知有10 2 12 24種選法 故選C B 2 將乘積 a1 a2 a3 a4 b1 b2 c1 c2 c3 展開成多項式后的項數(shù)是 A 4 2 3 B 4 2 3 C 5 3 4 D 5 3 4 解析 由題設(shè)每項的字母分別取自三個括號內(nèi)的項 應(yīng)分三個步驟取出 故由分步計數(shù)原理可得n 4 2 3 故選B 3 將3張不同的奧運(yùn)會門票分給10名同學(xué)中的3人 每人1張 則不同分法的種數(shù)是 解析 分步來完成此事 第1張有10種分法 第2張有9種分法 第3張有8種分法 共有10 9 8 720種分法 答案 720 4 現(xiàn)有4名同學(xué)去聽同時進(jìn)行的3個課外知識講座 每名同學(xué)可自由選擇其中的一個講座 不同選法的種數(shù)是 解析 每個同學(xué)都有3種選擇 所以不同選法共有34 81 種 答案 81 5 用1 5 9 13中的任意一個數(shù)作分子 4 8 12 16中的任意一個數(shù)作分母 可構(gòu)成個不同的分?jǐn)?shù) 可構(gòu)成個不同的真分?jǐn)?shù) 解析 由于1 5 9 13是奇數(shù) 4 8 12 16是偶數(shù) 所以以1 5 9 13中的任意一個為分子 都可以與4 8 12 16中的一個構(gòu)成分?jǐn)?shù) 因此可以分兩步構(gòu)成分?jǐn)?shù) 第一步 選分子 有4種選法 第二步 選分母 也有4種選法 共有分?jǐn)?shù)4 4 16 個 分四類 分子為1時 分母可以從4 8 12 16中選一個 有4個能組成真分?jǐn)?shù) 分子為5時 分母從8 12 16中選一個 有3個能組成真分?jǐn)?shù) 分子為9時 分母從12 16中選一個 有2個能組成真分?jǐn)?shù) 分子為13時 分母只能選16 有1個能組成真分?jǐn)?shù) 所以共有真分?jǐn)?shù)4 3 2 1 10 個 答案 1610 考點專項突破在講練中理解知識 考點一 分類加法計數(shù)原理 解析 1 對于復(fù)數(shù)a bi 只要b 0即為虛數(shù) 第一類 當(dāng)a 0時 b有5種選擇 第二類 當(dāng)a 0時 a有5種 b有4種選擇 由分步計數(shù)原理可知 不同的虛數(shù)共有5 5 4 25 故選C 2 當(dāng)a當(dāng)組長時 共有1 4 4種選法 當(dāng)a不當(dāng)組長時 又因為a也不能當(dāng)副組長 共有4 3 12種選法 因此共有4 12 16種選法 故選B 例1 1 從集合 0 1 2 3 4 5 中任取兩個互不相等的數(shù)a b組成復(fù)數(shù)a bi 其中虛數(shù)有 A 36個 B 30個 C 25個 D 20個 2 a b c d e共5個人 從中選1名組長1名副組長 但a不能當(dāng)副組長 不同選法的種數(shù)是 A 20 B 16 C 10 D 6 反思?xì)w納本題是分類加法計數(shù)原理的直接應(yīng)用 解題時首先把問題分類 然后確定每類中的方法數(shù) 最后按照分類加法計數(shù)原理得出結(jié)果 跟蹤訓(xùn)練1 1 某班班干部有5名男生 4名女生 從9人中選1人參加某項活動 則不同選法的種數(shù)為 A 9 B 5 C 4 D 72 2 從甲地到乙地每天有直達(dá)汽車4班 從甲到丙地 每天有5個班車 從丙地到乙地每天有3個班車 則從甲地到乙地不同的乘車方法有 A 12種 B 19種 C 32種 D 60種 解析 1 分兩類 一類從男生中選1人 有5種方法 另一類是從女生中選1人 有4種方法 因此 共有5 4 9種不同的選法 故選A 2 分兩類 一類是直接從甲到乙 有n1 4種方法 另一類是從甲經(jīng)丙再到乙 可分兩步 有n2 5 3 15種方法 由分類計數(shù)原理可得 從甲到乙的不同乘車方法n n1 n2 4 15 19 故選B 考點二 分步乘法計數(shù)原理 例2 1 導(dǎo)學(xué)號38486202 2017 廣西陸川月考 若自然數(shù)n使得作豎式加法n n 1 n 2 均不產(chǎn)生進(jìn)位現(xiàn)象 則稱n為 開心數(shù) 例如 32是 開心數(shù) 因32 33 34不產(chǎn)生進(jìn)位現(xiàn)象 23不是 開心數(shù) 因23 24 25產(chǎn)生進(jìn)位現(xiàn)象 那么 小于100的 開心數(shù) 的個數(shù)為 A 9 B 10 C 11 D 12 解析 1 由題意得小于100的 開心數(shù) 的個位數(shù)字為0 1 2 十位數(shù)字為0 1 2 3 所以小于100的 開心數(shù) 的個數(shù)為3 4 12 故選D 解析 2 由題設(shè)中定義的回文數(shù)的概念可知 先考慮五位回文數(shù)的中間的一個位置 每個數(shù)字都能選取 共有10種可能 其次是考慮首位數(shù)字應(yīng)有除了0之外的9個數(shù)字 共有9種可能 最后再考慮第二個位置 十個數(shù)字都可選取 應(yīng)有10種可能 由分布計數(shù)原理可得所有五位回文數(shù)的個數(shù)是9 10 10 900個 故選C 2 2017 陜西咸陽三模 在中國文字語言中有回文句 如 中國出人才人出國中 其實 在數(shù)學(xué)中也有回文數(shù) 回文數(shù)是指從左到右與從右到左讀都一樣的正整數(shù) 如 3位回文數(shù) 101 111 121 191 202 999 則5位回文數(shù)有 A 648個 B 720個 C 900個 D 1000個 反思?xì)w納如果 一件事情 需要分成若干步驟才能完成 則就需要使用分步乘法計數(shù)原理計數(shù)完成這件事情的方法總數(shù) 如果其中存在某些特殊情況 則從總數(shù)中減去特殊情況的數(shù)目即可 這種間接求解的方法是計數(shù)問題中經(jīng)常使用的 跟蹤訓(xùn)練2 某單位有甲 乙 丙 丁四個部門 分別有工作人員8名 10名 12名 15名 現(xiàn)從該單位四個部門中各選派一名志愿者參加社會公益活動 則不同的選派方法的種數(shù)為 解析 選派工作可以分四個步驟完成 分別從甲 乙 丙 丁四個部門中各選派一人 根據(jù)分步乘法計數(shù)原理 共有不同的選派方法有8 10 12 15 14400 種 答案 14400 考點三 兩個原理的綜合 例3 2017 安徽淮北一中月考 甲與其四位同事各有一輛私家車 車牌尾數(shù)分別是0 0 2 1 5 為遵守當(dāng)?shù)啬吃?日至9日5天的限行規(guī)定 奇數(shù)日車牌尾數(shù)為奇數(shù)的車通行 偶數(shù)日車牌尾數(shù)為偶數(shù)的車通行 五人商議拼車出行 每天任選一輛符合規(guī)定的車 但甲的車最多只能用一天 則不同的用車方案種數(shù)為 A 5 B 24 C 32 D 64 解析 5日至9日 即5 6 7 8 9中 有3天奇數(shù)日 2天偶數(shù)日 第一步安排奇數(shù)日出行 每天都有2種選擇 共有23 8種 第二步安排偶數(shù)日出行分兩類 第一類 先選1天安排甲的車 另外一天安排其他車 有2 2 4種 第二類 不安排甲的車 每天都有2種選擇 共有22 4種 共計4 4 8 根據(jù)分步計數(shù)原理 不同的用車方案種數(shù)共有8 8 64 故選D 跟蹤訓(xùn)練3 設(shè)東 西 南 北四面通往山頂?shù)穆犯饔? 3 3 4條 只從一面上山 而從任意一面下山的走法最多 應(yīng) A 從東邊上山 B 從西邊上山 C 從南邊上山 D 從北邊上山 解析 任意一面下山 即下山的可能走法已經(jīng)確定有2 3 3 4 12 只要上山的走法最多即可 上山只從一面 則從北邊上山 故選D 備選例題 例1 2017 陜西黃陵4月月考 已知a b 2 3 4 5 6 7 8 9 則logab的不同取值個數(shù)為 A 53 B 56 C 55 D 57 解析 a b的不同的取值共有8 8 64種 其中l(wèi)ogab 1的共有8種情況 logab 2有2個 logab 的有2個 logab log23有2個 logab log32有2個 所以本題中不同取值個數(shù)為64 7 1 1 1 1 53 故選A 例2 我國古代數(shù)學(xué)名著 續(xù)古摘奇算法 楊輝 一書中有關(guān)于三階幻方的問題 將1 2 3 4 5 6 7 8 9分別填入3 3的方格中 使得每一行 每一列及對角線上的三個數(shù)的和都相等 我們規(guī)定 只要兩個幻方的對應(yīng)位置 如每行第一列的方格 中的數(shù)字不全相同 就稱為不同的幻方 那么所有不同的三階幻方的個數(shù)是 A 9 B 8 C 6 D 4 例3 一個三位自然數(shù)百位 十位 個位上的數(shù)字依次為a b c 當(dāng)且僅當(dāng)a b b c時稱為 凹數(shù) 如213 若a b c 1 2 3 4 且a b c互不相同 則這個三位數(shù)為 凹數(shù) 的有 A 6個 B 7個 C 8個 D 9個 解析 由題設(shè)可知從 1 2 3 4 中任取三個數(shù)所有可能為 1 2 3 1 2 4 1 3 4 2 3 4 將其按凹數(shù)的定義排列有 213 312 214 412 314 413 324 423 共8個 故選C 易錯易混辨析用心練就一雙慧眼 各步中方法數(shù)確定不準(zhǔn)致誤 典例 有六名同學(xué)報名參加三個智力競賽項目 在下列情況下各有多少種不同的報名方法 1 每人恰好參加一項 每項人數(shù)不限 2 每項限報一人 但每人參加的項目不限 錯解 1 每人恰好參加一項 所以每一項目都有3種選擇 不同的報名方法為63 216種 易錯分析 沒有準(zhǔn)確理解題中六名同學(xué)和三個智力項目之間的對應(yīng)關(guān)系 選擇的主體和選擇的對象不清 1 中每人恰好參加一項 說明每項有6種不同的選擇 2 中 每項限報一人 說明每人只有3種不同的選擇 正解 1 每人都可以從這三個比賽項目中選報一項 各有3種不同選法 由分步乘法計數(shù)原理知共有不同的報名方法36 729 種 2 由于每人參加的項目不限 因此每一個項目都可以從這六人中選出一人參賽 由分步乘法計數(shù)原理得共有不同的報名方法63 216 種