新版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案訓(xùn)練課件： 課時(shí)分層訓(xùn)練47 利用空間向量求空間角 理 北師大版

1 1課時(shí)分層訓(xùn)練(四十七)利用空間向量求空間角A組基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)一、選擇題1在正方體A1B1C1D1­ABCD中，AC與B1D夾角的大小為()A.B.C.DD建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體邊長(zhǎng)為1，則A(0,0,0)，C(1,1,0)，B1(1,0,1)，D(0,1,0)(1,1,0)，(1,1，1)，·1×(1)1×10×(1)0，AC與B1D的夾角為.2. (20xx·西安調(diào)研)如圖7­7­20，在空間直角坐標(biāo)系中有直三棱柱ABC­A1B1C1，CACC12CB，則直線BC1與直線AB1夾角的余弦值為()圖7­7­20A.BC.DA不妨設(shè)CB1，則B(0,0,1)，A(2,0,0)，C1(0,2,0)，B1(0,2,1)，(0,2，1)，(2,2,1)cos，.3(20xx·鄭州調(diào)研)在正方體ABCD­A1B1C1D1中，BB1與平面ACD1夾角的正弦值為() 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：79140255】A.BC.DB設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示則B(1,1,0)，B1(1,1,1)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，D1(0,0,1)，所以1(0,0,1)，(1,1,0)，1(1,0,1)令平面ACD1的法向量為n(x，y，z)，則n·xy0，n·1xz0，令x1，可得n(1,1,1)，所以sin |cosn，1|.4已知正三棱柱ABC­A1B1C1的側(cè)棱長(zhǎng)與底面邊長(zhǎng)相等，則AB1與側(cè)面ACC1A1夾角的正弦值等于()A.BC.DA如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正三棱柱的棱長(zhǎng)為2，則O(0,0,0)，B(，0,0)，A(0，1,0)，B1(，0,2)，所以(，1,2)，由題知(，0,0)為側(cè)面ACC1A1的法向量即sin .故選A.5在正方體ABCD­A1B1C1D1中，點(diǎn)E為BB1的中點(diǎn)，則平面A1ED與平面ABCD所成的銳二面角的余弦值為() A.BC.DB以A為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)­xyz，設(shè)棱長(zhǎng)為1，則A1(0,0,1)，E，D(0,1,0)，(0,1，1)，.設(shè)平面A1ED的一個(gè)法向量為n1(1，y，z)，有即解得n1(1,2,2)平面ABCD的一個(gè)法向量為n2(0,0,1)cosn1，n2，即所成的銳二面角的余弦值為.二、填空題6在長(zhǎng)方體ABCD­A1B1C1D1中，AB2，BCAA11，則D1C1與平面A1BC1夾角的正弦值為_(kāi)以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)n(x，y，z)為平面A1BC1的法向量，則n·0，n·0，即令z2，則y1，x2，于是n(2,1,2)，(0,2,0)設(shè)所求線面角為，則sin |cosn，|.7如圖7­7­21所示，二面角的棱上有A，B兩點(diǎn)，直線AC，BD分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)，且都垂直于AB.已知AB4，AC6，BD8，CD2，則該二面角的大小為_(kāi)圖7­7­2160°，|2.·|·|·cos，24.cos，.又所求二面角與，互補(bǔ)，所求的二面角為60°.8在一直角坐標(biāo)系中，已知A(1,6)，B(3，8)，現(xiàn)沿x軸將坐標(biāo)平面折成60°的二面角，則折疊后A，B兩點(diǎn)間的距離為_(kāi). 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：79140256】2如圖為折疊后的圖形，其中作ACCD，BDCD，則AC6，BD8，CD4，兩異面直線AC，BD夾角為60°.故由，得|2|268，所以|2.三、解答題9(20xx·合肥一檢)如圖7­7­22，在四棱臺(tái)ABCD­A1B1C1D1中，AA1底面ABCD，四邊形ABCD為菱形，BAD120°，ABAA12A1B12.圖7­7­22(1)若M為CD的中點(diǎn)，求證：AM平面AA1B1B；(2)求直線DD1與平面A1BD夾角的正弦值解(1)證明：四邊形ABCD為菱形，BAD120°，連接AC，則ACD為等邊三角形，又M為CD的中點(diǎn)，AMCD，由CDAB得AMAB.AA1底面ABCD，AM底面ABCD，AMAA1，又ABAA1A，AM平面AA1B1B.(2)四邊形ABCD為菱形，BAD120°，ABAA12A1B12，得DM1，AM，AMDBAM90°，又AA1底面ABCD，以點(diǎn)A為原點(diǎn)，分別以AB，AM，AA1所在直線為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)­xyz，A1(0,0,2)，B(2,0,0)，D(1，0)，D1，1，(3，0)，(2,0，2)設(shè)平面A1BD的法向量為n(x，y，z)，則有令x1，則n(1，1)直線DD1與平面A1BD夾角的正弦值sin |cosn，1|.10(20xx·江蘇高考)如圖7­7­23，在平行六面體ABCD­A1B1C1D1中，AA1平面ABCD，且ABAD2，AA1，BAD120°.圖7­7­23(1)求異面直線A1B與AC1夾角的余弦值；(2)求二面角B­A1D­A的正弦值解在平面ABCD內(nèi)，過(guò)點(diǎn)A作AEAD，交BC于點(diǎn)E.因?yàn)锳A1平面ABCD，所以AA1AE，AA1AD.如圖，以，為正交基底，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)­xyz.因?yàn)锳BAD2，AA1，BAD120°，則A(0,0,0)，B(，1,0)，D(0,2,0)，E(，0,0)，A1(0,0，)，C1(，1，)(1)(，1，)，(，1，)，則cos，因此異面直線A1B與AC1夾角的余弦值為.(2)平面A1DA的一個(gè)法向量為(，0,0)設(shè)m(x，y，z)為平面BA1D的一個(gè)法向量，又(，1，)，(，3,0)，則即不妨取x3，則y，z2，所以m(3，2)為平面BA1D的一個(gè)法向量從而cos，m.設(shè)二面角B­A1D­A的大小為，則|cos |.因?yàn)?，所以sin .因此二面角B­A1D­A的正弦值為.B組能力提升11(20xx·河南百校聯(lián)盟聯(lián)考)已知斜四棱柱ABCD­A1B1C1D1的各棱長(zhǎng)均為2，A1AD60°，BAD90°，平面A1ADD1平面ABCD，則直線BD1與平面ABCD夾角的正切值為() 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：79140257】A.BC.DC取AD中點(diǎn)O，連接OA1，易證A1O平面ABCD.建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，得B(2，1,0)，D1(0,2，)，(2,3，)，平面ABCD的一個(gè)法向量為n(0,0,1)，設(shè)BD1與平面ABCD的夾角為，sin ，tan .12已知點(diǎn)E，F(xiàn)分別在正方體ABCD­A1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E2EB，CF2FC1，則平面AEF與平面ABC所成的二面角的正切值等于_延長(zhǎng)FE，CB相交于點(diǎn)G，連接AG，如圖所示設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為3，則GBBC3，作BHAG于點(diǎn)H，連接EH，則EHB為所求二面角的平面角BH，EB1，tanEHB.13(20xx·全國(guó)卷)如圖7­7­24，四棱錐P­ABCD中，側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD，ABBCAD，BADABC90°，E是PD的中點(diǎn)圖7­7­24(1)證明：直線CE平面PAB；(2)點(diǎn)M在棱PC上，且直線BM與底面ABCD所成角為45°，求二面角M­AB­D的余弦值. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：79140258】解(1)證明：取PA的中點(diǎn)F，連接EF，BF.因?yàn)镋是PD的中點(diǎn)，所以EFAD，EFAD.由BADABC90°得BCAD，又BCAD，所以EFBC，四邊形BCEF是平行四邊形，CEBF.又BF平面PAB，CE平面PAB，故CE平面PAB.(2)由已知得BAAD，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸正方向，|為單位長(zhǎng)度，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)­xyz，則A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，P(0,1，)，(1,0，)，(1,0,0)設(shè)M(x，y，z)(0<x<1)，則 (x1，y，z)，(x，y1，z)因?yàn)锽M與底面ABCD的夾角為45°，而n(0,0,1)是底面ABCD的法向量，所以|cos，n|sin 45°，即(x1)2y2z20.又M在棱PC上，設(shè)，則x，y1，z.由解得(舍去)，或所以M，從而.設(shè)m(x0，y0，z0)是平面ABM的法向量，則即所以可取m(0，2)于是cosm，n.因此二面角M­AB­D的余弦值為.