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2019年高考數(shù)學(xué) 考點分析與突破性講練 專題18 等差數(shù)列 理.doc

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2019年高考數(shù)學(xué) 考點分析與突破性講練 專題18 等差數(shù)列 理.doc

專題18 等差數(shù)列一、 考綱要求:1.理解等差數(shù)列的概念.2.掌握等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式.3.能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等差關(guān)系,并能用等差數(shù)列的有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題.4.了解等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系二、概念掌握及解題上的注意點: 1.(解決等差數(shù)列運算問題的思想方法(1)方程思想:等差數(shù)列的基本量為首項a1和公差d,通常利用已知條件及通項公式或前n項和公式列方程(組)求解,等差數(shù)列中包含a1,d,n,an,Sn五個量,可“知三求二”.(2)整體思想:當(dāng)所給條件只有一個時,可將已知和所求都用a1,d表示,尋求兩者間的聯(lián)系,整體代換即可求解.(3)利用性質(zhì):運用等差數(shù)列性質(zhì)可以化繁為簡、優(yōu)化解題過程. 2. 等差數(shù)列的四種判斷方法(1)定義法:an1and(d是常數(shù))an是等差數(shù)列.可用來判定與證明.(2)等差中項法:2an1anan2(nN*)an是等差數(shù)列.可用來判定與證明.(3)通項公式:anpnq(p,q為常數(shù))an是等差數(shù)列.(4)前n項和公式:SnAn2Bn(A,B為常數(shù))an是等差數(shù)列.三、高考考題題例分析: 例1.(2018課標(biāo)卷I) 記Sn為等差數(shù)列an的前n項和若3S3=S2+S4,a1=2,則a5=()A12B10C10D12【答案】B【解析】:Sn為等差數(shù)列an的前n項和,3S3=S2+S4,a1=2,=a1+a1+d+4a1+d,把a1=2,代入得d=3a5=2+4(3)=10故選:B例2.(2018課標(biāo)卷II)記Sn為等差數(shù)列an的前n項和,已知a1=7,S3=15(1)求an的通項公式;(2)求Sn,并求Sn的最小值【答案】(1)an=2n9;(2)16例3.(2018北京卷)設(shè)an是等差數(shù)列,且a1=3,a2+a5=36,則an的通項公式為【答案】an=6n3【解析】:an是等差數(shù)列,且a1=3,a2+a5=36,解得a1=3,d=6,an=a1+(n1)d=3+(n1)6=6n3an的通項公式為an=6n3故答案為:an=6n3例4.(2018上海卷)記等差數(shù)列an的前n項和為Sn,若a3=0,a6+a7=14,則S7=【答案】14【解析】解:等差數(shù)列an的前n項和為Sn,a3=0,a6+a7=14,解得a1=4,d=2,S7=7a1+=28+42=14故答案為:14例5.(2017課標(biāo)I)記為等差數(shù)列的前項和若,則的公差為A1B2C4D8【答案】C例6.(2017浙江)已知等差數(shù)列an的公差為d,前n項和為Sn,則“d>0”是“S4 + S6>2S5”的A充分不必要條件B必要不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件【答案】C【解析】:由,可知當(dāng),則,即,反之,所以為充要條件,選C例7.(2016高考新課標(biāo)1)已知等差數(shù)列前9項的和為27,則()(A)100 (B)99 (C)98 (D)97【答案】C【解析】:由已知,所以故選C.例8.(2017天津)已知為等差數(shù)列,前n項和為,是首項為2的等比數(shù)列,且公比大于0,,,.()求和的通項公式;()求數(shù)列的前n項和.【答案】 (1).(2).【解析】:根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列通項公式及前項和公式列方程求出等差數(shù)列首項和公差及等比數(shù)列的公比,寫出等差數(shù)列和等比孰劣的通項公式,利用錯位相減法求出數(shù)列的和,要求計算要準(zhǔn)確.(II)解:設(shè)數(shù)列的前項和為,由,有,故,上述兩式相減,得 得.所以,數(shù)列的前項和為.例9.(2016高考新課標(biāo)II)為等差數(shù)列的前項和,且記,其中表示不超過的最大整數(shù),如()求;()求數(shù)列的前1 000項和【答案】(), ;()1893.試題解析:()設(shè)的公差為,據(jù)已知有,解得所以的通項公式為()因為所以數(shù)列的前項和為等差數(shù)列練習(xí)一、選擇題1等差數(shù)列an的前n項和為Sn,且S36,a30,則公差d等于 ()A1B1C2D2【答案】D【解析】:依題意得S33a26,即a22,故da3a22,故選D2在等差數(shù)列an中,若a24,a42,則a6等于 ()A1B0C1D6【答案】B【解析】:由等差數(shù)列的性質(zhì),得a62a4a22240,選B3已知數(shù)列an是等差數(shù)列,a1a78,a22,則數(shù)列an的公差d等于 ()A1B2C3D4【答案】C4已知等差數(shù)列an中,a111,a51,則an的前n項和Sn的最大值是 ()A15B20C26D30【答案】C【解析】:設(shè)數(shù)列an的公差為d,則d(a5a1)3,所以an113(n1)143n,令an143n0,解得n,所以Sn的最大值為S4411(3)26,故選C5.設(shè)等差數(shù)列an的前n項和為Sn,S1122,a412,若am30,則m ()A9B10C11D15【答案】B【解析】:設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,依題意解得ama1(m1)d7m4030,m10.6.張邱建算經(jīng)卷上第22題為:今有女善織,日益功疾(注:從第2天起每天比前一天多織相同量的布),第1天織5尺布,現(xiàn)在一月(按30天計),共織390尺布,則第2天織布的尺數(shù)為 ()ABCD【答案】A【解析】:由條件知該女子每天織布的尺數(shù)構(gòu)成一個等差數(shù)列an,且a15,S30390,設(shè)公差為d,則305d390,解得d,則a2a1d,故選A7.在數(shù)列an中,若a11,a2,(nN*),則該數(shù)列的通項為 ()AanBanCanDan【答案】A8.設(shè)Sn是等差數(shù)列an的前n項和,若a1a3a53,則S5 ()A5B7C9D11【答案】A【解析】:a1a3a53a33a31,S55a35.9.等差數(shù)列an中,a1a3a539,a5a7a927,則數(shù)列an的前9項的和S9等于()A66B99C144D297【答案】B 【解析】:根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)知a1a3a53a339,可得a313.由a5a7a93a727,可得a79,故S999,故選B10.設(shè)Sn是等差數(shù)列an的前n項和,若,則 ()A1B1C2D【答案】A【解析】:1. 11等差數(shù)列an中,a28,前6項的和S666,設(shè)bn,Tnb1b2bn,則Tn ()A1B1CD【答案】D12設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn,若為常數(shù),則稱數(shù)列an為“吉祥數(shù)列”已知等差數(shù)列bn的首項為1,公差不為0,若數(shù)列bn為“吉祥數(shù)列”,則數(shù)列bn的通項公式為()Abnn1Bbn2n1Cbnn1Dbn2n1【答案】B【解析】:設(shè)等差數(shù)列bn的公差為d(d0),k,因為b11,則nn(n1)dk,即2(n1)d4k2k(2n1)d,整理得(4k1)dn(2k1)(2d)0.因為對任意的正整數(shù)n上式均成立,所以(4k1)d0,(2k1)(2d)0,解得d2,k,所以數(shù)列bn的通項公式為bn2n1.二、填空題13在等差數(shù)列an中,公差d,前100項的和S10045,則a1a3a5a99_.【答案】1014九章算術(shù)是我國第一部數(shù)學(xué)專著,下面有源自其中的一個問題:“今有金箠(chu),長五尺,斬本一尺,重四斤,斬末一尺,重二斤,問金箠重幾何?”意思是:“現(xiàn)有一根金箠,長5尺,一頭粗,一頭細(xì),在粗的一端截下1尺,重4斤;在細(xì)的一端截下1尺,重2斤;問金箠重多少斤?”根據(jù)上面的已知條件,若金箠由粗到細(xì)的重量是均勻變化的,則答案是_【答案】15斤【解析】:由題意可知金箠由粗到細(xì)各尺的重量成等差數(shù)列,且a14,a52,則S515,故金箠重15斤15在等差數(shù)列an中,a17,公差為d,前n項和為Sn,當(dāng)且僅當(dāng)n8時Sn取得最大值,則d的取值范圍為_. 【答案】【解析】:由題意,當(dāng)且僅當(dāng)n8時Sn有最大值,可得即解得1d.16設(shè)等差數(shù)列an的前n項和為Sn,Sm12,Sm0,Sm13,則正整數(shù)m的值為_【答案】5【解析】:因為等差數(shù)列an的前n項和為Sn,Sm12,Sm0,Sm13,所以amSmSm12,am1Sm1Sm3,數(shù)列的公差d1,amam1Sm1Sm15,即2a12m15,所以a13m.由Sm(3m)m10,解得正整數(shù)m的值為5.三、解答題17在等差數(shù)列an中,a11,a33.(1)求數(shù)列an的通項公式;(2)若數(shù)列an的前k項和Sk35,求k的值【答案】(1)an1(n1)(2)32n;(2) k7.18.已知數(shù)列an中,a1,an2(n2,nN*),數(shù)列bn滿足bn(nN*)求證:數(shù)列bn是等差數(shù)列求數(shù)列an中的通項公式an.【解析】證明:因為an2(n2,nN*),bn.所以n2時,bnbn11.又b1,所以數(shù)列bn是以為首項,1為公差的等差數(shù)列由(1)知,bnn,則an11.19已知等差數(shù)列的前三項依次為a,4,3a,前n項和為Sn,且Sk110.(1)求a及k的值;(2)設(shè)數(shù)列bn的通項公式bn,證明:數(shù)列bn是等差數(shù)列,并求其前n項和Tn.【答案】(1) a2,k10. (2) Tn(2)證明:由(1)得Snn(n1),則bnn1,故bn1bn(n2)(n1)1,即數(shù)列bn是首項為2,公差為1的等差數(shù)列,所以Tn.20已知數(shù)列an的前n項和為Sn,a11,an0,anan1Sn1,其中為常數(shù). (1)證明:an2an;(2)是否存在,使得an為等差數(shù)列?并說明理由【解析】(1)證明:由題設(shè)知anan1Sn1,an1an2Sn11,兩式相減得an1(an2an)an1,由于an10,所以an2an.(2)由題設(shè)知a11,a1a2S11,可得a21.由(1)知,a31.令2a2a1a3,解得4.故an2an4,由此可得a2n1是首項為1,公差為4的等差數(shù)列,a2n14n3;a2n是首項為3,公差為4的等差數(shù)列,a2n4n1.所以an2n1,an1an2,因此存在4,使得數(shù)列an為等差數(shù)列21已知數(shù)列an的前n項和Sn滿足Sn(an1)2,且an>0.(1)求a1,a2;(2)求an的通項公式;(3)令bn20an,求數(shù)列bn的前n項和Tn的最大值【答案】1); 2); 3)n=10,為最大【解析】:1)由a1=S1a1=1,a2=S2-S1a2=3; 2)bn=21-2n,Tn最大bn0,bn+1<0 n=10,Tn=T10=100為最大。22.已知數(shù)列的前項和為,且,成等差數(shù)列(1)求數(shù)列的通項公式;(2)若數(shù)列滿足,求數(shù)列的前項和【答案】(1);(2)(2)由得,

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