2019屆高考數(shù)學二輪復習 專題五 解析幾何 1.5.1 直線與圓課件 文.ppt

第一講直線與圓 熱點題型1直線的方程與應用 感悟經(jīng)典 典例 1 已知直線l1 x 2ay 1 0 l2 a 1 x ay 0 若l1 l2 則實數(shù)a的值為 A B 0C 或0D 2 2 已知點A 1 0 B 1 0 C 0 1 直線y ax b a 0 將 ABC分割為面積相等的兩部分 則b的取值范圍是 A 0 1 B C D 3 過直線l1 x 2y 3 0與直線l2 2x 3y 8 0的交點 且到點P 0 4 距離為2的直線方程為 聯(lián)想解題 1 看到平行 想到平行滿足的條件 2 看到面積相等 想到由面積公式構造關于a的方程 3 看到距離 想到距離公式 規(guī)范解答 1 選C 由l1 l2得1 a 2a a 1 即2a2 3a 0 解得a 0或a 經(jīng)檢驗 當a 0或a 時均有l(wèi)1 l2 故選C 2 選B 易知BC所在直線的方程是x y 1 由消去x 得y 當a 0時 直線y ax b與x軸交于點 結合圖形知化簡得 a b 2 a a 1 則a 因為a 0 所以 0 解得b 考慮極限位置 即當a 0時 易得b 1 故b的取值范圍是 3 由得所以l1與l2的交點為 1 2 當所求直線斜率不存在 即直線方程為x 1時 顯然不滿足題意 當所求直線斜率存在時 設所求直線方程為y 2 k x 1 即kx y 2 k 0 因為點P 0 4 到直線的距離為2 所以2 所以k 0或k 所以直線方程為y 2或4x 3y 2 0 答案 y 2或4x 3y 2 0 提醒 1 求解兩條直線平行的問題時 在利用A1B2 A2B1 0建立方程求出參數(shù)的值后 要注意代入檢驗 排除兩條直線重合的情況 2 求直線方程時應根據(jù)條件選擇合適的方程形式 同時要考慮直線斜率不存在的情況是否符合題意 規(guī)律方法 兩直線的位置關系的判斷方法對于斜率都存在且不重合的兩條直線l1 l2 l1 l2 k1 k2 l1 l2 k1 k2 1 若有一條直線的斜率不存在 那么另一條直線的斜率一定要特別注意 提醒 在運用兩平行直線間的距離公式d 時 一定要注意將兩方程中x y的系數(shù)分別化為相同的形式 對點訓練 1 已知直線l的傾斜角為 直線l1經(jīng)過點A 3 2 B a 1 且l1與l垂直 直線l2 2x by 1 0與直線l1平行 則a b A 4B 2C 0D 2 解析 選B 由題知 直線l的斜率為1 則直線l1的斜率為 1 所以 1 所以a 4 又l1 l2 所以 1 b 2 所以a b 4 2 2 2 若直線l1 x ay 6 0與l2 a 2 x 3y 2a 0平行 則l1與l2間的距離為 A B C D 解析 選B 由l1 l2 得 a 2 a 1 3 且a 2a 3 6 解得a 1 所以l1 x y 6 0 l2 x y 0 所以l1與l2間的距離為d 提分備選 1 已知b 0 直線 b2 1 x ay 2 0與直線x b2y 1 0互相垂直 則ab的最小值等于 A 1B 2C 2D 2 解析 選B b 0 兩條直線的斜率存在 因為直線 b2 1 x ay 2 0與直線x b2y 1 0互相垂直 所以 b2 1 ab2 0 ab b 2 2 設兩條直線的方程分別為x y a 0 x y b 0 已知a b是方程x2 2x c 0的兩個實根 且0 c 則這兩條直線之間的距離的最大值和最小值的差為 A B 1C D 解析 選A 因為a b是方程x2 2x c 0的兩個實根 所以a b 2 ab c 又因為0 c 所以 a b 兩條平行直線的距離d 所以這兩條平行直線之間的距離的最大值和最小值的差 1 熱點題型2圓的方程 感悟經(jīng)典 典例 1 圓C的圓心在x軸上 并且過點A 1 1 和B 1 3 則圓C的方程為 2 已知實數(shù)x y滿足方程x2 y2 4x 1 0 1 求的最大值和最小值 2 求y x的最大值和最小值 3 求x2 y2的最大值和最小值 聯(lián)想解題 1 看到圓心在x軸上 想到圓心縱坐標為0 2 看到求所給式子的最值 想到轉化為斜率和距離 規(guī)范解答 1 設圓心坐標為C a 0 因為點A 1 1 和B 1 3 在圓C上 所以 CA CB 即解得a 2 所以圓心為C 2 0 半徑 CA 所以圓C的方程為 x 2 2 y2 10 答案 x 2 2 y2 10 2 原方程可化為 x 2 2 y2 3 表示以 2 0 為圓心 為半徑的圓 1 的幾何意義是圓上一點與原點連線的斜率 所以設 k 即y kx 當直線y kx與圓相切時 斜率k取最大值或最小值 此時 解得k 如圖1 所以的最大值為 最小值為 2 y x可看作是直線y x b在y軸上的截距 當直線y x b與圓相切時 縱截距b取得最大值或最小值 此時 解得b 2 如圖2 所以y x的最大值為 2 最小值為 2 3 x2 y2表示圓上的一點與原點距離的平方 由平面幾何知識知 在原點和圓心連線與圓的兩個交點處取得最大值和最小值 如圖3 又圓心到原點的距離為 2 所以x2 y2的最大值是 2 2 7 4 x2 y2的最小值是 2 2 7 4 規(guī)律方法 1 圓的方程的求法 1 幾何法 通過研究圓的性質進而求出圓的基本量 確定圓的方程時 常用到的圓的三個性質 圓心在過切點且垂直切線的直線上 圓心在任一弦的中垂線上 兩圓內(nèi)切或外切時 切點與兩圓圓心三點共線 2 代數(shù)法 即設出圓的方程 用待定系數(shù)法求解 2 求最值的常見轉化方式 1 形如m 的最值問題 可轉化為動直線斜率的最值問題 2 形如m ax by的最值問題 可轉化為動直線截距的最值問題 3 形如m x a 2 y b 2的最值問題 可轉化為兩點間距離的平方的最值問題 對點訓練 1 圓x2 y2 2x 4y 1 0關于直線2ax by 2 0 a b R 對稱 則ab的取值范圍是 解析 選A 由題可知直線2ax by 2 0過圓心 1 2 故可得a b 1 又ab 所以ab 2 已知A B是圓O x2 y2 16上的兩點 且 AB 6 若以AB為直徑的圓M恰好經(jīng)過點C 1 1 則圓心M的坐標是 解析 設圓心M x y 由 AB 6知 圓M的半徑r 3 則 MC 3 即 3 所以 x 1 2 y 1 2 9 又因為所以有x2 y2 7 故圓心M的軌跡滿足方程組 解得圓心M為兩個點 答案 提分備選 1 若圓C的半徑為1 其圓心與點 1 0 關于直線y x對稱 則圓C的標準方程為 A x 1 2 y2 1B x2 y 1 2 1C x2 y 1 2 1D x 1 2 y2 1 解析 選C 圓C的半徑為1 其圓心與點 1 0 關于直線y x對稱 可得圓的圓心坐標 0 1 圓的方程為 x2 y 1 2 1 2 已知圓x2 y2 2x 4y 1 0和兩坐標軸的公共點分別為A B C 則 ABC的面積為 A 4B 2C 2D 解析 選D 由圓C x2 y2 2x 4y 1 0 化為標準方程得 x 1 2 y 2 2 4 所以圓心的坐標為 1 2 半徑為2 圓在y軸上截得的弦長為2 與x軸的公共點為 1 0 所以 ABC的面積為 2 1 熱點題型3直線與圓 圓與圓的位置關系 感悟經(jīng)典 典例 1 2018 昆明一模 已知圓M x2 y2 2ay 0 a 0 截直線x y 0所得線段的長度是2 則圓M與圓N x 1 2 y 1 2 1的位置關系是 A 內(nèi)切B 相交C 外切D 相離 2 2016 全國卷 設直線y x 2a與圓C x2 y2 2ay 2 0相交于A B兩點 若 AB 2 則圓C的面積為 3 2016 全國卷 已知直線l x y 6 0與圓x2 y2 12交于A B兩點 過A B分別作l的垂線與x軸交于C D兩點 則 CD 聯(lián)想解題 1 2 看到線段長想到圓半徑 半弦及圓心到直線的距離構成的直角三角形 3 看到求CD聯(lián)想到構造直角三角形求解 規(guī)范解答 1 選B 由題知圓M x2 y a 2 a2 a 0 圓心 0 a 到直線x y 0的距離d 所以2 2 解得a 2 即圓M的圓心為 0 2 半徑為2 又圓N的圓心為 1 1 半徑為1 則圓M 圓N的圓心距 MN 兩圓半徑之差為1 半徑之和為3 1 3 故兩圓相交 2 由圓C x2 y2 2ay 2 0可得x2 y a 2 a2 2 所以圓心C 0 a 由題意可知 解得a2 2 所以圓C的面積為 a2 2 4 答案 4 3 取AB的中點E 連接OE 過點C作BD的垂線 垂足為F 圓心到直線的距離d 3 所以在Rt OBE中 BE2 OB2 d2 3 所以AB 2 CF 又在 CDF中 FCD 30 所以CD 4 答案 4 規(guī)律方法 1 直線 圓 與圓位置關系問題的求解思路 1 研究直線與圓的位置關系主要通過將圓心到直線的距離同半徑作比較實現(xiàn) 兩圓位置關系的判斷依據(jù)是兩圓心距離與兩半徑差與和的比較 2 直線與圓相切時利用 切線與過切點的半徑垂直 圓心到切線的距離等于半徑 建立關于切線斜率的等式 所以求切線方程時主要選擇點斜式 過圓外一點求解切線段長的問題 可先求出圓心到圓外點的距離 再結合半徑利用勾股定理計算 2 直線截圓所得弦長的求解方法 1 根據(jù)平面幾何知識構建直角三角形 把弦長用圓的半徑和圓心到直線的距離表示 即l 2 其中l(wèi)為弦長 r為圓的半徑 d為圓心到直線的距離 2 根據(jù)公式 l x1 x2 求解 其中l(wèi)為弦長 x1 x2為直線與圓相交所得交點的橫坐標 k為直線的斜率 3 求出交點坐標 用兩點間的距離公式求解 對點訓練 1 2018 南昌一模 如圖 在平面直角坐標系xOy中 直線y 2x 1與圓x2 y2 4相交于A B兩點 則cos AOB 解析 選D 因為圓x2 y2 4的圓心為O 0 0 半徑為2 所以圓心O到直線y 2x 1的距離d 所以弦長 AB 2在 AOB中 由余弦定理得cos AOB 2 已知點A 2 0 B 2 0 若圓 x 3 2 y2 r2 r 0 上存在點P 不同于點A B 使得PA PB 則實數(shù)r的取值范圍是 A 1 5 B 1 5 C 1 3 D 3 5 解析 選A 根據(jù)直徑對的圓周角為90 結合題意可得以AB為直徑的圓和圓 x 3 2 y2 r2有交點 顯然兩圓相切時不滿足條件 故兩圓相交 而以AB為直徑的圓的方程為x2 y2 4 兩個圓的圓心距為3 故 r 2 3 r 2 求得1 r 5 提分備選 已知圓x2 y2 2x 2y a 0截直線x y 2 0所得弦的長度為4 則實數(shù)a的值是 A 2B 4C 6D 8 解析 選B 圓x2 y2 2x 2y a 0 即 x 1 2 y 1 2 2 a 故弦心距d 再由弦長公式可得2 a 2 4 所以a 4 數(shù)學運算 直線與圓中的最值問題中的數(shù)學素養(yǎng) 相關鏈接 轉化與化歸思想方法 就是在研究和解決有關數(shù)學問題時采用某種手段將問題通過變換使之轉化 進而解決問 題的一種方法 在求解直線與圓中的最值問題時 往往根據(jù)圖形找到問題的突破口 把最值問題進行轉化和化歸 典例 已知P x y 是直線kx y 4 0 k 0 上一動點 PA PB是圓C x2 y2 2y 0的兩條切線 A B是切點 若四邊形PACB的最小面積是2 則k的值為 A 3B C 2D 2 規(guī)范解答 選D 如圖 把圓的方程化成標準形式得x2 y 1 2 1 所以圓心坐標為 0 1 半徑為r 1 四邊形PACB的面積S 2S PBC PB BC 因為 BC 1為定值 所以四邊形PACB最小面積為2時 只需 PB 最小值為2 由切線長公式 PB 只要 PC 最小值為即可 即圓心到直線kx y 4 0的距離d 即可 此時d 即k2 4 因為k 0 所以k 2 通關題組 1 過直線y x上一點P作圓C x 5 2 y 1 2 2的兩條切線 切點為A B 當點P到圓心C的距離最小時 ACB的大小為 A 30 B 60 C 120 D 150 解析 選C 因為當CP垂直于直線y x時 點P到圓心C的距離最小 由點到直線的距離公式得d 2 又因為圓的半徑為 所以在直角三角形PAC中 APC 30 所以 ACB的大小為120 2 過點 0 引直線l與曲線y 相交于A B兩點 O為坐標原點 當 AOB的面積取最大值時 直線l的斜率等于 A B C D 解析 選B 由y 得x2 y2 1 y 0 即該曲線表示圓心在原點 半徑為1的半圓 如圖所示 故S AOB OA OB sin AOB sin AOB 所以當sin AOB 1 即OA OB時 S AOB取得最大值 此時點O到直線l的距離d OA sin45 設此時直線l的斜率為k 則方程為y k x 即kx y k 0 則有 解得k 由圖可知直線l的傾斜角為鈍角 故取k 3 已知直線l mx y 3m 0與圓x2 y2 12交于A B兩點 過A B分別作l的垂線與x軸交于C D兩點 若AB 2 則CD 解題指南 通過點到直線的距離求出弦AB的一半 解出m之后求CD的長 解析 取AB的中點E 連接OE 過點C作BD的垂線 垂足為F 圓心到直線l的距離d 所以在Rt OBE中 BE2 OB2 d2 3 所以d 3 得m 又在 CDF中 FCD 30 所以CD 4 答案 4 4 在平面直角坐標系xOy中 圓C x 2 2 y m 2 3 若圓C存在以G為中點的弦AB 且AB 2GO 則實數(shù)m的取值范圍是 解析 由于圓C存在以G為中點的弦AB 且AB 2GO 故OA OB 如圖所示 過點O作圓C的兩條切線 切點分別為B D 圓上要存在滿足題意的點A 只需 BOD 90 即 COB 45 連接CB 由C 2 m 可得 CO 答案 或 m