數(shù)學(xué)第七篇 立體幾何與空間向量 第5節(jié) 直線、平面垂直的判定與性質(zhì) 理 新人教版

第第5 5節(jié)直線、平面垂直的判定與性質(zhì)節(jié)直線、平面垂直的判定與性質(zhì)考綱展示考綱展示2.2.能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些有關(guān)空間圖形的垂直關(guān)系的證明一些有關(guān)空間圖形的垂直關(guān)系的簡單命題簡單命題. . 1.1.以立體幾何的定義、公理和定理以立體幾何的定義、公理和定理為出發(fā)點(diǎn)為出發(fā)點(diǎn), ,認(rèn)識(shí)和理解空間中線面認(rèn)識(shí)和理解空間中線面垂直的有關(guān)性質(zhì)與判定定理垂直的有關(guān)性質(zhì)與判定定理. . 知識(shí)梳理自測知識(shí)梳理自測考點(diǎn)專項(xiàng)突破考點(diǎn)專項(xiàng)突破解題規(guī)范夯實(shí)解題規(guī)范夯實(shí) 知識(shí)梳理自測知識(shí)梳理自測 把散落的知識(shí)連起來把散落的知識(shí)連起來【教材導(dǎo)讀教材導(dǎo)讀】 1.1.直線直線l l與平面與平面內(nèi)無數(shù)條直線垂直內(nèi)無數(shù)條直線垂直, ,則直線則直線ll嗎嗎? ?提示提示: :不一定不一定, ,當(dāng)這無數(shù)條直線相互平行時(shí)當(dāng)這無數(shù)條直線相互平行時(shí),l,l與與不一定垂直不一定垂直. .2.2.若平面若平面內(nèi)有一條直線垂直于平面內(nèi)有一條直線垂直于平面,則則嗎嗎? ?提示提示: :垂直垂直. .3.3.若若, ,則則內(nèi)任意直線都與內(nèi)任意直線都與垂直嗎垂直嗎? ?提示提示: :不一定不一定, ,平面平面內(nèi)只有垂直于交線的直線才與內(nèi)只有垂直于交線的直線才與垂直垂直. .知識(shí)梳理知識(shí)梳理 1.1.直線與平面垂直直線與平面垂直(1)(1)直線和平面垂直的定義直線和平面垂直的定義直線直線l l與平面與平面內(nèi)的內(nèi)的 直線都垂直直線都垂直, ,就說直線就說直線l l與平面與平面互相垂直互相垂直. .任意一條任意一條兩條相交直線兩條相交直線(2)(2)直線與平面垂直的判定定理及性質(zhì)定理直線與平面垂直的判定定理及性質(zhì)定理平行平行2.2.直線與平面所成的角直線與平面所成的角(1)(1)定義定義平面的一條斜線和它在平面上的平面的一條斜線和它在平面上的 所成的所成的 , ,叫做這條直線和這叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角個(gè)平面所成的角. .如圖如圖, , 就是斜線就是斜線APAP與平面與平面所成的角所成的角. .(2)(2)線面角線面角的范圍是的范圍是 . .射影射影銳角銳角PAOPAO3.3.二面角、平面與平面垂直二面角、平面與平面垂直(1)(1)二面角二面角二面角的定義二面角的定義: :從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角. .這這條直線叫做二面角的棱條直線叫做二面角的棱. .這兩個(gè)半平面叫做二面角的面這兩個(gè)半平面叫做二面角的面. .如圖如圖, ,記作記作: :二面角二面角-l-l-或二面角或二面角-AB-AB-或二面角或二面角P-AB-Q.P-AB-Q.二面角的平面角二面角的平面角: :在二面角在二面角-l-l-的棱的棱l l上任取一點(diǎn)上任取一點(diǎn)O,O,以點(diǎn)以點(diǎn)O O為垂足為垂足, ,在半平在半平面面和和內(nèi)分別作垂直于棱內(nèi)分別作垂直于棱l l的射線的射線OAOA和和OB,OB,則射線則射線OAOA和和OBOB構(gòu)成的構(gòu)成的AOBAOB叫做二叫做二面角的平面角面角的平面角. .(2)(2)平面與平面的垂直平面與平面的垂直定義定義: :一般地一般地, ,兩個(gè)平面相交兩個(gè)平面相交, ,如果它們所成的二面角是如果它們所成的二面角是 , ,就說這兩就說這兩個(gè)平面互相垂直個(gè)平面互相垂直. .直二面角直二面角垂線垂線平面與平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理平面與平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理交線交線【重要結(jié)論重要結(jié)論】 1.1.若兩平行線中的一條垂直于一個(gè)平面若兩平行線中的一條垂直于一個(gè)平面, ,則另一條也垂直于這個(gè)平面則另一條也垂直于這個(gè)平面. .2.2.若兩條直線同垂直于一個(gè)平面若兩條直線同垂直于一個(gè)平面, ,那么這兩條直線平行那么這兩條直線平行. .3.3.若一條直線和兩個(gè)不重合的平面都垂直若一條直線和兩個(gè)不重合的平面都垂直, ,那么這兩個(gè)平面平行那么這兩個(gè)平面平行. .雙基自測雙基自測 1.1.如果直線如果直線l,ml,m與平面與平面,滿足滿足:l=:l=,l,m,l,m和和mm, ,那么必那么必有有( ( ) )( (A)A)且且mm ( (B)B)且且lmlm( (C)mC)m且且lmlm ( (D)D)且且B B解析解析: :由由m m,m,m以及面面垂直的判定定理可得以及面面垂直的判定定理可得, ,; ;由由l=l=可得可得l l, ,又又mm, ,所以所以mlml. .綜上綜上, ,故選故選B.B.2.(2.(20172017安徽宣城第二次調(diào)研安徽宣城第二次調(diào)研) )已知已知m,nm,n是兩條不同的直線是兩條不同的直線, ,是兩個(gè)不是兩個(gè)不同的平面同的平面, ,給出下列四個(gè)命題給出下列四個(gè)命題, ,錯(cuò)誤的命題是錯(cuò)誤的命題是( ( ) )(A)(A)若若m,m,m,m,=n,=n,則則mnmn(B)(B)若若,m,n,m,n, ,則則mnmn(C)(C)若若,=m,=m,則則mm(D)(D)若若,m,m, ,則則mm解析解析: :A.A.由由m,m,m,m,=n,=n,可得可得mnmn, ,正確正確. .B.B.由由,m,n,m,n, ,可得可得mnmn, ,正確正確. .C.C.由由,=m,=m,可得可得mm, ,正確正確. .D.D.由由,m,m, ,則則mm或或m m, ,因此不正確因此不正確. .故選故選D.D.D D3.(3.(20162016甘肅張掖模擬甘肅張掖模擬) )在三棱柱在三棱柱ABC-A1B1C1ABC-A1B1C1中中, ,各棱長相等各棱長相等, ,側(cè)棱垂直于底側(cè)棱垂直于底面面, ,點(diǎn)點(diǎn)D D是側(cè)面是側(cè)面BB1C1CBB1C1C的中心的中心, ,則則ADAD與平面與平面BB1C1CBB1C1C所成角的大小是所成角的大小是( ( ) )(A)30(A)30(B)45(B)45(C)60(C)60(D)90(D)90C C4.(4.(20162016武昌調(diào)研武昌調(diào)研) )給出下列四個(gè)命題給出下列四個(gè)命題: :如果平面如果平面平面平面,那么平面那么平面內(nèi)一定存在直線平行于平面內(nèi)一定存在直線平行于平面;如果平面如果平面不垂直于平面不垂直于平面,那么平面那么平面內(nèi)一定不存在直線垂直于平面內(nèi)一定不存在直線垂直于平面;如果平面如果平面平面平面,平面平面平面平面,=l,=l,那么那么ll平面平面;如果平面如果平面平面平面,那么平面那么平面內(nèi)所有直線都垂直于平面內(nèi)所有直線都垂直于平面.其中錯(cuò)誤的命題是其中錯(cuò)誤的命題是.(.(寫出所有錯(cuò)誤命題的序號(hào)寫出所有錯(cuò)誤命題的序號(hào))解析解析: :借助正方體很容易判斷出是正確的借助正方體很容易判斷出是正確的, ,只有是錯(cuò)誤的只有是錯(cuò)誤的. .答案答案: :5.(5.(20162016濱州鄒平一中階段濱州鄒平一中階段) )如圖如圖, ,二面角二面角-l-l-的大小是的大小是6060, ,線段線段ABAB, ,Bl,ABBl,AB與與l l所成的角為所成的角為3030. .則則ABAB與平面與平面所成的角的正弦值是所成的角的正弦值是. 考點(diǎn)專項(xiàng)突破考點(diǎn)專項(xiàng)突破 在講練中理解知識(shí)在講練中理解知識(shí)考點(diǎn)一考點(diǎn)一 直線與平面垂直的判定與性質(zhì)直線與平面垂直的判定與性質(zhì)【例例1 1】 導(dǎo)學(xué)號(hào)導(dǎo)學(xué)號(hào) 38486148 (201738486148 (2017陜西師范大學(xué)附屬中學(xué)二模陜西師范大學(xué)附屬中學(xué)二模) )如圖如圖,AC,AC是圓是圓O O的 直 徑的 直 徑 , , 點(diǎn)點(diǎn) B B 在 圓在 圓 O O 上上 , B A C = 3 0, B A C = 3 0 , B M A C, B M A C 交交 A CA C 于 點(diǎn)于 點(diǎn) M , E A M , E A 平 面平 面ABC,FCEA,AC=4,ABC,FCEA,AC=4,EA=3,FC=1.EA=3,FC=1.(1)(1)證明證明:EMBF;:EMBF;(1)(1)證明證明: :因?yàn)橐驗(yàn)镋AEA平面平面ABC,BMABC,BM平面平面ABC,ABC,所以所以EABM,EABM,又因?yàn)橛忠驗(yàn)锽MAC,EAAC=A,BMAC,EAAC=A,所以所以BMBM平面平面ACFE,ACFE,EMEM平面平面ACFE,ACFE,所以所以BMEM.BMEM.因?yàn)橐驗(yàn)锳CAC是圓是圓O O的直徑的直徑, ,所以所以ABC=90ABC=90. .又因?yàn)橛忠驗(yàn)锽AC=30BAC=30,AC=4,AC=4,所以所以AB=2 ,BC=2,AM=3,CM=1.AB=2 ,BC=2,AM=3,CM=1.因?yàn)橐驗(yàn)镋AEA平面平面ABC,FCEA,FC=1,ABC,FCEA,FC=1,所以所以FCFC平面平面ABC,ABC,EAMEAM與與FCMFCM都是等腰直角三角形都是等腰直角三角形, ,所以所以EMA=FMC=45EMA=FMC=45, ,所以所以EMF=90EMF=90, ,即即EMMF.EMMF.因?yàn)橐驗(yàn)镸FBM=M,MFBM=M,所以所以EMEM平面平面MBF.MBF.又又BFBF平面平面MBF,MBF,所以所以EMBF.EMBF.3(2)(2)求三棱錐求三棱錐E-BMFE-BMF的體積的體積. .反思?xì)w納反思?xì)w納 (1)(1)證明線線垂直的常用方法證明線線垂直的常用方法利用特殊圖形中的垂直關(guān)系利用特殊圖形中的垂直關(guān)系; ;利用等腰三角形底邊中線的性質(zhì)利用等腰三角形底邊中線的性質(zhì); ;利用勾股定理的逆定理利用勾股定理的逆定理; ;利用直線與平面垂直的性質(zhì)利用直線與平面垂直的性質(zhì). .(2)(2)證明線面垂直的常用方法證明線面垂直的常用方法利用線面垂直的判定定理利用線面垂直的判定定理; ;利用利用“兩平行線中的一條與平面垂直兩平行線中的一條與平面垂直, ,則另一條也與這個(gè)平面垂直則另一條也與這個(gè)平面垂直”; ;利用利用“一條直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)一條直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè), ,則與另一個(gè)也垂直則與另一個(gè)也垂直”; ;利用面面垂直的性質(zhì)定理利用面面垂直的性質(zhì)定理. .跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練1:1:(2017(2017安徽合肥第一次質(zhì)檢安徽合肥第一次質(zhì)檢) )已知四棱錐已知四棱錐P P- -ABCDABCD的底面的底面ABCDABCD為菱形為菱形, ,且且PAPA底面底面ABCD,ABC=60ABCD,ABC=60, ,點(diǎn)點(diǎn)E,FE,F分別為分別為BC,PDBC,PD的中點(diǎn)的中點(diǎn),PA=AB=2.,PA=AB=2.(1)(1)證明證明:AE:AE平面平面PAD;PAD;(1)(1)證明證明: :由由PAPA底面底面ABCDABCD得得PAAE.PAAE.底面底面ABCDABCD為菱形為菱形,ABC=60,ABC=60, ,得得ABCABC為等邊三角形為等邊三角形, ,又因?yàn)橛忠驗(yàn)镋 E為為BCBC的中點(diǎn)的中點(diǎn), ,得得AEBC,AEBC,因?yàn)橐驗(yàn)锽CAD,BCAD,所以所以AEAD.AEAD.因?yàn)橐驗(yàn)镻AAD=A,PAAD=A,所以所以AEAE平面平面PAD.PAD.(2)(2)求多面體求多面體P-AECFP-AECF的體積的體積. .考點(diǎn)二考點(diǎn)二 平面與平面垂直的判定和性質(zhì)平面與平面垂直的判定和性質(zhì)考查角度考查角度1:1:面面垂直的判定面面垂直的判定【例例2 2】 導(dǎo)學(xué)號(hào)導(dǎo)學(xué)號(hào) 38486149 (201738486149 (2017廣東汕頭三模廣東汕頭三模) )如圖如圖, ,在多面體在多面體ABCDEABCDE中中,ABDE,ABDE是平行四邊形是平行四邊形,AB,AC,AD,AB,AC,AD兩兩垂直兩兩垂直. .(1)(1)求證求證: :平面平面ACDACD平面平面ECD;ECD;(1)(1)證明證明: :因?yàn)橐驗(yàn)锳BAC,ABAD,ACAD=A,ABAC,ABAD,ACAD=A,所以所以ABAB平面平面ACD,ACD,因?yàn)橐驗(yàn)锳BDEABDE是平行四邊形是平行四邊形, ,所以所以ABDE,ABDE,所以所以DEDE平面平面ACD,ACD,因?yàn)橐驗(yàn)镈EDE平面平面CDE,CDE,所以平面所以平面ACDACD平面平面ECD.ECD.反思?xì)w納反思?xì)w納 面面垂直判定的兩種方法與一個(gè)轉(zhuǎn)化面面垂直判定的兩種方法與一個(gè)轉(zhuǎn)化(1)(1)兩種方法兩種方法: :面面垂直的定義面面垂直的定義; ;面面垂直的判定定理面面垂直的判定定理( (a,aa,a).).(2)(2)一個(gè)轉(zhuǎn)化一個(gè)轉(zhuǎn)化: :在已知兩個(gè)平面垂直時(shí)在已知兩個(gè)平面垂直時(shí), ,一般要用性質(zhì)定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化一般要用性質(zhì)定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化. .在一個(gè)平面內(nèi)作交線的垂線在一個(gè)平面內(nèi)作交線的垂線, ,轉(zhuǎn)化為線面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直, ,然后進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為線線垂直然后進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為線線垂直. .反思?xì)w納反思?xì)w納 面面垂直性質(zhì)的應(yīng)用面面垂直性質(zhì)的應(yīng)用(1)(1)兩平面垂直的性質(zhì)定理是把面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直的依據(jù)兩平面垂直的性質(zhì)定理是把面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直的依據(jù), ,運(yùn)用時(shí)要運(yùn)用時(shí)要注意注意“平面內(nèi)的直線平面內(nèi)的直線”. .(2)(2)兩個(gè)相交平面同時(shí)垂直于第三個(gè)平面兩個(gè)相交平面同時(shí)垂直于第三個(gè)平面, ,它們的交線也垂直于第三個(gè)平面它們的交線也垂直于第三個(gè)平面. .考點(diǎn)三考點(diǎn)三 線面角與二面角的求法線面角與二面角的求法反思?xì)w納反思?xì)w納 空間線面角、二面角的求法空間線面角、二面角的求法(1)(1)線面角的求法線面角的求法: :作出垂線作出垂線, ,確定垂足確定垂足, ,找出斜線在平面上的射影找出斜線在平面上的射影. .(2)(2)二面角的求法二面角的求法直接法直接法: :根據(jù)概念直接作根據(jù)概念直接作, ,如二面角的棱是兩個(gè)等腰三角形的公共底邊如二面角的棱是兩個(gè)等腰三角形的公共底邊, ,就可就可以取棱的中點(diǎn)以取棱的中點(diǎn). .垂面法垂面法: :過二面角棱上一點(diǎn)作棱的垂面過二面角棱上一點(diǎn)作棱的垂面, ,則垂面與二面角的兩個(gè)半平面的交則垂面與二面角的兩個(gè)半平面的交線所成的角就是二面角的平面角或其補(bǔ)角線所成的角就是二面角的平面角或其補(bǔ)角. .垂線法垂線法: :過二面角的一個(gè)半平面內(nèi)一點(diǎn)過二面角的一個(gè)半平面內(nèi)一點(diǎn)A,A,作另一個(gè)半平面的垂線作另一個(gè)半平面的垂線, ,垂足為垂足為B,B,再從垂足再從垂足B B向二面角的棱作垂線向二面角的棱作垂線, ,垂足為垂足為C,C,連接連接AC,AC,則則ACBACB就是二面角的平面就是二面角的平面角或其補(bǔ)角角或其補(bǔ)角. .備選例題備選例題 【例例1 1】 如圖如圖, ,在四棱錐在四棱錐P P- -ABCDABCD中中, ,底面底面ABCDABCD是矩形是矩形,PA,PA平面平面ABCD,PA=AD=2,ABCD,PA=AD=2,AB=1,BMPDAB=1,BMPD于點(diǎn)于點(diǎn)M.M.(1)(1)求證求證:AMPD;:AMPD;(1)(1)證明證明: :因?yàn)橐驗(yàn)镻APA平面平面ABCD,ABABCD,AB平面平面ABCD,ABCD,所以所以PAAB.PAAB.因?yàn)橐驗(yàn)锳BAD,ADPA=A,ADABAD,ADPA=A,AD平面平面PAD,PAPAD,PA平面平面PAD,PAD,所以所以ABAB平面平面PAD.PAD.因?yàn)橐驗(yàn)镻DPD平面平面PAD,PAD,所以所以ABPD.ABPD.因?yàn)橐驗(yàn)锽MPD,ABBM=B,ABBMPD,ABBM=B,AB平面平面ABM,BMABM,BM平面平面ABM,ABM,所以所以PDPD平面平面ABM.ABM.因?yàn)橐驗(yàn)锳MAM平面平面ABM,ABM,所以所以AMPD.AMPD.(2)(2)求直線求直線CDCD與平面與平面ACMACM所成角的余弦值所成角的余弦值. .(1)(1)證明證明: :由題意由題意, ,知知SAAB,SAAB,又又SAAD,ABAD=A,SAAD,ABAD=A,所以所以SASA平面平面ABCD.ABCD.(2)(2)求二面角求二面角E-AC-DE-AC-D的正切值的正切值. . 解題規(guī)范夯實(shí)解題規(guī)范夯實(shí) 把典型問題的解決程序化把典型問題的解決程序化審題指導(dǎo)審題指導(dǎo)答題模板答題模板: :第一步第一步: :確定折疊前后的各量之間的關(guān)系確定折疊前后的各量之間的關(guān)系, ,搞清折疊前后的變化量和不變量搞清折疊前后的變化量和不變量; ;第二步第二步: :在折疊后的圖形中確定線和面的位置關(guān)系在折疊后的圖形中確定線和面的位置關(guān)系, ,明確需要用到的線面明確需要用到的線面; ;第三步第三步: :利用判定定理或性質(zhì)定理進(jìn)行證明利用判定定理或性質(zhì)定理進(jìn)行證明; ;第四步第四步: :利用所給數(shù)據(jù)求邊長和面積等利用所給數(shù)據(jù)求邊長和面積等, ,進(jìn)而求體積進(jìn)而求體積. .