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高考數(shù)學(xué)回歸課本 第二章 二次函數(shù)與命題教案 舊人教版

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高考數(shù)學(xué)回歸課本 第二章 二次函數(shù)與命題教案 舊人教版

高考數(shù)學(xué)回歸課本教案第二章 二次函數(shù)與命題一、基礎(chǔ)知識1二次函數(shù):當(dāng)0時,y=ax2+bx+c或f(x)=ax2+bx+c稱為關(guān)于x的二次函數(shù),其對稱軸為直線x=-,另外配方可得f(x)=a(x-x0)2+f(x0),其中x0=-,下同。2二次函數(shù)的性質(zhì):當(dāng)a>0時,f(x)的圖象開口向上,在區(qū)間(-,x0上隨自變量x增大函數(shù)值減小(簡稱遞減),在x0, -)上隨自變量增大函數(shù)值增大(簡稱遞增)。當(dāng)a<0時,情況相反。3當(dāng)a>0時,方程f(x)=0即ax2+bx+c=0和不等式ax2+bx+c>0及ax2+bx+c<0與函數(shù)f(x)的關(guān)系如下(記=b2-4ac)。1)當(dāng)>0時,方程有兩個不等實(shí)根,設(shè)x1,x2(x1<x2),不等式和不等式的解集分別是x|x<x1或x>x2和x|x1<x<x2,二次函數(shù)f(x)圖象與x軸有兩個不同的交點(diǎn),f(x)還可寫成f(x)=a(x-x1)(x-x2).2)當(dāng)=0時,方程有兩個相等的實(shí)根x1=x2=x0=,不等式和不等式的解集分別是x|x和空集,f(x)的圖象與x軸有唯一公共點(diǎn)。3)當(dāng)<0時,方程無解,不等式和不等式的解集分別是R和.f(x)圖象與x軸無公共點(diǎn)。當(dāng)a<0時,請讀者自己分析。4二次函數(shù)的最值:若a>0,當(dāng)x=x0時,f(x)取最小值f(x0)=,若a<0,則當(dāng)x=x0=時,f(x)取最大值f(x0)=.對于給定區(qū)間m,n上的二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a>0),當(dāng)x0m, n時,f(x)在m, n上的最小值為f(x0); 當(dāng)x0<m時。f(x)在m, n上的最小值為f(m);當(dāng)x0>n時,f(x)在m, n上的最小值為f(n)(以上結(jié)論由二次函數(shù)圖象即可得出)。定義1 能判斷真假的語句叫命題,如“3>5”是命題,“蘿卜好大”不是命題。不含邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且”、“非”的命題叫做簡單命題,由簡單命題與邏輯聯(lián)結(jié)詞構(gòu)成的命題由復(fù)合命題。注1 “p或q”復(fù)合命題只有當(dāng)p,q同為假命題時為假,否則為真命題;“p且q”復(fù)合命題只有當(dāng)p,q同時為真命題時為真,否則為假命題;p與“非p”即“p”恰好一真一假。定義2 原命題:若p則q(p為條件,q為結(jié)論);逆命題:若q則p;否命題:若非p則q;逆否命題:若非q則非p。注2 原命題與其逆否命題同真假。一個命題的逆命題和否命題同真假。注3 反證法的理論依據(jù)是矛盾的排中律,而未必是證明原命題的逆否命題。定義3 如果命題“若p則q”為真,則記為pq否則記作pq.在命題“若p則q”中,如果已知pq,則p是q的充分條件;如果qp,則稱p是q的必要條件;如果pq但q不p,則稱p是q的充分非必要條件;如果p不q但pq,則p稱為q的必要非充分條件;若pq且qp,則p是q的充要條件。二、方法與例題1待定系數(shù)法。例1 設(shè)方程x2-x+1=0的兩根是,求滿足f()=,f()=,f(1)=1的二次函數(shù)f(x).【解】 設(shè)f(x)=ax2+bx+c(a0),則由已知f()=,f()=相減并整理得(-)(+)a+b+1=0,因?yàn)榉匠蘹2-x+1=0中0,所以,所以(+)a+b+1=0.又+=1,所以a+b+1=0.又因?yàn)閒(1)=a+b+c=1,所以c-1=1,所以c=2.又b=-(a+1),所以f(x)=ax2-(a+1)x+2.再由f()=得a2-(a+1)+2=,所以a2-a+2=+=1,所以a2-a+1=0.即a(2-+1)+1-a=0,即1-a=0,所以a=1,所以f(x)=x2-2x+2.2方程的思想。例2 已知f(x)=ax2-c滿足-4f(1)-1, -1f(2)5,求f(3)的取值范圍?!窘狻?因?yàn)?4f(1)=a-c-1,所以1-f(1)=c-a4.又-1f(2)=4a-c5, f(3)=f(2)-f(1),所以×(-1)+f(3)×5+×4,所以-1f(3)20.3利用二次函數(shù)的性質(zhì)。例3 已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a,b,cR, a0),若方程f(x)=x無實(shí)根,求證:方程f(f(x)=x也無實(shí)根。【證明】若a>0,因?yàn)閒(x)=x無實(shí)根,所以二次函數(shù)g(x)=f(x)-x圖象與x軸無公共點(diǎn)且開口向上,所以對任意的xR,f(x)-x>0即f(x)>x,從而f(f(x)>f(x)。所以f(f(x)>x,所以方程f(f(x)=x無實(shí)根。注:請讀者思考例3的逆命題是否正確。4利用二次函數(shù)表達(dá)式解題。例4 設(shè)二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a>0),方程f(x)=x的兩根x1, x2滿足0<x1<x2<,()當(dāng)x(0, x1)時,求證:x<f(x)<x1;()設(shè)函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于x=x0對稱,求證:x0<【證明】 因?yàn)閤1, x2是方程f(x)-x=0的兩根,所以f(x)-x=a(x-x1)(x-x2),即f(x)=a(x-x1)(x-x2)+x.()當(dāng)x(0, x1)時,x-x1<0, x-x2<0, a>0,所以f(x)>x.其次f(x)-x1=(x-x1)a(x-x2)+1=a(x-x1)x-x2+<0,所以f(x)<x1.綜上,x<f(x)<x1.()f(x)=a(x-x1)(x-x2)+x=ax2+1-a(x1+x2)x+ax1x2,所以x0=,所以,所以5構(gòu)造二次函數(shù)解題。例5 已知關(guān)于x的方程(ax+1)2=a2(a-x2), a>1,求證:方程的正根比1小,負(fù)根比-1大?!咀C明】 方程化為2a2x2+2ax+1-a2=0.構(gòu)造f(x)=2a2x2+2ax+1-a2,f(1)=(a+1)2>0, f(-1)=(a-1)2>0, f(0)=1-a2<0, 即>0,所以f(x)在區(qū)間(-1,0)和(0,1)上各有一根。即方程的正根比1小,負(fù)根比-1大。6定義在區(qū)間上的二次函數(shù)的最值。例6 當(dāng)x取何值時,函數(shù)y=取最小值?求出這個最小值?!窘狻?y=1-,令u,則0<u1。y=5u2-u+1=5,且當(dāng)即x=3時,ymin=.例7 設(shè)變量x滿足x2+bx-x(b<-1),并且x2+bx的最小值是,求b的值。【解】 由x2+bx-x(b<-1),得0x-(b+1).)-(b+1),即b-2時,x2+bx的最小值為-,所以b2=2,所以(舍去)。) ->-(b+1),即b>-2時,x2+bx在0,-(b+1)上是減函數(shù),所以x2+bx的最小值為b+1,b+1=-,b=-.綜上,b=-.7.一元二次不等式問題的解法。例8 已知不等式組 的整數(shù)解恰好有兩個,求a的取值范圍?!窘狻?因?yàn)榉匠蘹2-x+a-a2=0的兩根為x1=a, x2=1-a,若a0,則x1<x2.的解集為a<x<1-a,由得x>1-2a.因?yàn)?-2a1-a,所以a0,所以不等式組無解。若a>0,)當(dāng)0<a<時,x1<x2,的解集為a<x<1-a.因?yàn)?<a<x<1-a<1,所以不等式組無整數(shù)解。)當(dāng)a=時,a=1-a,無解。)當(dāng)a>時,a>1-a,由得x>1-2a,所以不等式組的解集為1-a<x<a.又不等式組的整數(shù)解恰有2個,所以a-(1-a)>1且a-(1-a)3,所以1<a2,并且當(dāng)1<a2時,不等式組恰有兩個整數(shù)解0,1。綜上,a的取值范圍是1<a2.8充分性與必要性。例9 設(shè)定數(shù)A,B,C使得不等式A(x-y)(x-z)+B(y-z)(y-x)+C(z-x)(z-y)0 對一切實(shí)數(shù)x,y,z都成立,問A,B,C應(yīng)滿足怎樣的條件?(要求寫出充分必要條件,而且限定用只涉及A,B,C的等式或不等式表示條件)【解】 充要條件為A,B,C0且A2+B2+C22(AB+BC+CA).先證必要性,可改寫為A(x-y)2-(B-A-C)(y-z)(x-y)+C(y-z)20 若A=0,則由對一切x,y,zR成立,則只有B=C,再由知B=C=0,若A0,則因?yàn)楹愠闪?,所以A>0,=(B-A-C)2(y-z)2-4AC(y-z)20恒成立,所以(B-A-C)2-4AC0,即A2+B2+C22(AB+BC+CA)同理有B0,C0,所以必要性成立。再證充分性,若A0,B0,C0且A2+B2+C22(AB+BC+CA),1)若A=0,則由B2+C22BC得(B-C)20,所以B=C,所以=0,所以成立,成立。2)若A>0,則由知0,所以成立,所以成立。綜上,充分性得證。9常用結(jié)論。定理1 若a, bR, |a|-|b|a+b|a|+|b|.【證明】 因?yàn)?|a|a|a|,-|b|b|b|,所以-(|a|+|b|)a+b|a|+|b|,所以|a+b|a|+|b|(注:若m>0,則-mxm等價于|x|m).又|a|=|a+b-b|a+b|+|-b|,即|a|-|b|a+b|.綜上定理1得證。定理2 若a,bR, 則a2+b22ab;若x,yR+,則x+y(證略)注 定理2可以推廣到n個正數(shù)的情況,在不等式證明一章中詳細(xì)論證。三、基礎(chǔ)訓(xùn)練題1下列四個命題中屬于真命題的是_,“若x+y=0,則x、y互為相反數(shù)”的逆命題;“兩個全等三角形的面積相等”的否命題;“若q1,則x2+x+q=0有實(shí)根”的逆否命題;“不等邊三角形的三個內(nèi)角相等”的逆否命題。2由上列各組命題構(gòu)成“p或q”,“p且q”,“非p”形式的復(fù)合命題中,p或q為真,p且q為假,非p為真的是_.p;3是偶數(shù),q:4是奇數(shù);p:3+2=6,q:p:a(a,b),q:aa,b; p: QR, q: N=Z.3. 當(dāng)|x-2|<a時,不等式|x2-4|<1成立,則正數(shù)a的取值范圍是_.4. 不等式ax2+(ab+1)x+b>0的解是1<x<2,則a, b的值是_.5. x1且x2是x-1的_條件,而-2<m<0且0<n<1是關(guān)于x的方程x2+mx+n=0有兩個小于1的正根的_條件.“垂直于同一條直線的兩條直線互相平行”的逆命題是_.7.若S=x|mx2+5x+2=0的子集至多有2個,則m的取值范圍是_.8. R為全集,A=x|3-x4, B=, 則(CRA)B=_.9. 設(shè)a, b是整數(shù),集合A=(x,y)|(x-a)2+3b6y,點(diǎn)(2,1)A,但點(diǎn)(1,0)A,(3,2)A則a,b的值是_.10設(shè)集合A=x|x|<4, B=x|x2-4x+3>0,則集合x|xA且xAB=_.11. 求使不等式ax2+4x-1-2x2-a對任意實(shí)數(shù)x恒成立的a的取值范圍。12對任意x0,1,有 成立,求k的取值范圍。四、高考水平訓(xùn)練題1若不等式|x-a|<x的解集不空,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_.2使不等式x2+(x-6)x+9>0當(dāng)|a|1時恒成立的x的取值范圍是_.3若不等式-x2+kx-4<0的解集為R,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是_.4若集合A=x|x+7|>10, B=x|x-5|<k,且AB=B,則k的取值范圍是_.5設(shè)a1、a2, b1、b2, c1、c2均為非零實(shí)數(shù),不等式a1x2+b1x+c1>0和a2x2+b2x+c2>0解集分別為M和N,那么“”是“M=N”的_條件。6若下列三個方程x2+4ax-4a+3=0, x2+(a-1)x+a2=0, x2+2ax-2a=0中至少有一個方程有實(shí)根,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_.7已知p, q都是r的必要條件,s是r的充分條件,q是s的充分條件,則r是q的_條件。8已知p: |1-|2, q: x2-2x+1-m20(m>0),若非p是非q的必要不充分條件,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_.9已知a>0,f(x)=ax2+bx+c,對任意xR有f(x+2)=f(2-x),若f(1-2x2)<f(1+2x-x2),求x 的取值范圍。10已知a, b, cR, f(x)=ax2+bx+c, g(x)=ax+b, 當(dāng)|x|1時,|f(x)|1,(1)求證:|c|1;(2)求證:當(dāng)|x|1時,|g(x)|2;(3)當(dāng)a>0且|x|1時,g(x)最大值為2,求f(x).a,b,c,m滿足條件:=0,且a0,m>0,求證:方程ax2+bx+c=0有一根x0滿足0<x0<1.五、聯(lián)賽一試水平訓(xùn)練題1不等式|x|3-2x2-4|x|+3<0的解集是_.2如果實(shí)數(shù)x, y滿足:,那么|x|-|y|的最小值是_.3已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)(1,1),(3,5),f(0)>0,當(dāng)函數(shù)的最小值取最大值時,a+b2+c3=_.4. 已知f(x)=|1-2x|, x0,1,方程f(f(f)(x)=x有_個實(shí)根。5若關(guān)于x的方程4x2-4x+m=0在-1,1上至少有一個實(shí)根,則m取值范圍是_.6若f(x)=x4+px3+qx2+x對一切xR都有f(x)x且f(1)=1,則p+q2=_.7. 對一切xR,f(x)=ax2+bx+c(a<b)的值恒為非負(fù)實(shí)數(shù),則的最小值為_.8函數(shù)f(x)=ax2+bx+c的圖象如圖,且=b-2ac. 那么b2-4ac_4. (填>、=、<)9若a<b<c<d,求證:對任意實(shí)數(shù)t-1, 關(guān)于x的方程(x-a)(x-c)+t(x-b)(x-d)=0都有兩個不等的實(shí)根。10某人解二次方程時作如下練習(xí):他每解完一個方程,如果方程有兩個實(shí)根,他就給出下一個二次方程:它的常數(shù)項(xiàng)等于前一個方程較大的根,x的系數(shù)等于較小的根,二次項(xiàng)系數(shù)都是1。證明:這種練習(xí)不可能無限次繼續(xù)下去,并求最多能延續(xù)的次數(shù)。11已知f(x)=ax2+bx+c在0,1上滿足|f(x)|1,試求|a|+|b|+|c|的最大值。六、聯(lián)賽二試水平訓(xùn)練題1設(shè)f(x)=ax2+bx+c,a,b,cR, a>100,試問滿足|f(x)|50的整數(shù)x最多有幾個?2設(shè)函數(shù)f(x)=ax2+8x+3(a<0),對于給定的負(fù)數(shù)a,有一個最大的正數(shù)l(a),使得在整個區(qū)間0,l(a)上,不等式|f(x)|5都成立。求l(a)的最大值及相應(yīng)a的值。3設(shè)x1,x2,xna, a+1,且設(shè)x=, y=, 求f=y-x2的最大值。4F(x)=ax2+bx+c,a,b,cR, 且|F(0)|1,|F(1)|1,|F(-1)|1,則對于|x|1,求|F(x)|的最大值。5已知f(x)=x2+ax+b,若存在實(shí)數(shù)m,使得|f(m)|,|f(m+1)|,求=a2-4b的最大值和最小值。6設(shè)二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c (a,b,cR, a0)滿足下列條件:1)當(dāng)xR時,f(x-4)=f(2-x),且f(x)x;2)當(dāng)x(0, 2)時,f(x);3)f(x)在R上最小值為0。求最大的m(m>1),使得存在tR,只要x1, m就有f(x+t)x.7.求證:方程3ax2+2bx-(a+b)=0(b0)在(0,1)內(nèi)至少有一個實(shí)根。8設(shè)a,b,A,BR+, a<A, b<B,若n個正數(shù)a1, a2,an位于a與A之間,n個正數(shù)b1, b2,bn位于b與B之間,求證:9設(shè)a,b,c為實(shí)數(shù),g(x)=ax2+bx+c, |x|1,求使下列條件同時滿足的a, b, c的值:()=381;()g(x)max=444;()g(x)min=364.

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