2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第2章 推理與證明 2.2 直接證明與間接證明 2.2.1 直接證明講義（含解析）蘇教版選修2-2.doc

2.2.1直 接 證 明對應(yīng)學(xué)生用書P261若實數(shù)a，b滿足ab3，證明：2a2b4.證明：因為2a2b22，又ab3，所以2a2b24.故2a2b4成立問題1：本題利用什么公式？提示：基本不等式問題2：本題證明順序是什么？提示：從已知到結(jié)論2求證：2<2. 證明：要證明2<2，由于2>0,2>0，只需證明(2)2<(2)2，展開得114<114，只需證明6<7，顯然6<7成立所以2<2成立問題1：本題證明從哪里開始？提示：從結(jié)論開始問題2：證題思路是什么？提示：尋求上一步成立的充分條件1直接證明(1)直接從原命題的條件逐步推得命題成立，這種證明通常稱為直接證明(2)直接證明的一般形式本題結(jié)論2綜合法和分析法直接證明定義推證過程綜合法從已知條件出發(fā)，以已知的定義、公理、定理為依據(jù)，逐步下推，直到推出要證明的結(jié)論為止這種證明方法稱為綜合法分析法從問題的結(jié)論出發(fā)，追溯導(dǎo)致結(jié)論成立的條件，逐步上溯，直到使結(jié)論成立的條件和已知條件或已知事實吻合為止，這種證明方法稱為分析法1綜合法是從“已知”看“可知”逐步推向未知，由因?qū)Чㄟ^逐步推理尋找問題成立的必要條件它的證明格式為：因為，所以，所以所以成立2分析法證明問題時，是從“未知”看“需知”，執(zhí)果索因逐步靠攏“已知”，通過逐步探索，尋找問題成立的充分條件它的證明格式：要證，只需證，只需證因為成立，所以成立綜合法的應(yīng)用例1已知a，b，cR，且abc1，求證：a2b2c2.思路點撥從已知條件出發(fā)，結(jié)合基本不等式，即可得出結(jié)論精解詳析a2，b2，c2，abc(abc).a2b2c2.一點通綜合法證明問題的步驟第一步：分析條件，選擇方向仔細分析題目的已知條件(包括隱含條件)，分析已知與結(jié)論之間的聯(lián)系與區(qū)別，選擇相關(guān)的公理、定理、公式、結(jié)論，確定恰當(dāng)?shù)慕忸}思路第二步：轉(zhuǎn)化條件、組織過程，把題目的已知條件，轉(zhuǎn)化成解題所需要的語言，主要是文字、符號、圖形三種語言之間的轉(zhuǎn)化組織過程時要有嚴(yán)密的邏輯，簡潔的語言，清晰的思路第三步：適當(dāng)調(diào)整，回顧反思解題后回顧解題過程，可對部分步驟進行調(diào)整，有些語言可做適當(dāng)?shù)男揎?，反思總結(jié)解題方法的選取1設(shè)a，b，c為不全相等的正數(shù)，且abc1，求證：>.證明：a>0，b>0，c>0，且abc1，bccaab.又bcca222，同理bcab2，caab2.a、b、c不全相等上述三個不等式中的“”不能同時成立2(bccaab)>2()，即bccaab>，故>.2.(1)如圖，證明命題“a是平面內(nèi)的一條直線，b是外的一條直線(b不垂直于)，c是直線b在上的投影，若ab，則ac”為真；(2)寫出上述命題的逆命題，并判斷其真假(不需證明)解：(1)證明：法一：如圖，過直線b上任一點作平面的垂線n，設(shè)直線a，b，c，n的方向向量分別是a，b，c，n，則b，c，n共面根據(jù)平面向量基本定理，存在實數(shù)，使得cbn，則aca(bn)(ab)(an)，因為ab，所以ab0，又因為a，n，所以an0，故ac0，從而ac.法二：如圖，記cbA，P為直線b上異于點A的任意一點，過P作PO，垂足為O，則Oc.PO，a，直線POa.又ab，b平面PAO，PObP，a平面PAO.又c平面PAO，ac.(2)逆命題為：a 是平面內(nèi)的一條直線，b是外的一條直線(b不垂直于)，c是直線b在上的投影，若ac，則ab.逆命題為真命題分析法的應(yīng)用例2已知a>b>0，求證：<<.思路點撥本題條件較為簡單，結(jié)論比較復(fù)雜，我們可以從要證的結(jié)論入手，一步步探求結(jié)論成立的充分條件，即用分析法精解詳析要證明<<成立，只需證<ab2<成立，即證<()2<成立只需證<<成立只需證<1<成立，即證<2且>2，即<.a>b>0，<成立<<成立一點通在已知條件較為簡單，所要證的問題較為復(fù)雜，無從入手的情況下，我們可從結(jié)論入手逆推，執(zhí)果索因，找到結(jié)論成立的條件，注明必要的文字說明，再用綜合法寫出步驟3若P，Q，a0，求證：PQ.證明：要證PQ，主要證P2Q2，只要證2a722a72，即證a27aa27a12，即證012.因為012成立，所以PQ成立4已知a、b是正實數(shù)，求證： .證明：要證 ，只需證ab()即證(ab)()()，即證ab.也就是要證ab2.因為a，b為正實數(shù)，所以ab2成立，所以 .綜合法與分析法的綜合應(yīng)用例3已知0<a1,0<b1,0<c1，求證：1.思路點撥因為0<a1,0<b1,0<c1，所以要證明1成立，可轉(zhuǎn)化為證明1abbccaabcabc成立精解詳析a>0，b>0，c>0，要證1，只需證1abbccaabcabc，即證1abbcca(abcabc)0.1abbcca(abcabc)(1a)b(a1)c(a1)bc(1a)(1a)(1bcbc)(1a)(1b)(1c)，又a1，b1，c1，(1a)(1b)(1c)0，1abbcca(abcabc)0成立，即證明了1.一點通(1)較為復(fù)雜問題的證明如單純利用分析法和綜合法證明較困難，這時可考慮分析法、綜合法輪流使用以達到證題目的(2)綜合法和分析法的綜合應(yīng)用過程既可先用分析法再用綜合法，也可先用綜合法再用分析法，一般無具體要求，只要達到證題的目的即可5在ABC中，三個內(nèi)角A、B、C成等差數(shù)列求證：.證明：要證，只需證3，即1，只需證1，即1.下面證明：1.AC2B，ABC180，B60.b2a2c2ac.1.故原等式成立6若a，b，c是不全相等的正數(shù)求證：lglglg>lg alg blg c.證明：要證lglglg>lg alg blg c成立，即證lg>lg(abc)成立，只需證>abc成立，>0，>0，>0，abc>0，(*)又a，b，c是不全相等的正數(shù)，(*)式等號不成立，原不等式成立1綜合法是由因?qū)Ч襟E嚴(yán)謹，逐層遞進、步步為營，書寫表達過程是條理清晰、形式簡潔，宜于表達推理的思維軌跡、缺點是探路艱難，不易達到所要證明的結(jié)論2分析法是執(zhí)果索因，方向明確、利于思考，便于尋找解題思路缺點是思路逆行、敘述繁瑣、表述易出錯3在解決一個問題時，我們常常把綜合法和分析法結(jié)合起來使用根據(jù)條件的結(jié)構(gòu)特點去轉(zhuǎn)化結(jié)論，得到中間結(jié)論P1；根據(jù)原結(jié)論的特點去尋求使結(jié)論成立的條件，尋找到條件P2；當(dāng)由P1可以推出P2時，結(jié)論得證一、填空題1在ABC中，A>B是sin A>sin B的_條件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)解析：在ABC中，由正弦定理得.又A>B，a>b，sin A>sin B反之，若sin A>sin B，則a>b，A>BA>B是sin A>sin B的充要條件答案：充要2設(shè)nN，則_(判斷大小)解析：要證<，只需證<，只需證()2<()2，即2n52<2n52.只需證<，只需證(n1)(n4)<(n2)(n3)，即n25n4<n25n6，即4<6即可而4<6成立，故<.答案：<3如果ab>ab，則實數(shù)a，b應(yīng)滿足的條件是_解析：ab>abaa>bba()>b()(ab)()>0()()2>0，故只需ab且a，b都不小于零即可答案：a0，b0且ab4若三棱錐SABC中，SABC，SBAC，則S在底面ABC上的射影為ABC的_(填重心、垂心、內(nèi)心、外心之一)解析：如圖，設(shè)S在底面ABC上的射影為點O，SO平面ABC，連接AO，BO，SABC，SOBC，BC平面SAO，BCAO.同理可證，ACBO.O為ABC的垂心答案：垂心5已知函數(shù)f(x)10x，a0，b0，Af，Bf，Cf，則A，B，C的大小關(guān)系為_解析：由，又f(x)10x在R上是單調(diào)增函數(shù)，所以fff，即ABC.答案：ABC二、解答題6已知函數(shù)f(x)log2(x2)，a，b，c是兩兩不相等的正數(shù)，且a，b，c成等比數(shù)列，試判斷f(a)f(c)與2f(b)的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論解：f(a)f(c)2f(b)證明如下：因為a，b，c是兩兩不相等的正數(shù)，所以ac2.因為b2ac，所以ac2(ac)b24b，即ac2(ac)4b24b4，從而(a2)(c2)(b2)2.因為f(x)log2(x2)是增函數(shù)，所以log2(a2)(c2)log2(b2)2，即log2(a2)log2(c2)2log2(b2)故f(a)f(c)2f(b)7已知a>0，用分析法證明： >a2.證明：要證 a2，只需證 2a.因為a>0，故只需證22，即a24 4a222 2，從而只需證2 ，只需證42，即a22，而上述不等式顯然成立，故原不等式成立8(江蘇高考改編)設(shè)an是首項為a，公差為d的等差數(shù)列(d0)，Sn是其前n項的和記bn，nN*，其中 c為實數(shù)若c0，且b1，b2，b4成等比數(shù)列，證明：Snkn2Sk(k，nN*)證明：由c0，得bnad.又b1，b2，b4成等比數(shù)列，所以bb1b4，即2a，化簡得d22ad0.因為d0，所以d2a.因此，對于所有的mN*，有Smm2a.從而對于所有的k，nN*，有Snk(nk)2an2k2an2Sk.