高考數(shù)學(xué)第七章 立體幾何 第5講 直線、平面垂直的判定與性質(zhì)

走向高考走向高考 數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)路漫漫其修遠(yuǎn)兮路漫漫其修遠(yuǎn)兮 吾將上下而求索吾將上下而求索新課標(biāo)新課標(biāo)版版 高考總復(fù)習(xí)高考總復(fù)習(xí)立體幾何立體幾何第七章第七章第五講第五講 直線、平面垂直的判定與直線、平面垂直的判定與性質(zhì)性質(zhì) 第七章第七章知識(shí)梳理知識(shí)梳理雙基自測(cè)雙基自測(cè)1考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破互動(dòng)探究互動(dòng)探究2課課 時(shí)時(shí) 作作 業(yè)業(yè)3知識(shí)梳理知識(shí)梳理雙基自測(cè)雙基自測(cè)1直線與平面垂直(1)定義：若直線l與平面內(nèi)的_一條直線都垂直，則直線l與平面垂直(2)判定定理：一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條_直線都垂直，則該直線與此平面垂直(線線垂直線面垂直)即：a，b，la，lb，abP_.(3)性質(zhì)定理：垂直于同一個(gè)平面的兩條直線_即：a，b_.知識(shí)梳理 任意相交l平行ab3二面角的有關(guān)概念(1)二面角：從一條直線出發(fā)的_所組成的圖形叫做二面角(2)二面角的平面角：二面角棱上的一點(diǎn)，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作與棱_的射線，則兩射線所成的角叫做二面角的平面角銳角 兩個(gè)半平面垂直4平面與平面垂直(1)定義：兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是_，就說(shuō)這兩個(gè)平面互相垂直(2)判定定理：一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直即：a，a_.(3)性質(zhì)定理：兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于_的直線與另一個(gè)平面垂直即：，a，b，ab_.直二面角交線a雙基自測(cè) (5)若兩平面垂直，則其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線垂直于另一個(gè)平面()(6)若平面內(nèi)的一條直線垂直于平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線，則.()(7)若直線a平面，直線b，則直線a與b垂直()答案(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破互動(dòng)探究互動(dòng)探究與線面垂直關(guān)系有關(guān)命題真假的判斷(2)對(duì)于選項(xiàng)A，n，mn，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可知，缺少條件m，故不正確；對(duì)于選項(xiàng)B，m，而m與可能平行，也可能m與斜交，故不正確；對(duì)于選項(xiàng)C，m，而m與可能平行，也可能m，故不正確；對(duì)于選項(xiàng)D，因?yàn)閚，m，所以mn.又因?yàn)閚，所以m.故選D.答案(1)B(2)D規(guī)律總結(jié)與線面垂直關(guān)系有關(guān)命題真假的判斷方法(1)借助幾何圖形來(lái)說(shuō)明線面關(guān)系要做到作圖快、準(zhǔn)、甚至無(wú)需作圖在頭腦中形成印象來(lái)判斷(2)尋找反例，只要存在反例，那么結(jié)論就不正確(3)反復(fù)驗(yàn)證所有可能的情況，必要時(shí)要運(yùn)用判定或性質(zhì)定理進(jìn)行簡(jiǎn)單說(shuō)明對(duì)于B，l，m，n，且lm，ln，如圖(2)，不垂直；對(duì)于C，m，n，mn，且lm，直線l沒(méi)有確定，則，的關(guān)系也不能確定；對(duì)于D，l，lm，且m，則必有l(wèi)，根據(jù)面面垂直的判定定理知，.(2)對(duì)于面面垂直的判定，主要是兩個(gè)條件，即l，l，如果這兩個(gè)條件存在，則.線面垂直的判定與性質(zhì)分析證明線面垂直的步驟(2)PDA45，PAAD，APAD.ABCD為矩形，ADBC，PABC.又M為AB的中點(diǎn)，AMBM.而PAMCBM90，PMCM，又N為PC的中點(diǎn)，MNPC.由(1)知MNCD，PCCDC，MN平面PCD.規(guī)律總結(jié)(1)證明線面垂直的常用方法利用線面垂直的判定定理利用“兩平行線中的一條與平面垂直，則另一條也與這個(gè)平面垂直”利用“一條直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)，則與另一個(gè)也垂直”利用面面垂直的性質(zhì)定理(2)證明線線垂直的常用方法利用特殊圖形中的垂直關(guān)系利用等腰三角形底邊中線的性質(zhì)利用勾股定理的逆定理利用直線與平面垂直的性質(zhì)證明(1)因?yàn)镾ASC，D是AC的中點(diǎn)，所以SDAC.在RtABC中，ADBD，又SASB，SDSD，所以ADSBDS.所以SDBD.又ACBDD，所以SD平面ABC.(2)因?yàn)锳BBC，D為AC的中點(diǎn)，所以BDAC.由(1)知SDBD，又SDACD，所以BD平面SAC.點(diǎn)評(píng)證明本題的關(guān)鍵是設(shè)法在平面內(nèi)找到兩條相交直線與所證直線垂直又B1D1BB1B1，所以A1C1平面BB1D1D.又BD1平面BB1D1D，所以A1C1BD1.同理，DC1BD1，DC1A1C1C1，所以BD1平面A1C1D.由可知EFBD1.規(guī)律總結(jié)線面垂直的性質(zhì)定理是證明兩條直線平行的一種重要方法，本題證明EFBD1的關(guān)鍵是尋找與直線EF，BD1都垂直的平面平面與平面垂直的判定與性質(zhì)證明(1)方法一：連接DG，CD，設(shè)CDGFM，連接MH.在三棱臺(tái)DEFABC中，AB2DE，G為AC的中點(diǎn)，可得DFGC，DFGC，所以四邊形DFCG為平行四邊形則M為CD的中點(diǎn)又H為BC的中點(diǎn)，所以HMBD.又HM平面FGH，BD 平面FGH，所以BD平面FGH.方法二：在三棱臺(tái)DEFABC中，由BC2EF，H為BC的中點(diǎn)，可得BHEF，BHEF，所以四邊形HBEF為平行四邊形，可得BEHF.在ABC中，G為AC的中點(diǎn)，H為BC的中點(diǎn)，所以GHAB.又GHHFH，所以平面FGH平面ABED.因?yàn)锽D平面ABED，所以BD平面FGH.(2)連接HE.因?yàn)镚，H分別為AC，BC的中點(diǎn)，所以GHAB.由ABBC，得GHBC.又H為BC的中點(diǎn)，所以EFHC，EFHC，因此四邊形EFCH是平行四邊形所以CFHE.又CFBC，所以HEBC.又HE，GH平面EGH，HEGHH，所以BC平面EGH.又BC平面BCD，所以平面BCD平面EGH.規(guī)律總結(jié)(1)面面垂直的證明方法定義法：利用面面垂直的定義，即判定兩平面所成的二面角為直二面角，將證明面面垂直問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明平面角為直角的問(wèn)題定理法：利用面面垂直的判定定理，即證明其中一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化成證明線線垂直加以解決提醒：兩平面垂直，在一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線必垂直于另一個(gè)平面這是把面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直的依據(jù)運(yùn)用時(shí)要注意“平面內(nèi)的直線”(2)連接BE并延長(zhǎng)交PC于H，E是PBC的垂心，PCBH.又已知AE是平面PBC的垂線，PC平面PBC，PCAE.又BHAEE，PC平面ABE.又AB平面ABE，PCAB.PA平面ABC，PAAB.又PCPAP，AB平面PAC.又AC平面PAC，ABAC.即ABC是直角三角形