數(shù)字信號(hào)處理實(shí)驗(yàn) 基于Matlab

數(shù)字信號(hào)處理實(shí)驗(yàn)（基于Matlab）王春興物理與電子科學(xué)學(xué)院2003.5數(shù)字信號(hào)處理實(shí)驗(yàn)（基于Matlab）第一章 概述信號(hào)的定義及表達(dá)信號(hào)：帶有信息的任何物理量本課程討論的信號(hào)：時(shí)間函數(shù) 連續(xù)時(shí)間信號(hào) CT 離散時(shí)間信號(hào)DT 模擬信號(hào)到數(shù)字信號(hào) 采樣（時(shí)間離散化） 量化（取值離散化）（P.7 圖1.6）數(shù)字信號(hào)的表達(dá)：二進(jìn)制數(shù)組 -二進(jìn)制編碼 數(shù)制轉(zhuǎn)換： 10進(jìn)制-2進(jìn)制 MSB和LSB 符號(hào)數(shù)的表達(dá)：符號(hào)位（補(bǔ)碼） 數(shù)字信號(hào)處理分析方式： 理論分析設(shè)計(jì) 采用DT信號(hào)進(jìn)行 （本課程內(nèi)容）實(shí)時(shí)電路處理 采用數(shù)字信號(hào)進(jìn)行 （數(shù)字電路內(nèi)容）數(shù)字信號(hào)的特點(diǎn)及應(yīng)用特點(diǎn)：數(shù)字信號(hào)與模擬信號(hào)的比較抗干擾性強(qiáng)、精度高、容易存儲(chǔ)、可靈活處理與計(jì)算機(jī)系統(tǒng)兼容數(shù)字技術(shù)的應(yīng)用領(lǐng)域語(yǔ)音技術(shù)（傳輸、識(shí)別、合成）圖象處理（靜止圖象、移動(dòng)圖象、三維動(dòng)畫(huà)）地波分析（地震探測(cè)、地質(zhì)探礦）諧振分析（高層建筑、橋梁、機(jī)翼等）自動(dòng)控制 實(shí)時(shí)檢測(cè)本課程的主要教學(xué)安排：主要內(nèi)容：（50學(xué)時(shí)）數(shù)字信號(hào)的頻率分析：定義、變換與計(jì)算 (22學(xué)時(shí)) 頻率定義、CTFS與DTFS、CTFT與DTFT、DFT與FFT數(shù)字信號(hào)的頻率處理：濾波器設(shè)計(jì) （26學(xué)時(shí)） LTI系統(tǒng)分析理想濾波器與低階數(shù)字濾波；FIR濾波器設(shè)計(jì)、IIR濾波器設(shè)計(jì) 數(shù)字濾波器結(jié)構(gòu)與誤差分析教材與參考書(shū)： 教材： Digital Signal Processing spectral computation and filter design （Third edition） (美) Chi-Tsong Chen 電子工業(yè)出版社 2002版 數(shù)字信號(hào)處理基礎(chǔ)（加）Joyce Van de Vegte 著 侯正信 王國(guó)安 等譯 電子工業(yè)出版社2003版信號(hào)與系統(tǒng)計(jì)算機(jī)練習(xí)利用MATLAB John R.Buck 劉樹(shù)棠 譯 西安交通大學(xué)出版社 2000版 主要工具：MATLAB ：信號(hào)波形圖、頻譜計(jì)算與分析濾波器設(shè)計(jì)及系統(tǒng)頻率特性分析考核方式：平時(shí)作業(yè) 30%考試（筆試、操作） 70% MATLAB的基本應(yīng)用方法命令窗口（Command window）的使用：輸入各類(lèi)變量或函數(shù)名稱(chēng)，按回車(chē)即得到當(dāng)前變量或函數(shù)值；輸入各類(lèi)命令，按回車(chē)即得到該命令執(zhí)行結(jié)果；若需要輸入多行命令或程序，各行間用“；”間隔；M文件的編制與調(diào)試執(zhí)行打開(kāi)空白文件或已經(jīng)有的文件，進(jìn)行程序文件的輸入編輯；各行間用“；”間隔；一行中“%”以后內(nèi)容為注釋部分，不影響程序執(zhí)行；程序編制完畢后，可以按“F5”鍵保存執(zhí)行，注意根據(jù)屏幕提示建立文件名稱(chēng)；如果出現(xiàn)錯(cuò)誤，可在命令窗口看到錯(cuò)誤類(lèi)型及位置，根據(jù)錯(cuò)誤檢測(cè)信息對(duì)程序進(jìn)行調(diào)試；MATLAB命令及函數(shù)信號(hào)的表達(dá)方式及作圖在MATLAB中，任何變量或函數(shù)均表現(xiàn)為向量，任何向量的元素編號(hào)均從1開(kāi)始；序列（向量）表達(dá)方式 設(shè)定坐標(biāo)向量n和信號(hào)向量x；x和n為長(zhǎng)度相同的向量，向量的編號(hào)從1開(kāi)始； n=-2 :0.1:2 坐標(biāo)向量可以直接逐點(diǎn)寫(xiě)出：n=2 3 4 5 6 7； 也可以采用起點(diǎn)，終點(diǎn)和步長(zhǎng)的形式寫(xiě)出：n=-2 :0.1:2 ； 信號(hào)向量可以直接逐點(diǎn)寫(xiě)出：x=1 2 3 4 3 2； 也可以采用與n有關(guān)的函數(shù)運(yùn)算形式寫(xiě)出： 例如： x=3*n x=exp(j*(pi/8)*n) 作圖： 采用stem（n，x） 作出離散圖形 DT信號(hào) 采用plot（n，x） 作出連續(xù)圖形（折線(xiàn)連接） CT信號(hào)作圖時(shí)主要通過(guò)合理設(shè)置n的范圍及步長(zhǎng)來(lái)保證變量坐標(biāo)的正確性；可以利用title，axis等函數(shù)為圖形設(shè)置說(shuō)明和坐標(biāo)范圍；特別注意：作圖時(shí)必須保證坐標(biāo)向量與信號(hào)向量長(zhǎng)度完全一致；0101：離散序列的作圖直接表現(xiàn)離散序列n=2 3 4 5 6 7;x=1 2 3 4 3 2;stem(n,x);0102：將圖形表現(xiàn)為連續(xù)曲線(xiàn)n=2 3 4 5 6 7;x=1 2 3 4 3 2;plot(n,x);0203：信號(hào)表現(xiàn)為坐標(biāo)向量的函數(shù)n=2 3 4 5 6 7;x=exp(j*(pi/8)*n);plot(n,x);0204：圖形說(shuō)明和坐標(biāo)范圍的設(shè)置n=-20:0.5:20;x=exp(j*(pi/8)*n);plot(n,x),title('n=-20:0.5:20;x=exp(j*(pi/8)*n);plot(n,x)');axis(-20,20,-2,2);第二章 DTFS和CTFS-周期信號(hào)的頻率分量信號(hào)的時(shí)域表達(dá)形式：連續(xù)時(shí)間信號(hào)CT 離散時(shí)間信號(hào)DTDT信號(hào)由CT信號(hào)采樣得出CT信號(hào) 采樣信號(hào) DT信號(hào) 周期信號(hào)：每隔一段時(shí)間重復(fù)的信號(hào) 信號(hào)變化快慢的描述：周期T：信號(hào)重復(fù)的時(shí)間間隔 頻率：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)信號(hào)重復(fù)的次數(shù) 頻域表達(dá)形式 人類(lèi)接受的自然信號(hào)主要以頻率形式表達(dá)： 聲音 色彩信號(hào)分析的重要任務(wù)：從時(shí)域信號(hào)得出頻域信號(hào)頻率的定義-單頻率時(shí)間信號(hào)CT信號(hào)的頻率 與周期性密切相關(guān) 標(biāo)準(zhǔn)信號(hào) 上述信號(hào)均為周期信號(hào)，周期為T(mén)；頻率均為 ； 周期與頻率的關(guān)系 取值范圍 DT信號(hào)的頻率 (仿照CT信號(hào)定義)DT信號(hào)由CT信號(hào)采樣得到；周期信號(hào)的采樣不一定為周期信號(hào)；對(duì)于DT信號(hào)，頻率與周期沒(méi)有直接對(duì)應(yīng)關(guān)系；仿照CT信號(hào)定義基本信號(hào) 上述信號(hào)頻率均為 要點(diǎn)：信號(hào)的時(shí)域性質(zhì)：非周期性頻率性質(zhì)：多重性 頻率范圍 取值范圍 Nyquist frequency range 與采樣頻率有關(guān)CT與DT信號(hào)頻率之間的關(guān)系：P. 29 fd與采樣頻率有關(guān)，位于范圍內(nèi)； 將高頻按周期折合到低頻（主值區(qū)）；例 p.27 2.1 2.2付氏級(jí)數(shù)及頻率分量一般周期時(shí)間信號(hào)的頻率：采用單頻率信號(hào)表達(dá)CTFS （連續(xù)時(shí)間付氏級(jí)數(shù)）定義式 （周期信號(hào)：周期為P） 存在條件：絕對(duì)可積，而且在一個(gè)周期內(nèi)間斷點(diǎn)和極值點(diǎn)有限； 頻率分量：CTFS coefficient / frequency component通常為復(fù)數(shù)： Magnitude phase phase的范圍 共軛對(duì)稱(chēng)性：奇偶性 real : even : odd real and even real and even real and odd imaginary and odd 周期信號(hào)頻率分量的計(jì)算 （例 P.38） 要點(diǎn)：2.4 利用簡(jiǎn)單分解求2.5 利用公式求矩形脈沖的 2.6 利用公式求沖激串（sampling function）的周期信號(hào)的時(shí)間范圍： 雙邊信號(hào)一般周期信號(hào)的頻率范圍： 若對(duì)于所有的，則稱(chēng)為帶限信號(hào)；頻率分量的意義：平均功率: 只與magnitude有關(guān)phase的影響：對(duì)信號(hào)波形的影響 對(duì)視頻有影響，對(duì)音頻沒(méi)有影響DTFS（離散時(shí)間付氏級(jí)數(shù)） 定義式 頻率分量討論： 的周期性 只有N個(gè)獨(dú)立系數(shù) 共軛對(duì)稱(chēng)性：奇偶性 m的取值范圍：應(yīng)使 的范圍為時(shí)移的影響： 線(xiàn)性相位變化例 p.4854 2.8 利用公式直接計(jì)算系數(shù) N=3 2.9 利用公式直接計(jì)算系數(shù) N=42.10 時(shí)移的作用時(shí)移不影響DTFS系數(shù)的幅度，只在系數(shù)中加入線(xiàn)性相位；利用MATLAB計(jì)算頻率分量DTFS系數(shù)的FFT計(jì)算重要函數(shù) c=(1/N)*fft(x) x=N*ifft(c)應(yīng)用要點(diǎn)：x和c的序列都為N個(gè)元素，下標(biāo)排列都為 1 .N，分別對(duì)應(yīng)于離散時(shí)間n 0.N-1和離散頻率 m 0.N-1；DTFS可以利用任何一個(gè)周期進(jìn)行計(jì)算；在采用FFT的時(shí)候，輸入數(shù)據(jù)必須從n=0到N-1；利用shift（）函數(shù)（P.56）可以使頻率向量排布在對(duì)稱(chēng)區(qū)間內(nèi)：N為odd時(shí)，下標(biāo)0在正中，N為even時(shí)，下標(biāo)0偏左；利用m=ceil(-(N-1)/2):ceil(N-1/2)可以得到對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)；注意：c為周期序列，周期為N；例2.8題的求解 N=3;T=0.5; x=-2 1 0.6;例2.9題的求解 N=4;T=1; x= 2.5 -0.4 1 -2;%program 2.2N=3;T=0.5; x=-2 1 0.6;D=2*pi/(N*T);X=fft(x/N);m=ceil(-(N-1)/2):ceil(N-1)/2);w=m*D;subplot(2,1,1),stem(w,abs(shift(X),title('(a)');subplot(2,1,2),stem(w,angle(shift(X)*180/pi),title('(b)');CTFS系數(shù)的FFT計(jì)算問(wèn)題：x為連續(xù)信號(hào)；m取值范圍為無(wú)限大區(qū)間； 方案：在一個(gè)周期內(nèi)取N點(diǎn)對(duì)x進(jìn)行采樣（離散化）； 求出DTFS系數(shù)-周期序列； 取主值范圍內(nèi)的序列即為對(duì)應(yīng)CTFS系數(shù)； 當(dāng)x為帶限信號(hào)時(shí)，在滿(mǎn)足采樣定理?xiàng)l件下可以得出準(zhǔn)確的CTFS系數(shù)；例 2.4題的求解 2.12%program 2.2P=2*pi/0.3;N=11;T=P/N;D=2*pi/P;n=0:N-1;x=-1.2+0.8*sin(0.6*n*T)-1.6*cos(1.5*n*T);X=fft(x/N);m=ceil(-(N-1)/2):ceil(N-1)/2);w=m*D;subplot(2,1,1),stem(w,abs(shift(X),title('(a)');subplot(2,1,2),stem(w,angle(shift(X)*180/pi),title('(b)'); 對(duì)于帶限信號(hào)，在滿(mǎn)足采樣定理的條件下，不同大小的N值（采樣數(shù)量）得到的幅頻分量相同； 若采樣周期不夠小，則將產(chǎn)生頻率混疊失真；例2.3 頻率混疊的影響例2.5題的求解通過(guò)改變采樣點(diǎn)數(shù)量N，可以比較混疊的影響大小%program 2.4 hold on;N=42;P=4;T=P/N;D=2*pi/P;q=floor(1/T);x=ones(1,q+1) zeros(1,N-2*q-1) ones(1,q);X=fft(x/N);m=ceil(-(N-1)/2):ceil(N-1)/2);stem(m*D,shift(X),'b','fill');對(duì)于在足夠逼近條件下，magnetude可以得到足夠良好近似值；（能量逼近）；但計(jì)算出的phase不會(huì)得出良好近似值（通常不采用）； 關(guān)鍵：N的選?。ㄗ銐虼笠垣@得良好近似，足夠小以減少運(yùn)算量） 根據(jù)設(shè)定的精確度，求出最小的N： 令N=2n，選定n的特定值，再逐1增加；重復(fù)計(jì)算在Nyquist范圍內(nèi)的系數(shù)差，直到系數(shù)差小于設(shè)定值為止；例2.6 根據(jù)設(shè)定最大誤差，自動(dòng)選取最小采樣點(diǎn)數(shù)量，并求出滿(mǎn)足要求的頻譜例2.5題的求解% program 2.6a=1;b=100;P=4;D=2*pi/P;beta=1;while b>beta N1=2a;T1=P/N1;q1=floor(1/T1); x1=ones(1,q1+1) zeros(1,N1-2*q1-1) ones(1,q1); X1=fft(x1/N1); N2=2*N1;T2=P/N2;q2=floor(1/T2); x2=ones(1,q2+1) zeros(1,N2-2*q2-1) ones(1,q2); X2=fft(x2/N2); m1p=0:N1/2; d=max(abs(abs(X1(m1p+1)-abs(X2(m1p+1); mm=max(abs(X1(m1p+1); b=d/mm*100; a=a+1;endN2,bm=-N2/2+1:N2/2;stem(m*D,abs(shift(X2);對(duì)此程序作少數(shù)改動(dòng)可以得到對(duì)其他信號(hào)的計(jì)算：P.73 例2.14 平均功率計(jì)算 CT信號(hào) DT信號(hào) 例2.15 分別采用時(shí)域序列和頻譜序列求信號(hào)平均功率例2.4題的信號(hào)功率%program 2.8P=2*pi/0.3;N=11;T=P/N;n=0:N-1;x=-1.2+0.8*sin(0.6*n*T)-1.6*cos(1.5*n*T);P1=sum(x.2)*T/PX=fft(x/N);P2=sum(abs(X).2)例2.16 采用頻譜序列求信號(hào)平均功率例2.5題的信號(hào)功率%program 2.9N=1024;D=2*pi/4;x=ones(1,257) zeros(1,511) ones(1,256);X=fft(x/N);mu=floor(5/D);m=2:mu+1;p=abs(X(1)2+2*sum(abs(X(m).2)第三章 CTFT和DTFT-一般信號(hào)的頻譜實(shí)際信號(hào)都是非周期信號(hào)（非雙邊信號(hào)）周期信號(hào)對(duì)應(yīng)于離散頻率分量（離散頻譜）非周期信號(hào)對(duì)應(yīng)于連續(xù)頻譜CTFT 連續(xù)時(shí)間信號(hào)的付氏變換 定義式 頻譜存在條件：絕對(duì)可積，而且在一個(gè)周期內(nèi)間斷點(diǎn)和極值點(diǎn)有限； 例 3.1 eatu(t) 的頻譜P.85 圖3.1例3.2 wa（t）的頻譜：時(shí)域窗口函數(shù)P.87 圖3.2 主瓣：高2a，寬2/a 旁瓣：寬/a 零點(diǎn)：n /a 窗口寬度與主瓣/旁瓣寬度成反比； 窗口的時(shí)移不改變幅頻特性，只引入線(xiàn)性相位；例3.3 模擬理想低通濾波器 ：頻域窗口函數(shù) P.89 圖3.3CT周期信號(hào)的頻譜 步驟：將CT周期信號(hào)先展開(kāi)為CTFS，再進(jìn)行逐項(xiàng)變換； 若干常用信號(hào)的頻譜（P.91 圖3.4） 例 3.4 沖激串的CTFT 頻譜的性質(zhì) 連續(xù)有界：若絕對(duì)可積，則有界并連續(xù)；奇偶性： P.94 表3.1時(shí)間實(shí)函數(shù)-幅頻偶、相頻奇時(shí)間實(shí)偶-頻譜實(shí)偶時(shí)間實(shí)奇-頻譜虛奇時(shí)移與頻移： 時(shí)移引入線(xiàn)性相位，頻移對(duì)應(yīng)復(fù)指數(shù)調(diào)制時(shí)間尺度變換： 時(shí)間壓縮對(duì)應(yīng)頻譜擴(kuò)展Parsevals relation能量的頻率分布 能量只與幅頻特性有關(guān)，時(shí)移不影響信號(hào)能量分布周期信號(hào)與非周期信號(hào)的能量對(duì)比周期信號(hào)能量為無(wú)限大，平均功率為，非零功率只存在于離散頻率點(diǎn)；絕對(duì)可積的非周期信號(hào)能量為，在任何特定頻率點(diǎn)能量為零，能量分布于頻率區(qū)間上；連續(xù)時(shí)間信號(hào)截?cái)鄬?duì)于頻譜的影響只有極少數(shù)信號(hào)可以求出頻譜的解析表達(dá)式；絕大多數(shù)實(shí)際信號(hào)只能采用數(shù)值方式求解頻譜；對(duì)無(wú)限長(zhǎng)時(shí)間連續(xù)信號(hào)，在實(shí)際計(jì)算時(shí)必須考慮截?cái)嗖㈦x散化；時(shí)域截?cái)嗄Ｐ停阂源翱诤瘮?shù)乘以時(shí)間函數(shù) 時(shí)域乘積對(duì)應(yīng)于頻域卷積： 其中 單頻率信號(hào)的截?cái)嘈Ч?（P.104 圖3.8）使單頻率展寬，出現(xiàn)主瓣（高L=2a、寬4/L）和旁瓣（高<0.2L、寬2/L）；對(duì)于有限帶寬信號(hào)，截?cái)鄬?dǎo)致帶外泄露（能量）和紋波現(xiàn)象；L越小，上述效應(yīng)越顯著;對(duì)于連續(xù)信號(hào)，增大L可以將上述效應(yīng)削弱到可以忽略的程度；例3.5 的頻譜：采用不同寬度的窗口截?cái)?；（P.104 圖3.8）Gibbs現(xiàn)象用付氏變換表達(dá)時(shí)間函數(shù)時(shí)，當(dāng)頻譜信號(hào)含有不連續(xù)點(diǎn)時(shí)，頻譜的紋波將會(huì)變窄并靠近該點(diǎn)，但紋波不會(huì)隨L的無(wú)限增大而消失，而是趨于一個(gè)常量（寬度無(wú)限小，高度約為不連續(xù)變化量的9%）；（P.105 圖3.9）將頻譜變換為時(shí)間函數(shù)時(shí)存在相同的現(xiàn)象；采用矩形窗口截?cái)嘈盘?hào)必然出現(xiàn)Gibbs現(xiàn)象。DTFT 離散時(shí)間信號(hào)的付氏變換定義式 頻譜 具有周期性 可以表達(dá)為任何一個(gè)周期上的積分 主值區(qū)域：例 3.6 anun 的頻譜 P.109 圖3.11例 3.7 離散時(shí)間矩形窗口函數(shù)wdn的頻譜N=2M+1 P.110 圖3.12與連續(xù)時(shí)間窗口類(lèi)似，離散時(shí)間窗口的頻譜在一個(gè)周期內(nèi)也產(chǎn)生主瓣與旁瓣，頻譜零點(diǎn)位于處；主瓣高度為N；旁瓣只有N-2個(gè)； 例3.8 數(shù)字理想低通濾波器 （P.112 圖3.13）DT周期信號(hào)的頻譜 標(biāo)準(zhǔn)信號(hào) 時(shí)域沖激串對(duì)應(yīng)于頻域沖激串一般周期信號(hào)將DT周期信號(hào)先展開(kāi)為DTFS，再進(jìn)行逐項(xiàng)變換； 截?cái)嗟挠绊憣?duì)無(wú)限長(zhǎng)時(shí)間DT信號(hào)進(jìn)行計(jì)算時(shí)，必須進(jìn)行截?cái)?；時(shí)域截?cái)嗄Ｐ停阂源翱诤瘮?shù)乘以時(shí)間函數(shù) 頻域?qū)?yīng)卷積： 其中 N=2M+1截?cái)嘈Ч?P.116 圖3.14使單頻率展寬，出現(xiàn)主瓣（高L=2a、寬4/L）和旁瓣（高<0.2L、寬2/L）；對(duì)于有限帶寬信號(hào)，截?cái)鄬?dǎo)致帶外泄露（能量）和紋波現(xiàn)象；L越小，上述效應(yīng)越顯著。矩形窗截?cái)啾厝粚?dǎo)致Gibbs現(xiàn)象 P.117 圖3.15連續(xù)信號(hào)的離散化連續(xù)信號(hào)不能進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，必須離散化為離散信號(hào)；連續(xù)信號(hào)離散化過(guò)程稱(chēng)為采樣過(guò)程；Nyquist 采樣定理 理想采樣：利用沖激串相乘使連續(xù)時(shí)間信號(hào)離散化 時(shí)域離散化 頻域周期性復(fù)制恢復(fù)采樣信號(hào)的條件：1 帶限信號(hào) 存在最高頻率 2 采樣頻率（Nyquist rate）滿(mǎn)足上述條件時(shí)，可通過(guò)頻域的低通濾波（截止頻率為）分離出原始頻譜，恢復(fù)信號(hào)；該操作等效于時(shí)域的理想內(nèi)插恢復(fù)（在每個(gè)采樣點(diǎn)插入連續(xù)取樣函數(shù)）。頻率混疊問(wèn)題不滿(mǎn)足條件2時(shí)，可能產(chǎn)生部分混疊（高頻），低頻信號(hào)可恢復(fù)；不滿(mǎn)足條件1時(shí)，總是產(chǎn)生混疊；當(dāng)CT信號(hào)能量有限時(shí)，可以增大T使得混疊影響足夠??；對(duì)信號(hào)進(jìn)行預(yù)先低通濾波是消除混疊的有效方式。時(shí)限帶限理論任何非零連續(xù)信號(hào)都不可能即為時(shí)限又為帶限；利用數(shù)字技術(shù)處理連續(xù)信號(hào)時(shí)必然需要截?cái)啵厝划a(chǎn)生誤差；在一定誤差范圍內(nèi)，有限能量的連續(xù)信號(hào)可以近視看作為時(shí)限帶限信號(hào)，并利用數(shù)字技術(shù)處理。音頻信號(hào)的實(shí)際處理過(guò)程模擬信號(hào)-采樣及零階保持-ADC-數(shù)字編碼信號(hào)數(shù)字編碼信號(hào)-DAC-零階保持信號(hào)-低通濾波-模擬信號(hào)DT周期信號(hào)的頻譜 標(biāo)準(zhǔn)信號(hào) 時(shí)域沖激串對(duì)應(yīng)于頻域沖激串一般周期信號(hào)將DT周期信號(hào)先展開(kāi)為DTFS，再進(jìn)行逐項(xiàng)變換； 截?cái)嗟挠绊憣?duì)無(wú)限長(zhǎng)時(shí)間DT信號(hào)進(jìn)行計(jì)算時(shí)，必須進(jìn)行截?cái)?；時(shí)域截?cái)嗄Ｐ停阂源翱诤瘮?shù)乘以時(shí)間函數(shù) 頻域?qū)?yīng)卷積： 離散取樣函數(shù) N=2M+1截?cái)嘈Ч?P.1116 圖3.14使單頻率展寬，出現(xiàn)主瓣（高L=2a、寬4/L）和旁瓣（高<0.2L、寬2/L）；對(duì)于有限帶寬信號(hào)，截?cái)鄬?dǎo)致帶外泄露（能量）和紋波現(xiàn)象；L越小，上述效應(yīng)越顯著。矩形窗截?cái)啾厝粚?dǎo)致Gibbs現(xiàn)象 P.1116 圖3.14Nyquist 采樣定理 采樣：利用沖激串相乘使連續(xù)時(shí)間信號(hào)離散化 恢復(fù)采樣信號(hào)的條件：3 帶限信號(hào) 存在最高頻率 4 采樣頻率（Nyquist rate）滿(mǎn)足上述條件時(shí)，可通過(guò)頻域的低通濾波（截止頻率為）分離出原始頻譜，恢復(fù)信號(hào)；該操作等效于時(shí)域的理想內(nèi)插恢復(fù)（在每個(gè)采樣點(diǎn)插入連續(xù)取樣函數(shù)）。頻率混疊問(wèn)題不滿(mǎn)足條件2時(shí)，可能產(chǎn)生部分混疊（高頻），低頻信號(hào)可恢復(fù)；不滿(mǎn)足條件1時(shí)，總是產(chǎn)生混疊；當(dāng)CT信號(hào)能量有限時(shí)，可以增大T使得混疊影響足夠小；對(duì)信號(hào)進(jìn)行預(yù)先低通濾波是消除混疊的有效方式。時(shí)限帶限理論任何非零連續(xù)信號(hào)都不可能即為時(shí)限又為帶限；利用數(shù)字技術(shù)處理連續(xù)信號(hào)時(shí)必然需要截?cái)?，必然產(chǎn)生誤差；在一定誤差范圍內(nèi)，有限能量的連續(xù)信號(hào)可以近視看作為時(shí)限帶限信號(hào)，并利用數(shù)字技術(shù)處理。音頻信號(hào)的實(shí)際處理過(guò)程模擬信號(hào)-采樣及零階保持-ADC-數(shù)字編碼信號(hào)數(shù)字編碼信號(hào)-DAC-零階保持信號(hào)-低通濾波-模擬信號(hào)第四章 DFT和FFT-頻譜的計(jì)算絕大多數(shù)信號(hào)不能采用解析方式進(jìn)行頻譜分析，只能采用數(shù)值計(jì)算方法計(jì)算頻譜；DFT 離散付氏變換 只對(duì)有限長(zhǎng)度的序列定義，由DTFT頻譜在一個(gè)周期內(nèi)進(jìn)行N點(diǎn)采樣得出定義式 特點(diǎn)：將有限信號(hào)的無(wú)限寬頻譜壓縮到一個(gè)周期內(nèi)（有限寬度）將離散信號(hào)的連續(xù)頻譜采樣為有限序列設(shè) 則 重要性質(zhì)時(shí)間序列和頻譜序列均以N為周期；可擴(kuò)展為周期信號(hào)；可以從任何一個(gè)周期中計(jì)算；例 DFT和DTFT的對(duì)比計(jì)算DFT（離散序列）是DTFT（連續(xù)頻譜）的采樣P.136140 例4.1-4.3DFT與DTFS的關(guān)系：將有限長(zhǎng)時(shí)間序列看作無(wú)限長(zhǎng)時(shí)間序列的一個(gè)周期，就可以進(jìn)行DTFS變換 只相差常數(shù)N反變換的時(shí)域混疊問(wèn)題當(dāng)時(shí)域序列為有限長(zhǎng)m時(shí)，作N點(diǎn)的DFTNm 不會(huì)產(chǎn)生混疊 DFT和DTFT反變換結(jié)果相同；N<m 會(huì)產(chǎn)生混疊 DFT和DTFT反變換結(jié)果不同；當(dāng)時(shí)域序列為有限長(zhǎng)m時(shí)，作N點(diǎn)的DFT當(dāng)時(shí)域序列為無(wú)限長(zhǎng)時(shí)，作N點(diǎn)的DFT的反變換一定會(huì)產(chǎn)生混疊；但若時(shí)域序列為絕對(duì)可和，則當(dāng)N足夠大時(shí)，混疊可以忽略。DFT的性質(zhì) （與DTFS和DTFT類(lèi)似）對(duì)于時(shí)域序列，將有限長(zhǎng)序列擴(kuò)展為無(wú)限長(zhǎng)周期序列進(jìn)行討論。奇偶性 周期時(shí)移圓周移動(dòng)DFT解決頻率計(jì)算問(wèn)題的方式：對(duì)有限時(shí)間序列的連續(xù)頻譜，只計(jì)算其中離散的采樣點(diǎn)；DFT存在的問(wèn)題：計(jì)算量問(wèn)題：對(duì)于N點(diǎn)DFT，需進(jìn)行N2次復(fù)數(shù)乘法，N（N-1）次復(fù)數(shù)加法；N的增加導(dǎo)致運(yùn)算量龐大，N的減少導(dǎo)致誤差增大；FFT 快速付氏變換 利用DFT的奇偶性質(zhì)及周期性質(zhì)，對(duì)計(jì)算公式進(jìn)行分解，降低計(jì)算量。 要點(diǎn)：以N為周期，均勻分布于單位圓上 例：N=8 8點(diǎn)序列的DFT分析 利用的性質(zhì)可以得到 所以可以得出 注意：是以0，2，4，6點(diǎn)構(gòu)成序列的DFT是以1，3，5，7點(diǎn)構(gòu)成序列的DFT將N點(diǎn)序列拆分為兩個(gè)N/2點(diǎn)序列進(jìn)行計(jì)算：運(yùn)算結(jié)構(gòu)：蝶形運(yùn)算（butterfly equation） 左邊m只取4個(gè)值，右邊m取8個(gè)值繼續(xù)對(duì)和進(jìn)行分析： 利用的性質(zhì)可以得到 所以可以得出第2層蝶形運(yùn)算關(guān)系： 是以0，4點(diǎn)構(gòu)成序列的DFT是以2，6點(diǎn)構(gòu)成序列的DFT將N/2點(diǎn)序列拆分為兩個(gè)N/4點(diǎn)序列進(jìn)行計(jì)算進(jìn)一步可以得到第3層蝶形運(yùn)算關(guān)系： 上述運(yùn)算過(guò)程可以由蝶形運(yùn)算圖表示為：可以看到，在上圖中采用了蝶形運(yùn)算作為運(yùn)算基本單元，一個(gè)蝶形運(yùn)算的單元如下圖所示： 輸入3個(gè)復(fù)數(shù) A ，B，C 輸出2個(gè)復(fù)數(shù) X1，X2 輸入/輸出關(guān)系為： X1=A+B*C X2=A-B*C1個(gè)蝶形運(yùn)算涉及1次復(fù)數(shù)乘法（4次實(shí)數(shù)乘，2次實(shí)數(shù)加），2次復(fù)數(shù)加（4次實(shí)數(shù)加）。FFT的蝶形運(yùn)算方式可以極大地減少DFT的運(yùn)算工作量；在P.150的表4.2中列出了隨著N的增加，DFT與FFT運(yùn)算量的比較；在FFT的蝶形運(yùn)算圖中可以看出，各層蝶形運(yùn)算可以構(gòu)成流水線(xiàn)處理形式，一次蝶形運(yùn)算完成，數(shù)據(jù)提供給下一層后，就可以對(duì)新的數(shù)據(jù)進(jìn)行處理；因此，F(xiàn)FT對(duì)數(shù)據(jù)的平均處理時(shí)間可以壓縮到1次蝶形運(yùn)算的時(shí)間。蝶形運(yùn)算在軟件實(shí)現(xiàn)時(shí)可以將其設(shè)置為函數(shù)，在運(yùn)算中調(diào)用；在硬件實(shí)現(xiàn)時(shí)可將其設(shè)計(jì)為基本功能單元（目前已有專(zhuān)用的FFT集成器件）；MATLAB的FFT函數(shù)定義FFT函數(shù) fft（x，N） ：計(jì)算N點(diǎn)時(shí)間序列x的DFT由時(shí)間序列計(jì)算頻譜序列：都為N點(diǎn)序列，下標(biāo)排列都為0-N-1。對(duì)稱(chēng)區(qū)間排布函數(shù)shift（fft（x，N）：參見(jiàn)P.56 Program2.1可以使的取值位于的對(duì)稱(chēng)區(qū)間內(nèi)；用FFT進(jìn)行頻譜計(jì)算有限時(shí)間序列的頻譜計(jì)算從0開(kāi)始的序列：直接對(duì)該序列進(jìn)行計(jì)算 (P.155 例4.4)不是從0開(kāi)始的序列：將該序列進(jìn)行周期性擴(kuò)展后，選取從0開(kāi)始的周期進(jìn)行計(jì)算% program 4.2N=4;T=0.5;D=2*pi/(N*T); %設(shè)置序列點(diǎn)數(shù)N，時(shí)域采樣周期T，頻域采樣周期Dx=2 -1 1 1; % 給出時(shí)間信號(hào)序列X=fftshift(fft(x,N); % 選取對(duì)稱(chēng)區(qū)間進(jìn)行FFT，得出離散頻率序列m=floor(-(N-1)/2):floor(N-1)/2); % 設(shè)置離散頻率坐標(biāo)向量w=-2*pi:0.01:2*pi; % 設(shè)置準(zhǔn)連續(xù)頻率坐標(biāo)范圍及分辨率X1=2-exp(-j*0.5*w)+exp(-j*w)+exp(-j*1.5*w); % 根據(jù)定義寫(xiě)出連續(xù)頻率函數(shù)subplot(1,2,1),plot(w,abs(X1),m*D,abs(X),'o:'),title('(a)'); %幅頻特性圖subplot(1,2,2),plot(w,angle(X1),m*D,angle(X),'o:'),title('(b)'); %相頻特性圖當(dāng)序列很短時(shí)，頻域采樣點(diǎn)太少，頻率分辨率低；提高頻率分辨率的手段：為時(shí)域序列補(bǔ)0，增加采樣點(diǎn)數(shù)N從0開(kāi)始的序列：在該序列之后補(bǔ)0可以通過(guò)直接改寫(xiě)程序中的N值實(shí)現(xiàn)，當(dāng)N大于x序列長(zhǎng)度時(shí)，fft（x，N）自動(dòng)為x補(bǔ)0；直接對(duì)該序列進(jìn)行計(jì)算 (P.155 例4.4)不是從0開(kāi)始的序列：將該序列進(jìn)行尾端補(bǔ)0后，再進(jìn)行周期性擴(kuò)展，然后選取從0開(kāi)始的周期進(jìn)行計(jì)算；（P.158 例4.5） 若只是計(jì)算幅頻特性，也可以將序列起點(diǎn)直接移到0點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算（時(shí)移不影響幅頻特性）；無(wú)限時(shí)間序列的頻譜計(jì)算無(wú)限序列通常不存在分辨率問(wèn)題，但必須進(jìn)行截?cái)嗖拍苡?jì)算；截?cái)啾厝粚?dǎo)致誤差，計(jì)算時(shí)需要考慮計(jì)算精度問(wèn)題；方案：尋找最小的a，使得采用N=2a點(diǎn)序列和N/2點(diǎn)序列計(jì)算之差在指定誤差范圍（幅頻特性峰值的百分比）內(nèi)；要點(diǎn)：只對(duì)幅頻特性進(jìn)行比較；若時(shí)間序列為實(shí)序列，則幅頻特性為偶函數(shù)，只對(duì)正區(qū)間比較；兩序列頻譜采樣點(diǎn)密度不同，只能在公共的采樣點(diǎn)上進(jìn)行比較；例 P.161 Program4.4 要點(diǎn)：兩序列比較時(shí)，長(zhǎng)序列密度比短序列大，因此長(zhǎng)序列隔位與短序列逐位比較；% program 4.4T=0.5;a=1;b=100;beta=1;while b>beta N1=2a; n1=0:N1-1; x1=0.9.n1;X1=fft(x1); N2=2*N1; n2=0:N2-1; x2=0.9.n2;X2=fft(x2); m1p=0:N1/2; d=max(abs(abs(X1(m1p+1)-abs(X2(2*m1p+1); mm=max(abs(X1(m1p+1); b=d/mm*100;a=a+1;endN2,b連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻譜計(jì)算當(dāng)連續(xù)時(shí)間信號(hào)不能表達(dá)為閉合形式時(shí)，只能采用數(shù)值計(jì)算；連續(xù)信號(hào)的計(jì)算必須先在長(zhǎng)度為L(zhǎng)的區(qū)間內(nèi)經(jīng)時(shí)間采樣（周期T）成為N點(diǎn)序列，才能進(jìn)行計(jì)算；本節(jié)只考慮絕對(duì)可積的連續(xù)時(shí)間信號(hào)；正區(qū)間信號(hào) （t<0時(shí)，x=0） 選擇信號(hào)區(qū)間0，L：L=TN需考慮的問(wèn)題： 頻率混疊-T 盡可能小 頻率分辨率-N 盡可能大截?cái)嘈?yīng)-L 盡可能大 計(jì)算量-N 盡可能小建議步驟：首先選擇L使其包含x明顯不為0的主要區(qū)域；然后尋找最小的a，使得采用N=2a點(diǎn)序列和N/2點(diǎn)序列計(jì)算之差在指定誤差范圍（幅頻特性峰值的百分比）內(nèi)，由此確定使頻率混疊可以忽略的采樣周期T；利用已確定的T，尋找最小的a，使得采用N=2a點(diǎn)序列和N/2點(diǎn)序列計(jì)算之差在指定誤差范圍（幅頻特性峰值的百分比）內(nèi)，由此確定使截?cái)嘈?yīng)可以忽略的信號(hào)區(qū)間L；采用上述方式，可以使幅頻特性、頻譜實(shí)部及虛部均收斂于實(shí)際頻譜，只有相頻特性不收斂；例 P.165170連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)的頻譜計(jì)算對(duì)于周期信號(hào)，由于無(wú)限長(zhǎng)而且不滿(mǎn)足絕對(duì)可積條件，將其截?cái)鄷r(shí)必然產(chǎn)生嚴(yán)重的截?cái)嘈?yīng)（頻率漏泄）；周期信號(hào)在頻譜中對(duì)應(yīng)于沖激，其特點(diǎn)為：當(dāng)N加倍時(shí)，沖激高度加倍，寬度變窄；由此效應(yīng)可判斷頻譜中是否存在周期信號(hào)。對(duì)周期信號(hào)應(yīng)采用CTFS進(jìn)行計(jì)算：在一個(gè)周期內(nèi)計(jì)算頻譜。計(jì)算可以得出精確的幅頻特性，但通常不能得到準(zhǔn)確的相位（相位與延時(shí)有關(guān)）。由頻譜計(jì)算離散時(shí)間信號(hào) （反變換）對(duì)反變換進(jìn)行數(shù)值計(jì)算時(shí)，同樣可以利用FFT函數(shù)進(jìn)行；對(duì)于存在于對(duì)稱(chēng)區(qū)間內(nèi)的頻譜，計(jì)算開(kāi)始前必須按周期擴(kuò)展方式，選取以0為起點(diǎn)的周期中的序列；對(duì)頻譜采樣點(diǎn)N的選取應(yīng)確保消除時(shí)域混疊效應(yīng)，其判據(jù)為：所得時(shí)域信號(hào)有一段區(qū)域全為0；由于DFT是由時(shí)域信號(hào)經(jīng)過(guò)周期擴(kuò)展后，任選一個(gè)周期計(jì)算所得，因而一次反變換通常無(wú)法確定時(shí)域信號(hào)的原始起點(diǎn)；采用不同的N進(jìn)行多次反變換，對(duì)比其公共序列，可以確定出原始時(shí)間序列的起點(diǎn)：不同的N對(duì)應(yīng)于不同的補(bǔ)0序列，這些序列由于周期長(zhǎng)度不同除了在原周期內(nèi)一致外，在其他地方通常會(huì)有差異；例：P.175178 圖 4.21 4.22 4.23若某頻譜所對(duì)應(yīng)的時(shí)間序列為正區(qū)間信號(hào)，并且頻率采樣點(diǎn)N大于從n=0開(kāi)始的時(shí)間序列長(zhǎng)度，則由inverse FFT計(jì)算出的序列就是原始序列。由頻譜計(jì)算連續(xù)時(shí)間信號(hào) （反變換）首先對(duì)無(wú)限的頻譜進(jìn)行截?cái)啵哼x擇T使得 然后對(duì)連續(xù)頻譜采樣離散化：在有限區(qū)間內(nèi)選取N個(gè)頻率采樣點(diǎn)；采用inverse FFT計(jì)算得到時(shí)間序列： 連續(xù)時(shí)間信號(hào)與時(shí)間序列的關(guān)系為： 例 P.180182 采用FFT計(jì)算信號(hào)能量對(duì)于連續(xù)信號(hào)，其總能量為將有限區(qū)域內(nèi)將時(shí)間信號(hào)離散化，得到： 利用FFT可以得出離散時(shí)間序列的離散頻譜，則其能量也可以表示為：例 P.183184 求矩形窗頻譜主瓣的能量百分比；頻譜計(jì)算總結(jié)：在信號(hào)分析時(shí)，考慮信號(hào)分布于全部時(shí)間區(qū)域有利于頻域分析的簡(jiǎn)化；但在進(jìn)行FFT計(jì)算時(shí)，正區(qū)間信號(hào)比較簡(jiǎn)便；對(duì)于連續(xù)信號(hào)，信號(hào)出現(xiàn)的時(shí)間可以選為t=0，因此所有實(shí)際信號(hào)都可以看作為正區(qū)間信號(hào)；利用fft和shift函數(shù)進(jìn)行正變換，可以直接得到區(qū)間的頻譜；將對(duì)稱(chēng)區(qū)間的頻譜變換到區(qū)間，利用ifft函數(shù)可以得到原始的時(shí)間序列（選擇N使得得到的非零序列的最后若干位實(shí)際上全為0）；第5章 線(xiàn)性時(shí)不變集總系統(tǒng)系統(tǒng)：信號(hào)之間的關(guān)系 輸入信號(hào)系統(tǒng)處理-輸出信號(hào)確定的輸入只產(chǎn)生唯一確定的輸出 連續(xù)系統(tǒng)離散系統(tǒng)線(xiàn)性系統(tǒng)可加性 比例性 時(shí)不變系統(tǒng) 時(shí)移不變性 對(duì)于時(shí)不變系統(tǒng)，可以將輸入信號(hào)開(kāi)始出現(xiàn)的時(shí)間設(shè)置為0；初始松弛條件 系統(tǒng)初始狀態(tài)為0；在系統(tǒng)分析中，通常只考慮正時(shí)間區(qū)間 ；線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)-LTI系統(tǒng) LTI系統(tǒng)的卷積描述沖激序列 只在一個(gè)時(shí)刻取值為1，在其他任何時(shí)刻取值為0；任意信號(hào)序列可以用沖激序列表示：沖激響應(yīng) 離散卷積 由系統(tǒng)沖激響應(yīng)可以得出系統(tǒng)的全部特性，設(shè)計(jì)系統(tǒng)就是設(shè)計(jì)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)；例5.1 由系統(tǒng)特定輸入輸出求，進(jìn)而得出的一般形式； 例5.2 由求系統(tǒng)的差分方程（移動(dòng)平均濾波器）；因果性 輸出信號(hào)產(chǎn)生于輸入信號(hào)之后；物理系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)的必要條件；對(duì)于因果系統(tǒng)，卷積具有交換性。系統(tǒng)的表達(dá)：沖激響應(yīng)-序列FIR濾波器 有限沖激響應(yīng) 長(zhǎng)度N為有限 例如：移動(dòng)平均系統(tǒng) 無(wú)記憶系統(tǒng)（乘法器）IIR濾波器 無(wú)限沖激響應(yīng)LTI系統(tǒng)的差分方程描述在卷積描述中，隨著n的增加，的計(jì)算量增加；利用差分方程，可以有效減少計(jì)算量和存儲(chǔ)量；例5.1 儲(chǔ)蓄系統(tǒng) 系統(tǒng)流程圖 （系統(tǒng)硬件實(shí)現(xiàn)的一種具體方式）只由3種基本單元組成 單位延遲 乘法器 加法器 （P.201 圖5.3）差分方程與系統(tǒng)流程圖很容易相互表達(dá)；集總系統(tǒng)：可以用有限個(gè)延遲器實(shí)現(xiàn)；任何LTI系統(tǒng)都可用卷積描述，只有集總系統(tǒng)可以采用差分方程描述；差分方程的一般形式： （后向差分）系統(tǒng)的表達(dá)：序列a 序列b遞歸方程當(dāng)前輸出與以前的輸出有關(guān)：系統(tǒng)中存在反饋；與IIR系統(tǒng)對(duì)應(yīng)；非遞歸方程：除了外，所有都等于0；當(dāng)前輸出與以前的輸出無(wú)關(guān)：系統(tǒng)中不存在反饋；與FIR系統(tǒng)對(duì)應(yīng)；與沖激響應(yīng)的關(guān)系： 系數(shù)序列即為沖激響應(yīng)序列 （序列b與序列h對(duì)應(yīng)）；FIR系統(tǒng)也能表達(dá)為遞歸方程以減少運(yùn)算量：例 5.3采樣周期與實(shí)時(shí)處理過(guò)程在實(shí)時(shí)處理過(guò)程中，采樣周期受運(yùn)算周期限制，不能過(guò)??；在非實(shí)時(shí)處理（存儲(chǔ)處理）時(shí)，可以不受運(yùn)算周期和因果性的限制；z-變換 系統(tǒng)表達(dá)的重要工具定義：對(duì)于正區(qū)間信號(hào) ，其z-變換定義為例5.4 z-變換的計(jì)算：直接利用定義式和求和公式； 反z-變換：長(zhǎng)除法，對(duì)z進(jìn)行降序排列；收斂域問(wèn)題：保障求和有限的z的可能取值區(qū)間；ROC 簡(jiǎn)單信號(hào)的z-變換：只考慮正區(qū)間，n從0開(kāi)始 單位延遲時(shí)移性質(zhì)若，則反z-變換的計(jì)算方法長(zhǎng)除法將表示為有理分式，直接用分子除以分母；要點(diǎn)：分子和分母都必須以的降序形式部分分式展開(kāi)及查表法將表示的有理分式分解為一階分式及二階分式之和，再利用基本變換對(duì)進(jìn)行變換；要點(diǎn)：將分母進(jìn)行因式分解； 基本變換對(duì)：FFT計(jì)算方法選取常數(shù)c大于的最大極點(diǎn)的幅度（確保反變換后得到正區(qū)間信號(hào)）；取，對(duì)應(yīng)為頻譜函數(shù)；利用FFT進(jìn)行反DTFT計(jì)算，選取足夠大的采樣點(diǎn)N，可以得到反z-變換序列；例5.1 P.214轉(zhuǎn)移函數(shù)（系統(tǒng)函數(shù)）進(jìn)行z-變換： 系統(tǒng)函數(shù) 系統(tǒng)采用系統(tǒng)函數(shù)的描述：可以看作沖激響應(yīng)序列的z-變換；可以看作差分方程序列b與序列a的分式：利用系統(tǒng)函數(shù)，能夠方便地進(jìn)行各種表達(dá)方式的轉(zhuǎn)換；例5.5（ P.217）由差分方程得到系統(tǒng)函數(shù)對(duì)于因果的LTI集總系統(tǒng)， 為真分式，的階數(shù)就代表了系統(tǒng)的階數(shù)；系統(tǒng)函數(shù)的MATLAB表達(dá)：采用序列a和b表達(dá)（長(zhǎng)度相同）系統(tǒng)的零點(diǎn)和極點(diǎn)的計(jì)算零點(diǎn)與極點(diǎn)的定義MATLAB函數(shù)： zplane（b，a） z，p，k=tf2zp（b，a）零點(diǎn)和極點(diǎn)的作用極點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)影響更大例：P.221 圖5.6與系統(tǒng)函數(shù)有關(guān)的其他MATLAB函數(shù)dimpulse (bp,ap,N) 系統(tǒng)沖激響應(yīng)：N點(diǎn)序列dstep (bp,ap,N) 系統(tǒng)階躍響應(yīng)：N點(diǎn)序列r,p,k=residuez (bn,an) 系統(tǒng)函數(shù)分解及沖激響應(yīng)表達(dá)式例：P.221-222 圖5.7FIR和IIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)FIR濾波器只在原點(diǎn)存在極點(diǎn)；IIR濾波器在原點(diǎn)以外存在極點(diǎn)；離散時(shí)間付氏變換與z-變換的關(guān)系DTFT不適合用于正區(qū)間信號(hào)分析，因而不適合用于系統(tǒng)分析；系統(tǒng)穩(wěn)定性BIBO 對(duì)于有界輸入，輸出必須有界；-穩(wěn)定系統(tǒng) 系統(tǒng)沖激響應(yīng)絕對(duì)可和；系統(tǒng)所有極點(diǎn)均位于單位圓內(nèi)；MATLAB函數(shù)： roots（bn） 計(jì)算出系統(tǒng)函數(shù)所有極點(diǎn)；系統(tǒng)頻率響應(yīng)及其計(jì)算對(duì)比z-變換和DTFT的定義式 可以得出 此關(guān)系式對(duì)于穩(wěn)定的離散因果系統(tǒng)和絕對(duì)可和的輸入成立；由以上關(guān)系可得： 系統(tǒng)頻率響應(yīng) 信號(hào)頻譜單位圓上的系統(tǒng)函數(shù)就是系統(tǒng)的頻率響應(yīng)；MATLAB函數(shù)： h，w=freqz (bn,an,n) 給出區(qū)間上n點(diǎn)等分的頻率響應(yīng)；（沒(méi)有n時(shí)，自動(dòng)給出512點(diǎn)）；可以用w為頻率坐標(biāo)，h為函數(shù)，利用plot函數(shù)畫(huà)出頻率響應(yīng)曲線(xiàn)；系統(tǒng)一般響應(yīng)的計(jì)算MATLAB函數(shù)：y=dlsim (bp,ap,x)y=filter (bn,an,x)對(duì)指定系統(tǒng)和輸入序列x，給出輸出序列y（長(zhǎng)度與x相同）；例5.8 ( P.231 ) 例5.9 ( P.233 ) 穩(wěn)態(tài)響應(yīng)與暫態(tài)響應(yīng)由穩(wěn)定輸入信號(hào)（如階躍信號(hào)、正弦信號(hào)）產(chǎn)生的響應(yīng)為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，響應(yīng)函數(shù)形式與輸入函數(shù)形式基本一致；由系統(tǒng)極點(diǎn)產(chǎn)生的響應(yīng)為暫態(tài)響應(yīng)，響應(yīng)呈現(xiàn)指數(shù)衰減形式；暫態(tài)響應(yīng)持續(xù)時(shí)間（>1%最大值）的計(jì)算： 為系統(tǒng)的最大極點(diǎn)，為序列長(zhǎng)度；有限時(shí)間后，可以認(rèn)為系統(tǒng)響應(yīng)進(jìn)入穩(wěn)態(tài)；在進(jìn)行系統(tǒng)分析時(shí)，通?？梢圆豢紤]暫態(tài)響應(yīng)。連續(xù)時(shí)間LTIL系統(tǒng)沖激響應(yīng)： 卷積形式： 微分方程形式：Laplace變換： 基本變換對(duì) P.241 表5.4重要性質(zhì)Laplace變換與z-變換的關(guān)系系統(tǒng)函數(shù)對(duì)于穩(wěn)定因果系統(tǒng)，所有極點(diǎn)位于左半平面；穩(wěn)定性： 頻率響應(yīng)： 對(duì)于穩(wěn)定系統(tǒng)成立穩(wěn)態(tài)響應(yīng)與暫態(tài)響應(yīng)時(shí)間常數(shù)= （極點(diǎn)實(shí)部絕對(duì)值的倒數(shù)）MAX系統(tǒng)響應(yīng)與極點(diǎn)位置的關(guān)系P.244 圖5.12連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)頻率響應(yīng)的計(jì)算與測(cè)量MATLAB函數(shù)b=b(1) b(2) b(M+1) ; a=a(1) a(2)a(N+1);H,w=freqs(b,a) 已知系統(tǒng)函數(shù)時(shí)，在區(qū)間內(nèi)自動(dòng)選擇200個(gè)頻率點(diǎn)計(jì)算頻率響應(yīng)；不知道系統(tǒng)函數(shù)時(shí)，只能通過(guò)測(cè)量得到頻率響應(yīng)，再求得系統(tǒng)函數(shù)；測(cè)量方案：1 使用標(biāo)準(zhǔn)正弦信號(hào)實(shí)行掃頻測(cè)量，采用頻譜分析儀或網(wǎng)絡(luò)分析儀進(jìn)行測(cè)量并直接得出系統(tǒng)函數(shù)；2 加入沖激信號(hào)，采用FFT由輸出響應(yīng)計(jì)算輸出頻譜；輸出頻譜直接對(duì)應(yīng)于系統(tǒng)頻率響應(yīng)；第6章 數(shù)字濾波器理想濾波器與實(shí)際濾波器濾波器基本概念 系統(tǒng)的作用：將輸入頻譜改變?yōu)檩敵鲱l譜濾波：對(duì)于幅頻特性的改變 頻譜變形 頻率選擇能物理實(shí)現(xiàn)的濾波器的系數(shù)必定為實(shí)數(shù)，其幅頻響應(yīng)為偶，相頻響應(yīng)為奇；所以濾波器頻率響應(yīng)只需要在正頻率區(qū)間內(nèi)表達(dá)；名詞：通帶 阻帶 截止頻率 帶寬 低通 高通 帶通 帶阻 理想低通數(shù)字濾波器頻率響應(yīng) P.254 圖6.1理想低通；通帶內(nèi)：幅度為1， 線(xiàn)性相位（與時(shí)移對(duì)應(yīng)）；阻帶內(nèi)：幅度為0；沒(méi)有過(guò)渡帶；只容許低頻信號(hào)通過(guò)；通帶內(nèi)的信號(hào)通過(guò)時(shí)只發(fā)生延遲，不發(fā)生信號(hào)畸變；濾波器的實(shí)現(xiàn)物理實(shí)現(xiàn)的必要條件因果系統(tǒng)：對(duì)于理想低通濾波器 理想低通濾波器為非因果系統(tǒng)，不能實(shí)現(xiàn)；只考慮幅頻特性時(shí)的逼近處理：1 采用長(zhǎng)延時(shí)，則在負(fù)時(shí)間區(qū)域內(nèi)，可以足夠接近于0；代價(jià)為系統(tǒng)延時(shí)增加；（圖6.4）2 采用截止頻率為的高階Butterworth濾波器；（圖6.5）實(shí)際濾波器參數(shù) （圖6.6）通帶波動(dòng) 阻帶波動(dòng) 過(guò)渡帶 通帶截止頻率 阻帶截止頻率群延遲范圍 MATLAB函數(shù)： gd,w=grpdelay (b,a,256) 對(duì)采用b，a向量描述的系統(tǒng)，在區(qū)間等分256點(diǎn)給出群延遲和對(duì)應(yīng)頻率； 容許范圍越小，濾波器結(jié)構(gòu)越復(fù)雜；對(duì)于FIR濾波器，總是具有線(xiàn)性相位，設(shè)計(jì)目標(biāo)為滿(mǎn)足指定的幅頻特性；對(duì)于IIR濾波器，在設(shè)計(jì)時(shí)只能考慮滿(mǎn)足指定的幅頻特性，然后另行設(shè)計(jì)一個(gè)全通濾波器來(lái)改善其相頻特性；設(shè)計(jì)目標(biāo)：最簡(jiǎn)單的數(shù)字因果濾波器，滿(mǎn)足指定的幅頻特性系統(tǒng)函數(shù)為有理真分式，階數(shù)最小，系統(tǒng)穩(wěn)定；模擬濾波器基本概念P.260 圖6.8MATLAB函數(shù) H,w=freqz(bn,an) 對(duì)采用bn，an向量描述的系統(tǒng)，在區(qū)間等分512點(diǎn)給出頻率響應(yīng)和對(duì)應(yīng)頻率點(diǎn)； 一階數(shù)字濾波器單極點(diǎn)，無(wú)零點(diǎn)系統(tǒng)函數(shù) 系統(tǒng)頻率響應(yīng)(圖6.9 P. 262)討論：極點(diǎn)位置對(duì)于頻率響應(yīng)的影響a=0 全通，線(xiàn)性相位 全通濾波器（單位延遲元件）a<0 高通 a>0 低通a絕對(duì)值越大，變化越大；單極點(diǎn)，單零點(diǎn)系統(tǒng)函數(shù) 系統(tǒng)頻率響應(yīng)(圖6.10 P. 263)討論：零點(diǎn)位置對(duì)于頻率響應(yīng)的影響b絕對(duì)值越大，頻率幅度越小；（作用與極點(diǎn)相反）設(shè)計(jì)濾波器時(shí)，零點(diǎn)應(yīng)盡可能遠(yuǎn)離極點(diǎn)；低通濾波設(shè)計(jì)方案：帶寬確定，通帶截止頻率為 ： 通帶寬度（3-db帶寬） db：即： 結(jié)論： 帶寬等于極點(diǎn)到單位圓的距離例6.1 低通濾波 對(duì)連續(xù)時(shí)間信號(hào)的處理離散化：根據(jù)采樣定理選擇采樣周期T，避免頻率混疊； 頻率范圍： 歸一化：對(duì)頻率乘以T； 頻率范圍： 根據(jù)所需頻率選擇帶寬，確定極點(diǎn)值a；根據(jù)歸一化條件得出系統(tǒng)函數(shù) 利用MATLAB程序畫(huà)出輸入/輸出信號(hào)：6.2 (P.267) 圖6.13高通濾波設(shè)計(jì)方案 例6.2 高通濾波 對(duì)連續(xù)時(shí)間信號(hào)的處理步驟與例6.1相同 結(jié)果： 圖6.15數(shù)字高通濾波器的問(wèn)題 由于采樣的限制，會(huì)引入對(duì)信號(hào)的低頻調(diào)制；這種調(diào)制效應(yīng)難以消除；二階數(shù)字濾波器雙極點(diǎn)，雙零點(diǎn)系統(tǒng)函數(shù)頻率響應(yīng)(P.270 圖6.16)特點(diǎn)：頻譜幅度隨極點(diǎn)到單位圓距離增大而減小，隨零點(diǎn)到單位圓距離增大而增大；極點(diǎn)靠近單位圓：出現(xiàn)幅頻峰值；零點(diǎn)靠近單位圓：出現(xiàn)幅頻谷值；適當(dāng)排布零點(diǎn)和極點(diǎn)的位置，可以得出不同的幅頻特性；低通濾波器 高通濾波器 帶通濾波器 數(shù)字諧振器 圖6.17例6.3 數(shù)字諧振器 連續(xù)信號(hào)的帶通濾波根據(jù)采樣定理選取采樣周期T；進(jìn)行頻率范圍的歸一化；確定帶寬范圍：上下截止頻率 ；利用標(biāo)準(zhǔn)公式求出歸一化常數(shù)：結(jié)果：P.273 圖6.18結(jié)果顯然優(yōu)于例6.2的數(shù)字高通濾波器；阻塞濾波器零點(diǎn)位于，極點(diǎn)靠近零點(diǎn) 圖6.19例6.4 阻塞濾波器 濾除60Hz信號(hào)選取采樣周期T，得出歸一化頻率；帶入公式進(jìn)行設(shè)計(jì)；結(jié)果：圖6.20零點(diǎn)對(duì)濾波器特性的影響極點(diǎn)只能位于單位圓內(nèi)，但零點(diǎn)可以位于單位圓內(nèi)外的任意地方；零點(diǎn)與互為倒數(shù)根；它們分別位于單位圓內(nèi)外的對(duì)稱(chēng)位置；在采用系統(tǒng)函數(shù)分析頻率特性時(shí)，將任何零點(diǎn)用其倒數(shù)根替代，其幅頻特性不受影響；因此，設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器時(shí)，總可以假定所有零點(diǎn)都位于單位圓內(nèi)；將零點(diǎn)用其倒數(shù)根替代會(huì)改變系統(tǒng)的相頻特性；單位圓內(nèi)的零點(diǎn)稱(chēng)為最小相位零點(diǎn)；若系統(tǒng)函數(shù)的零點(diǎn)全在單位圓內(nèi)，稱(chēng)為最小相位系統(tǒng)函數(shù)；全通濾波器當(dāng)所有極點(diǎn)與零點(diǎn)互為倒數(shù)根時(shí)，幅頻特性恒定為1；所有零點(diǎn)均位于單位圓外，相頻特性變化大；用于延遲單元或相位均衡器：提供延遲，改變系統(tǒng)相頻特性；梳狀濾波器阻塞濾波器的擴(kuò)展：具有等距阻塞點(diǎn)的濾波器；圖6.24正弦發(fā)生器在單位圓上有一個(gè)單極點(diǎn)：臨界穩(wěn)定，保持暫態(tài)； 第七章 FIR濾波器設(shè)計(jì)FIR濾波器基本特點(diǎn)沖激響應(yīng)長(zhǎng)度有限： 設(shè) ： ， ；N階FIR濾波器，長(zhǎng)度為N+1系統(tǒng)函數(shù) N個(gè)極點(diǎn)都位于原點(diǎn)，N個(gè)零點(diǎn)；頻率響應(yīng)計(jì)算MATLAB函數(shù) H,w=freqz (h,1) 給出區(qū)間上512個(gè)頻率點(diǎn)的頻率響應(yīng)設(shè)計(jì)目標(biāo)：求解有限沖激響應(yīng)，使其盡可能逼近要求的頻率響應(yīng)線(xiàn)性相位濾波器；圖7.1 P.295 對(duì)低通濾波器的設(shè)計(jì)要求設(shè)計(jì)思想對(duì)于絕大多數(shù)系統(tǒng)，希望實(shí)現(xiàn)的頻率響應(yīng)在區(qū)間具有奇偶對(duì)稱(chēng)性；這種對(duì)稱(chēng)性反映到實(shí)沖激響應(yīng)上，也可以使沖激響應(yīng)表達(dá)為偶序列或奇序列；對(duì)于穩(wěn)定的系統(tǒng)，當(dāng)N足夠大時(shí)，總有，因此可以將無(wú)限沖激響應(yīng)截?cái)酁橹缓琋項(xiàng)的有限沖激響應(yīng)，使得后者頻率響應(yīng)逼近于前者；若截?cái)鄥^(qū)間為對(duì)稱(chēng)，則得到的有限沖激響應(yīng)具有奇偶對(duì)稱(chēng)性，其頻率響應(yīng)可以表現(xiàn)為實(shí)函數(shù)；例：設(shè)無(wú)限沖激響應(yīng)序列為實(shí)偶序列；其頻率響應(yīng)可表示為