山東省濟南市槐蔭區(qū)九年級數學下冊 第2章 二次函數（2）復習教案 （新版）北師大版.doc

第二章二次函數（2）一、復習目標1、熟練把握二次函數與一元二次方程之間的聯系并能熟練應用； 2、能用二次函數的知識解決生活中的實際問題及簡單的綜合運用。二、課時安排1課時三、復習重難點熟練把握二次函數與一元二次方程之間的聯系并能熟練應用；能用二次函數的知識解決生活中的實際問題及簡單的綜合運用。四、教學過程（一）知識梳理1利用二次函數求最值的問題(1)利潤最大化體會利用二次函數求解最值的一般步驟利用二次函數解決“利潤最大化”問題的一般步驟： 找出銷售單價與利潤之間的函數關系式(注明范圍)； 求出該二次函數圖象的頂點坐標； 由函數頂點坐標求得其最值，即求得“最大利潤”(2)產量最大化體會利用二次函數求解最值的幾種方式產量最大化問題與最大利潤問題類似，若問題中的函數類型是二次函數，可以利用求二次函數的頂點處的函數值來解決也可以應用配方法求其頂點，利用函數圖象也可以判斷函數的最值 注意 在求最值問題中，我們常用二次函數的表達式求頂點坐標來求最值；也可以運用“數形結合”的方法，結合函數圖象來判斷求解最值；還可以利用列表的方法估計最值(3)與圖形有關的最值問題直角三角形中矩形的最大面積：要求面積就需要知道矩形的兩條邊，因此，把這兩條邊分別用含x的代數式表示出來，代入面積公式就能轉化為數學問題了 警示 在利用二次函數解答涉及圖形的最值問題時，要注意圖形中自變量的取值范圍及是否有實際意義，這是很多同學易犯錯的地方 2二次函數與一元二次方程的關系 對于一元二次函數yax2bxc，只要令y等于某個具體的數y0，就可以將函數轉化成一元二次方程，這個方程的解是拋物線上縱坐標為y0的點的橫坐標特殊地，如果令y值為0，所得方程為ax2bxc0，該方程的解是拋物線與x軸交點的橫坐標若方程無解，則說明拋物線與x軸無交點二次函數的圖象和x軸的交點個數與一元二次方程的根的個數之間的關系，可以總結如下：設yax2bxc(a0)，令y0，得：ax2bxc0.當b24ac0時，方程有兩個不等實數根，二次函數的圖象與x軸有個交點；當b24ac0時，方程有兩個相等實數根，二次函數的圖象與x軸只有個交點(即頂點)；當b24ac0時，方程沒有實數根，二次函數的圖象與x軸沒有交點（二）題型、方法歸納類型一一元二次方程與二次函數的關系例1拋物線ykx27x7的圖象和x軸有交點，則k的取值范圍是()Ak Bk且k0Ck> Dk>且k0解析 B先根據(7)24k(7)0得到k，由于是拋物線，所以k0.類型二二次函數與圖形面積 例2如圖X28，苗圃的形狀是直角梯形ABCD，ABDC，BCCD.其中AB，AD是已有的墻，BAD135，另外兩邊BC與CD的長度之和為30米，如果梯形的高BC為變量x(米)，梯形面積為y(米2)，問：當x取何值時，梯形的面積最大？最大面積是多少？解析 從題中已知梯形(除去一腰)的長和一個特殊角BAD135，這里可利用梯形面積公式等相關知識構造出函數解析式解：作AECD于點E，如圖X29，因為BAD135，則ADC45.所以BCAEED.又因為BCCEED30，則AB302x，CD30x，故y(ABCD)BC(302x)(30x)x，所以yx230x(0x15)配方得：y(x10)2150.即當x10時，y最大150(米2)類型三二次函數與幾何圖形例3如圖，在矩形ABCD中，ABm(m是大于0的常數)，BC8，E為線段BC上的動點(不與B，C重合)連接DE，作EFDE，EF與射線BA交于點F，設CEx，BFy.(1)求y關于x的函數關系式；(2)若m8，求x為何值時，y的值最大，最大值是多少？(3)若y，要使DEF為等腰三角形，m的值應為多少？解析 (1)設法證明y與x這兩條線段所在的兩個三角形相似，由比例式建立y關于x的函數關系式；(2)將m的值代入(1)中的函數關系式，配方化成頂點式后求最值；(3)逆向思考，當DEF是等腰三角形，因為DEEF，所以只能是EFED，再由(1)可得RtBFERtCED，從而求出m的值解：(1)在矩形ABCD中，BC90，在RtBFE中，BEFBFE90.又EFDE，BEFCED90，CEDBFE，RtBFERtCED，即.y.(2)當m8時，y，化成頂點式：y22，當x4時，y的值最大，最大值是2.(3)由y及y得x的方程：x28x120，解得x12，x26.DEF中FED是直角，要使DEF是等腰三角形，則只能是EFED，此時，RtBFERtCED，當EC2時，mCDBE6；當EC6時，mCDBE2.即m的值為6或2時，DEF是等腰三角形在幾何圖形中建立函數關系式，體現了“數形結合”的數學思想，要注意運用“相似法”“面積法”與“勾股法”建立有關等式，從而轉化為函數關系式這也是中考試卷中的常見考點類型四二次函數與生活應用例4利達經銷店為某工廠代銷一種建筑材料(這里的代銷是指廠家先免費提供貨源，待貨物售出后再進行結算，未售出的由廠家負責處理)當每噸售價為260元時，月銷售量為45噸該經銷店為提高經營利潤，準備采取降價的方式進行促銷經市場調查發(fā)現：當每噸售價每下降10元時，月銷售量就會增加7.5噸綜合考慮各種因素，每售出一噸建筑材料共需支付廠家及其他費用100元設每噸材料售價為x(元)，該經銷店的月利潤為y(元)(1)當每噸售價是240元時，計算此時的月銷售量；(2)求出y與x的函數關系式(不要求寫出x的取值范圍)；(3)該經銷店要獲得最大月利潤，售價應定為每噸多少元？(4)小靜說：“當月利潤最大時，月銷售額也最大”你認為對嗎？請說明理由解析 當每噸材料售價為x元時，對應的銷售量為噸，由此就可以列出函數解析式而對于當月利潤最大時，月銷售額也最大的問題時，我們只需注意兩者的區(qū)別就是一個減去成本，一個不減成本解：(1)457.560(噸)(2)y(x100)，化簡得：yx2315x24000.(3)yx2315x24000(x210)29075.當x為210元時，月利潤y最大答：利達經銷店要獲得最大月利潤，材料的售價應定為每噸210元(4)我認為，小靜說的不對理由：方法一：當月利潤最大時，x為210元，而對于月銷售額Wx(x160)219200來說，當x為160元時，月銷售額W最大當x為210元時，月銷售額W不是最大小靜說的不對方法二：當月利潤最大時，x為210元，此時，月銷售額為17325元；而當x為200元時，月銷售額為18000元17325<18000，當月利潤最大時，月銷售額W不是最大小靜說的不對“每每型”二次函數模型成為近年考試的熱點問題，其特點就是每下降，就每增加；或每增長，就每減少解決這類問題的關鍵就是找到單價提高后，該經銷店每天售出的建筑材料的噸數，而等量關系為銷售利潤銷售噸數每噸的利潤（三）典例精講例5某跳水運動員進行10米跳臺跳水訓練時，身體(看成一點)在空中的運動路線是一條經過原點O的拋物線(如圖X211所示，圖中標出的數據為已知條件)在跳某個規(guī)定動作時，正常情況下該運動員在空中的最高處距水面10 m，入水距池邊的距離為4 m，同時運動員在距水面高度為5 m之前，必須完成規(guī)定的翻騰動作，并調整好入水的姿勢，否則就會出現失誤(1)求這條拋物線的表達式；(2)在某次試跳時，測得運動員在空中的運動路線是(1)中的拋物線，且運動員在空中調整好入水姿勢時，距池邊的水平距離為3 m，問此次跳水會不會失誤？并通過計算說明理由解析 解決這個問題的關鍵是正確地進行數學建模，將運動員在空中的運動路線抽象為所給出的直角坐標系中的拋物線，用待定系數法求出表達式，再利用函數知識求解解：(1)在給定的直角坐標系中，設最高點為A，入水點為B，拋物線的表達式為yax2bxc.由題意知，O，B兩點坐標分別為(0,0)，(2，10)，頂點縱坐標為.則有解得或因拋物線的對稱軸在y軸右側，所以0，即a與b異號，又開口向下，則a0，b0，所以a，b2，c0不符合題意，舍去故所求拋物線的表達式為yx2x.(2)當運動員在空中距池邊的水平距離為3 m，即x32 m時，y2.所以此時運動員距水面的高為105.因此，此次跳水會出現失誤（四）歸納小結說一說：通過這節(jié)課對二次函數的學習，你應該學什么？你學會了什么？1、熟練把握二次函數與一元二次方程之間的聯系并能熟練應用； 2、能用二次函數的知識解決生活中的實際問題及簡單的綜合運用。（五）隨堂檢測1已知二次函數yax2bxc的圖象如圖X212所示，對稱軸為直線x1，則下列結論正確的是() Aac>0 B方程ax2bxc0的兩根是x11，x23 C2ab0 D當x>0時，y隨x的增大而減小2已知二次函數yax2bxc(a0)的圖象如圖X213所示，現有下列結論：b24ac>0；a>0；b>0；c>0；9a3bc<0.則其中結論正確的個數是()A2 B3 C4 D5 3拋物線yax2bxc(a0)的圖象如圖X214所示，則下列說法正確的是()圖X214Ab24ac<0 Babc<0C<1 Dabc<04.春節(jié)期間某水庫養(yǎng)殖場為適應市場需求，連續(xù)用20天時間，采用每天降低水位以減少捕撈成本的辦法，對水庫中某種鮮魚進行捕撈、銷售九(1)班數學建模興趣小組根據調查，整理出第x天(1x20且x為整數)的捕撈與銷售的相關信息如下： 鮮魚銷售單價(元/kg)20單位捕撈成本價(元/kg)5捕撈量(kg)95010x(1)在此期間該養(yǎng)殖場每天的捕撈量與前一天的捕撈量相比是如何變化的？(2)假定該養(yǎng)殖場每天捕撈和銷售的鮮魚沒有損失，且能在當天全部售出，求第x天的收入y(元)與x(天)之間的函數關系式(當天收入日銷售額日捕撈成本)(3)試說明(2)中的函數y隨x的變化情況，并指出在第幾天y取得最大值，最大值是多少？5.已知關于x的二次函數yax2bxc(a>0)的圖象經過點C(0,1)，且與x軸交于不同的兩點A、B，點A的坐標是(1,0)(1)求c的值；(2)求a的取值范圍；(3)該二次函數的圖象與直線y1交于C、D兩點，設A、B、C、D四點構成的四邊形的對角線相交于點P，記PCD的面積為S1，PAB的面積為S2，當0a1時，求證：S1S2為常數，并求出該常數【答案】1.B2.B3.C4. 解：(1)該養(yǎng)殖場每天的捕撈量與前一天的捕撈量相比每天減少10 kg.(2)由題意，得y20(95010x)(95010x)2x240x14250.(3)y2x240x142502(x10)214450，當1x10時，y隨x的增大而增大；當10x20時，y隨x的增大而減小；當x10時，即在第10天，y取得最大值，最大值為14450元5. 解：(1)c1(2)將C(0,1)，A(1,0)代入得ab10，故ba1.由題意可知，b24ac0，可得(a1)24a0，即(a1)20，故a1.又a0，所以a的取值范圍是a0且a1.(3)由題意0a1，ba1可得1，故B在A的右邊，B點坐標為，C(0,1)，D，|AB|112，|CD|.S1S2SCDASABC|CD|1|AB|1111.所以S1S2為常數，該常數為1.五、板書設計第二章二次函數（2）1利用二次函數求最值的問題(1)利潤最大化體會利用二次函數求解最值的一般步驟利用二次函數解決“利潤最大化”問題的一般步驟： 找出銷售單價與利潤之間的函數關系式(注明范圍)； 求出該二次函數圖象的頂點坐標； 由函數頂點坐標求得其最值，即求得“最大利潤”2.二次函數的圖象和x軸的交點個數與一元二次方程的根的個數之間的關系：設yax2bxc(a0)，令y0，得：ax2bxc0.當b24ac0時，方程有兩個不等實數根，二次函數的圖象與x軸有個交點；當b24ac0時，方程有兩個相等實數根，二次函數的圖象與x軸只有個交點；當b24ac0時，方程沒有實數根，二次函數的圖象與x軸沒有交點六、作業(yè)布置單元檢測試題（二） 七、教學反思