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均值不等式

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均值不等式

精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上均值不等式歸納總結(jié)1. (1)若,則(2)若,則(當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”)2. (1)若,則(2)若,則(當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”)(3)若,則 (當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”)3.若,則 (當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”)若,則 (當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”)若,則 (當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”)4.若,則 (當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”)若,則 (當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”)5.若,則(當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”) (1)當(dāng)兩個正數(shù)的積為定植時,可以求它們的和的最小值,當(dāng)兩個正數(shù)的和為定值時,可以求它們的積的最小值,正所謂“積定和最小,和定積最大”(2)求最值的條件“一正,二定,三取等”(3)均值定理在求最值、比較大小、求變量的取值范圍、證明不等式、解決實(shí)際問題方面有廣泛的應(yīng)用應(yīng)用一:求最值例1:求下列函數(shù)的值域(1)y3x 2 (2)yx解題技巧技巧一:湊項(xiàng)例. 已知,求函數(shù)的最大值。 技巧二:湊系數(shù)例. 當(dāng)時,求的最大值。變式:設(shè),求函數(shù)的最大值。技巧三: 分離(或換元)例. 求的值域。技巧四:在應(yīng)用最值定理求最值時,若遇等號取不到的情況,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性。例:求函數(shù)的值域。練習(xí)1求下列函數(shù)的最小值,并求取得最小值時,x 的值.(1) (2) (3)2 已知,求函數(shù)的最大值.;3,求函數(shù)的最大值.條件求最值1.若實(shí)數(shù)滿足,則的最小值是 .變式:若,求的最小值.并求x,y的值技巧五:整體代換多次連用最值定理求最值時,要注意取等號的條件的一致性,否則就會出錯。2.已知,且,求的最小值。變式: (1)若且,求的最小值(2)已知且,求的最小值技巧六已知x,y為正實(shí)數(shù),且x 21,求x的最大值.下面將x,分別看成兩個因式:技巧七:已知a,b為正實(shí)數(shù),2baba30,求函數(shù)y的最小值.分析:這是一個二元函數(shù)的最值問題,通常有兩個途徑,一是通過消元,轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)問題,再用單調(diào)性或基本不等式求解,對本題來說,這種途徑是可行的;二是直接用基本不等式。變式:1.已知a>0,b>0,ab(ab)1,求ab的最小值。2.若直角三角形周長為1,求它的面積最大值。技巧八.取平方1、已知x,y為正實(shí)數(shù),3x2y10,求函數(shù)W的最值.變式: 求函數(shù)的最大值。應(yīng)用二:利用均值不等式證明不等式1已知為兩兩不相等的實(shí)數(shù),求證:1) 正數(shù)a,b,c滿足abc1,求證:(1a)(1b)(1c)8abc2) 已知a、b、c,且。求證:應(yīng)用三:均值不等式與恒成立問題例:已知且,求使不等式恒成立的實(shí)數(shù)的取值范圍。應(yīng)用四:均值定理在比較大小中的應(yīng)用:例:若,則的大小關(guān)系是 .專心-專注-專業(yè)

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