新版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案訓(xùn)練課件： 第7章 立體幾何初步 第3節(jié) 空間圖形的基本關(guān)系與公理學(xué)案 文 北師大版

1 1第三節(jié)空間圖形的基本關(guān)系與公理考綱傳真1.理解空間直線、平面位置關(guān)系的定義.2.了解可以作為推理依據(jù)的公理和定理.3.能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間位置關(guān)系的簡單命題(對應(yīng)學(xué)生用書第98頁) 基礎(chǔ)知識填充1空間圖形的公理(1)公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點(diǎn)都在這個平面內(nèi)(即直線在平面內(nèi))(2)公理2：經(jīng)過不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個平面(即可以確定一個平面)(3)公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條通過這個點(diǎn)的公共直線(4)公理4：平行于同一條直線的兩條直線平行推論1：經(jīng)過一條直線和這條直線外一點(diǎn)，有且只有一個平面推論2：經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面推論3：經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面(5)等角定理空間中，如果兩個角的兩條邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補(bǔ)2空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系直線與直線直線與平面平面與平面平行關(guān)系圖形語言符號語言aba相交關(guān)系圖形語言符號語言abAaAl獨(dú)有關(guān)系圖形語言符號語言a，b是異面直線a3. 異面直線所成的角(1)定義：過空間任意一點(diǎn)P分別引兩條異面直線a，b的平行線l1，l2(al1，bl2)，這兩條相交直線所成的銳角(或直角)就是異面直線a，b所成的角(2)范圍：.知識拓展異面直線的判定定理經(jīng)過平面內(nèi)一點(diǎn)的直線與平面內(nèi)不經(jīng)過該點(diǎn)的直線互為異面直線基本能力自測1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯誤的打“×”)(1)兩個平面，有一個公共點(diǎn)A，就說，相交于過A點(diǎn)的任意一條直線()(2)兩兩相交的三條直線最多可以確定三個平面()(3)如果兩個平面有三個公共點(diǎn)，則這兩個平面重合()(4)若直線a不平行于平面，且a，則內(nèi)的所有直線與a異面()答案(1)×(2)(3)×(4)×2(教材改編)如圖7­3­1所示，在正方體ABCD­A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，則異面直線B1C與EF所成的角的大小為()圖7­3­1A30°B45°C60°D90°C連接B1D1，D1C，則B1D1EF，故D1B1C為所求的角，又B1D1B1CD1C，D1B1C60°.3在下列命題中，不是公理的是()A平行于同一個平面的兩個平面相互平行B過不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個平面C如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點(diǎn)都在此 平面內(nèi)D如果兩個不重合的平面有一個公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的 公共直線AA不是公理，是個常用的結(jié)論，需經(jīng)過推理論證；B，C，D是平面的基本性質(zhì)公理4(20xx·山東高考)已知直線a，b分別在兩個不同的平面，內(nèi)，則“直線a和直線b相交”是“平面和平面相交”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件A由題意知a，b，若a，b相交，則a，b有公共點(diǎn)，從而，有公共點(diǎn)，可得出，相交；反之，若，相交，則a，b的位置關(guān)系可能為平行、相交或異面因此“直線a和直線b相交”是“平面和平面相交”的充分不必要條件故選A5若直線ab，且直線a平面，則直線b與平面的位置關(guān)系是_b與相交或b或b(對應(yīng)學(xué)生用書第99頁)空間圖形的公理及應(yīng)用(1)以下命題中，正確命題的個數(shù)是()不共面的四點(diǎn)中，其中任意三點(diǎn)不共線；若點(diǎn)A，B，C，D共面，點(diǎn)A，B，C，E共面，則A，B，C，D，E共面；若直線a，b共面，直線a，c共面，則直線b，c共面；依次首尾相接的四條線段必共面A0B1C2D3(2)如圖7­3­2，正方體ABCD­A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB和AA1的中點(diǎn)求證：圖7­3­2E，C，D1，F(xiàn)四點(diǎn)共面；CE，D1F，DA三線共點(diǎn)B(1)中若有三點(diǎn)共線，則四點(diǎn)共面，不合題意，故正確；中若點(diǎn)A，B，C在同一條直線上，則A，B，C，D，E不一定共面，故錯誤；中，直線b，c可能是異面直線，故錯誤；中，當(dāng)四條線段構(gòu)成空間四邊形時(shí)，四條線段不共面，故錯誤(2)如圖，連接EF，CD1，A1BE，F(xiàn)分別是AB，AA1的中點(diǎn)，EFBA1.又A1BD1C，EFCD1，E，C，D1，F(xiàn)四點(diǎn)共面EFCD1，EF<CD1，CE與D1F必相交，設(shè)交點(diǎn)為P，則由P直線CE，CE平面ABCD，得P平面ABCD同理P平面ADD1A1.又平面ABCD平面ADD1A1DA，P直線DA，CE，D1F，DA三線共點(diǎn)規(guī)律方法1.證明線共面或點(diǎn)共面的常用方法：(1)直接法：證明直線平行或相交，從而證明線共面(2)納入平面法：先確定一個平面，再證明有關(guān)點(diǎn)、線在此平面內(nèi)(3)輔助平面法：先證明有關(guān)的點(diǎn)、線確定平面，再證明其余元素確定平面，最后證明平面，重合2證明點(diǎn)共線問題的常用方法：(1)基本性質(zhì)法：一般轉(zhuǎn)化為證明這些點(diǎn)是某兩個平面的公共點(diǎn)，再根據(jù)基本性質(zhì)3證明這些點(diǎn)都在這兩個平面的交線上(2)納入直線法：選擇其中兩點(diǎn)確定一條直線，然后證明其余點(diǎn)也在該直線上變式訓(xùn)練1(1)(20xx·上饒模擬)如圖7­3­3所示，在四面體ABCD中作截面PQR，若PQ與CB的延長線交于點(diǎn)M，RQ與DB的延長線交于點(diǎn)N，RP與DC的延長線交于點(diǎn)K.給出以下命題：圖7­3­3直線MN平面PQR；點(diǎn)K在直線MN上；M，N，K，A四點(diǎn)共面其中正確結(jié)論的序號為_ 【導(dǎo)學(xué)號：00090240】由題意知，MPQ，NRQ，KRP，從而點(diǎn)M，N，K平面PQR.所以直線MN平面PQR，故正確同理可得點(diǎn)M，N，K平面BCD從而點(diǎn)M，N，K在平面PQR與平面BCD的交線上，即點(diǎn)K在直線MN上，故正確因?yàn)锳直線MN，從而點(diǎn)M，N，K，A四點(diǎn)共面，故正確(2)如圖7­3­4所示，四邊形ABEF和ABCD都是梯形，BC綊AD，BE綊FA，G，H分別為FA，F(xiàn)D的中點(diǎn)證明：四邊形BCHG是平行四邊形；C，D，F(xiàn)，E四點(diǎn)是否共面？為什么？圖7­3­4解(1)證明：由已知FGGA，F(xiàn)HHD，得GH綊AD又BC綊AD，GH綊BC，四邊形BCHG是平行四邊形(2)C，D，F(xiàn)，E四點(diǎn)共面，理由如下：由BE綊AF，G為FA的中點(diǎn)知BE綊GF，四邊形BEFG為平行四邊形，EFBG.由(1)知BGCH，EFCH，EF與CH共面又DFH，C，D，F(xiàn)，E四點(diǎn)共面空間直線的位置關(guān)系(1)(20xx·金華模擬)已知a，b，c為三條不同的直線，且a平面，b平面，c，給出下列命題：若a與b是異面直線，則c至少與a，b中的一條相交；若a不垂直于c，則a與b一定不垂直；若ab，則必有aC其中真命題有_(填序號) 【導(dǎo)學(xué)號：00090241】(2)(20xx·鄭州模擬)在圖7­3­5中，G，H，M，N分別是正三棱柱的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，則表示直線GH，MN是異面直線的圖形有_(填上所有正確答案的序號) 圖7­3­5(1)(2)(1)對于，若c與a，b都不相交，則ca，cb，從而ab，這與a與b是異面直線矛盾，故正確對于，a與b可能異面垂直，故錯誤對于，由ab可知a，又c，從而ac，故正確(2)圖中，直線GHMN；圖中，G，H，N三點(diǎn)共面，但M平面GHN，因此直線GH與MN異面；圖中，連接MG，GMHN，因此GH與MN共面；圖中，G，M，N共面，但H平面GMN，因此GH與MN異面，所以在圖中，GH與MN異面規(guī)律方法1.異面直線的判定方法：(1)反證法：先假設(shè)兩條直線不是異面直線，即兩條直線平行或相交，由假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過嚴(yán)格的推理，導(dǎo)出矛盾，從而否定假設(shè)，肯定兩條直線異面(2)定理：平面外一點(diǎn)A與平面內(nèi)一點(diǎn)B的連線和平面內(nèi)不經(jīng)過點(diǎn)B的直線是異面直線2點(diǎn)、線、面位置關(guān)系的判定，要注意幾何模型的選取，常借助正方體為模型，以正方體為主線直觀感知并認(rèn)識空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系變式訓(xùn)練2(20xx·煙臺模擬)a，b，c表示不同的直線，M表示平面，給出四個命題：若aM，bM，則ab或a，b相交或a，b異面；若bM，ab，則aM；若ac，bc，則ab；若aM，bM，則aB其中正確的為()ABCDA對于，當(dāng)aM，bM時(shí)，則a與b平行、相交或異面，為真命題中，bM，ab，則aM或aM，為假命題命題中，a與b相交、平行或異面，為假命題由線面垂直的性質(zhì)，命題為真命題，所以為真命題異面直線所成的角(1)如圖7­3­6，在底面為正方形，側(cè)棱垂直于底面的四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，AA12AB2，則異面直線A1B與AD1所成角的余弦值為()圖7­3­6ABCD(2)(20xx·瀘州模擬)如圖7­3­7所示，在棱長為2的正方體ABCD­A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E、F分別是CC1，AD的中點(diǎn)，那么異面直線OE和FD1所成角的余弦值等于_圖7­3­7(1)D(2)(1)連接BC1，易證BC1AD1，則A1BC1即為異面直線A1B與AD1所成的角連接A1C1，由AB1，AA12，則A1C1，A1BBC1，在A1BC1中，由余弦定理得cosA1BC1.(2)取BC的中點(diǎn)G.連接GC1，則GC1FD1，再取GC的中點(diǎn)H，連接HE、OH，E是CC1的中點(diǎn)，GC1EH.OEH為異面直線所成的角在OEH中，OE，HE，OH.由余弦定理，可得cosOEH.規(guī)律方法1.求異面直線所成的角常用方法是平移法，平移方法一般有三種類型：利用圖中已有的平行線平移；利用特殊點(diǎn)(線段的端點(diǎn)或中點(diǎn))作平行線平移；補(bǔ)形平移2求異面直線所成角的三個步驟：(1)作：通過作平行線，得到相交直線的夾角(2)證：證明相交直線夾角為異面直線所成的角(3)求：解三角形，求出作出的角，如果求出的角是銳角或直角，則它就是要求的角，如果求出的角是鈍角，則它的補(bǔ)角才是要求的角變式訓(xùn)練3如圖7­3­8，已知圓柱的軸截面ABB1A1是正方形，C是圓柱下底面弧AB的中點(diǎn)，C1是圓柱上底面弧A1B1的中點(diǎn)，那么異面直線AC1與BC所成角的正切值為_ 【導(dǎo)學(xué)號：00090242】圖7­3­8取圓柱下底面弧AB的另一中點(diǎn)D，連接C1D，AD，則因?yàn)镃是圓柱下底面弧AB的中點(diǎn)，所以ADBC，所以直線AC1與AD所成角等于異面直線AC1與BC所成角，因?yàn)镃1是圓柱上底面弧A1B1的中點(diǎn)，所以C1D圓柱下底面，所以C1DAD因?yàn)閳A柱的軸截面ABB1A1是正方形，所以C1DAD，所以直線AC1與AD所成角的正切值為，所以異面直線AC1與BC所成角的正切值為.