新版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案訓(xùn)練課件： 第10章 計(jì)數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量及其分布 第9節(jié) 離散型隨機(jī)變量的均值與方差學(xué)案 理 北師大版

1 1第九節(jié)離散型隨機(jī)變量的均值與方差考綱傳真(教師用書獨(dú)具)1.理解取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量的均值、方差的概念.2.會(huì)求簡(jiǎn)單離散型隨機(jī)變量的均值、方差，并能利用離散型隨機(jī)變量的均值、方差概念解決一些簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第189頁(yè))基礎(chǔ)知識(shí)填充1離散型隨機(jī)變量的均值與方差若離散型隨機(jī)變量X的分布列為P(Xai)pi(i1,2，r)(1)均值EXa1p1a2p2arpr，均值EX刻畫的是X取值的“中心位置”(2)方差DXE(XEX)2為隨機(jī)變量X的方差，它刻畫了隨機(jī)變量X與其均值EX的平均偏離程度2均值與方差的性質(zhì)(1)E(aXb)aEXB(2)D(aXb)a2DX(a，b為常數(shù))3兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布的均值、方差均值方差變量X服從兩點(diǎn)分布EXpDXp(1p)XB(n，p)EXnpDXnp(1p)知識(shí)拓展EX反映了x取值的平均水平，DX反映了X針對(duì)EX的穩(wěn)定與波動(dòng)，集中與離散的程度區(qū)分、s2、2、EX、DX.基本能力自測(cè)1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)期望是算術(shù)平均數(shù)概念的推廣，與概率無(wú)關(guān)()(2)隨機(jī)變量的均值是常數(shù)，樣本的平均值是隨機(jī)變量()(3)隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量取值偏離均值的平均程度，方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，則偏離均值的平均程度越小. ()(4)在籃球比賽中，罰球命中1次得1分，不中得0分，如果某運(yùn)動(dòng)員罰球命中的概率為0.7，那么他罰球1次的得分X的均值是0.7.()答案(1)×(2)(3)(4)2(教材改編)已知X的分布列為X101P設(shè)Y2X3，則EY的值為()AB4C1D1AEX1×0×1×，則EY2EX33.3設(shè)隨機(jī)變量的分布列為P(k)(k2,4,6,8,10)，則D等于()A8B5C10D12AE(246810)6，D(4)2(2)20222428.4(20xx·全國(guó)卷)一批產(chǎn)品的二等品率為0.02，從這批產(chǎn)品中每次隨機(jī)取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件數(shù)，則DX_.1.96由題意得XB(100,0.02)，所以DX100×0.02×(10.02)1.96.5已知隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布B(n，p)，若EX30，DX20，則p_.由于XB(n，p)，且EX30，DX20，所以解得p.(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第190頁(yè))離散型隨機(jī)變量的均值、方差(20xx·全國(guó)卷)某超市計(jì)劃按月訂購(gòu)一種酸奶，每天進(jìn)貨量相同，進(jìn)貨成本每瓶4元，售價(jià)每瓶6元，未售出的酸奶降價(jià)處理，以每瓶2元的價(jià)格當(dāng)天全部處理完根據(jù)往年銷售經(jīng)驗(yàn)，每天需求量與當(dāng)天最高氣溫(單位：)有關(guān)如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間20,25)，需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶為了確定六月份的訂購(gòu)計(jì)劃，統(tǒng)計(jì)了前三年六月份各天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表：最高氣溫10,15)15,20)20,25)25,30)30,35)35,40)天數(shù)216362574以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率(1)求六月份這種酸奶一天的需求量X(單位：瓶)的分布列；(2)設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤(rùn)為Y(單位：元)當(dāng)六月份這種酸奶一天的進(jìn)貨量n(單位：瓶)為多少時(shí)，Y的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值？解(1)由題意知，X所有可能取值為200,300,500，由表格數(shù)據(jù)知P(X200)0.2，P(X300)0.4，P(X500)0.4.因此X的分布列為X200300500P0.20.40.4(2)由題意知，這種酸奶一天的需求量至多為500瓶，至少為200瓶，因此只需考慮200n500.當(dāng)300n500時(shí)，若最高氣溫不低于25，則Y6n4n2n；若最高氣溫位于區(qū)間20,25)，則Y6×3002(n300)4n1 2002n；若最高氣溫低于20，則Y6×2002(n200)4n8002n.因此EY2n×0.4(1 2002n)×0.4(8002n)×0.26400.4n.當(dāng)200n<300時(shí)，若最高氣溫不低于20，則Y6n4n2n；若最高氣溫低于20，則Y6×2002(n200)4n8002n，因此EY2n×(0.40.4)(8002n)×0.21601.2n.所以n300時(shí)，Y的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值，最大值為520元規(guī)律方法求離散型隨機(jī)變量X的均值與方差的步驟(1)理解X的意義，寫出X可能取的全部值.(2)求X取每個(gè)值時(shí)的概率.(3)寫出X的分布列.(4)由均值的定義求EX.(5)由方差的定義求DX.易錯(cuò)警示：注意E(aXb)aEXb，D(aXb)a2DX的應(yīng)用.跟蹤訓(xùn)練(20xx·青島一模)為迎接2022年北京冬奧會(huì)，推廣滑雪運(yùn)動(dòng)，某滑雪場(chǎng)開展滑雪促銷活動(dòng)該滑雪場(chǎng)的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是：滑雪時(shí)間不超過(guò)1小時(shí)免費(fèi)，超過(guò)1小時(shí)的部分每小時(shí)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為40元(不足1小時(shí)的部分按1小時(shí)計(jì)算)有甲、乙兩人相互獨(dú)立地來(lái)該滑雪場(chǎng)運(yùn)動(dòng)，設(shè)甲、乙不超過(guò)1小時(shí)離開的概率分別為，；1小時(shí)以上且不超過(guò)2小時(shí)離開的概率分別為，；兩人滑雪時(shí)間都不會(huì)超過(guò)3小時(shí)(1)求甲、乙兩人所付滑雪費(fèi)用相同的概率；(2)設(shè)甲、乙兩人所付的滑雪費(fèi)用之和為隨機(jī)變量，求的分布列與數(shù)學(xué)期望E，方差D. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：79140377】解(1)兩人所付費(fèi)用相同，相同的費(fèi)用可能為0,40,80元兩人都付0元的概率為P1×，兩人都付40元的概率為P2×，兩人都付80元的概率為P3××，則兩人所付費(fèi)用相同的概率為PP1P2P3.(2)設(shè)甲、乙所付費(fèi)用之和為，可能取值為0,40,80,120,160，則：P(0)×；P(40)××；P(80)×××；P(120)××；P(160)×.的分布列為04080120160PE0×40×80×120×160×80.D(080)2×(4080)2×(8080)2×(12080)2×(16080)2×.與二項(xiàng)分布有關(guān)的均值、方差 (20xx·鄭州診斷)空氣質(zhì)量指數(shù)(Air Quality Lndex，簡(jiǎn)稱AQI)是定量描述空氣質(zhì)量狀況的指數(shù)，空氣質(zhì)量按照AQI大小分為六級(jí)，050為優(yōu)；51100為良；101150為輕度污染；151200為中度污染；201300為重度污染；大于300為嚴(yán)重污染一環(huán)保人士記錄某地某月10天的AQI的莖葉圖如圖10­9­1所示圖10­9­1(1)利用該樣本估計(jì)該地本月空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良(AQI100)的天數(shù)；(按這個(gè)月總共30天計(jì)算)(2)將頻率視為概率，從本月中隨機(jī)抽取3天，記空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良的天數(shù)為，求的概率分布列、數(shù)學(xué)期望和方差解(1)從莖葉圖中可發(fā)現(xiàn)該樣本中空氣質(zhì)量?jī)?yōu)的天數(shù)為2，空氣質(zhì)量良的天數(shù)為4，故該樣本中空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良的頻率為，從而估計(jì)該月空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良的天數(shù)為30×18.(2)由(1)估計(jì)某天空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良的概率為，的所有可能取值為0,1,2,3.P(0)，P(1)C，P(2)C，P(3).故的分布列為0123P顯然B，E3×1.8，隨機(jī)變量的方差D3××.規(guī)律方法1.求隨機(jī)變量的期望與方差時(shí)，可首先分析是否服從二項(xiàng)分布，如果B(n，p)，則用公式Enp，Dnp(1p)求解，可大大減少計(jì)算量.2.有些隨機(jī)變量雖不服從二項(xiàng)分布，但與之具有線性關(guān)系的另一隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，這時(shí)，可以綜合應(yīng)用E(ab)aEb以及Enp求出E(ab).同樣還可求出D(ab).跟蹤訓(xùn)練一家面包房根據(jù)以往某種面包的銷售記錄，繪制了日銷售量的頻率分布直方圖，如圖10­9­4所示圖10­9­4將日銷售量落入各組的頻率視為概率，并假設(shè)每天的銷售量相互獨(dú)立(1)求在未來(lái)連續(xù)3天里，有連續(xù)2天的日銷售量都不低于100個(gè)且另1天的日銷售量低于50個(gè)的概率；(2)用X表示在未來(lái)3天里日銷售量不低于100個(gè)的天數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列，期望EX及方差DX.解(1)設(shè)A1表示事件“日銷售量不低于100個(gè)”，A2表示事件“日銷售量低于50個(gè)”，B表示事件“在未來(lái)連續(xù)3天里，有連續(xù)2天日銷售量不低于100個(gè)且另一天銷售量低于50個(gè)”，因此P(A1)(0.0060.0040.002)×500.6，P(A2)0.003×500.15，P(B)0.6×0.6×0.15×20.108.(2)X可能取的值為0,1,2,3，相應(yīng)的概率為P(X0)C·(10.6)30.064，P(X1)C·0.6(10.6)20.288，P(X2)C·0.62(10.6)0.432，P(X3)C·0.630.216.所以X的分布列為X0123P0.0640.2880.4320.216因?yàn)閄B(3,0.6)，所以期望EX3×0.61.8，方差DX3×0.6×(10.6)0.72.均值與方差在決策中的應(yīng)用(20xx·廣州綜合測(cè)試(二)某商場(chǎng)擬對(duì)某商品進(jìn)行促銷，現(xiàn)有兩種方案供選擇，每種促銷方案都需分兩個(gè)月實(shí)施，且每種方案中第一個(gè)月與第二個(gè)月的銷售相互獨(dú)立根據(jù)以往促銷的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，若實(shí)施方案1，預(yù)計(jì)第一個(gè)月的銷量是促銷前的1.2倍和1.5倍的概率分別是0.6和0.4，第二個(gè)月的銷量是第一個(gè)月的1.4倍和1.6倍的概率都是0.5；若實(shí)施方案2，預(yù)計(jì)第一個(gè)月的銷量是促銷前的1.4倍和1.5倍的概率分別是0.7和0.3，第二個(gè)月的銷量是第一個(gè)月的1.2倍和1.6倍的概率分別是0.6和0.4.令i(i1,2)表示實(shí)施方案i的第二個(gè)月的銷量是促銷前銷量的倍數(shù)(1)求1，2的分布列；(2)不管實(shí)施哪種方案，i與第二個(gè)月的利潤(rùn)之間的關(guān)系如下表，試比較哪種方案第二個(gè)月的利潤(rùn)更大銷量倍數(shù)i1.71.7<i<2.3i2.3利潤(rùn)(萬(wàn)元)152025解(1)由題意，1的所有取值為1.68,1.92,2.1,2.4，因?yàn)镻(11.68)0.6×0.50.30，P(11.92)0.6×0.50.30，P(12.1)0.4×0.50.20，P(12.4)0.4×0.50.20，所以1的分布列為11.681.922.12.4P10.300.300.200.20由題意，2的所有取值為1.68,1.8,2.24,2.4，因?yàn)镻(21.68)0.7×0.60.42，P(21.8)0.3×0.60.18，P(22.24)0.7×0.40.28，P(22.4)0.3×0.40.12，所以2的分布列為21.681.82.242.4P20.420.180.280.12(2)令Qi表示實(shí)施方案i在第二個(gè)月所獲得的利潤(rùn)，則Q1152025P0.300.500.20Q2152025P0.420.460.12所以EQ115×0.3020×0.5025×0.2019.5，EQ215×0.4220×0.4625×0.1218.5.因?yàn)镋Q1>EQ2，所以實(shí)施方案1，第二個(gè)月的利潤(rùn)更大規(guī)律方法利用均值、方差進(jìn)行決策的兩個(gè)方略(1)當(dāng)均值不同時(shí)，兩個(gè)隨機(jī)變量取值的水平可見分歧，可對(duì)問(wèn)題作出判斷.(2)若兩隨機(jī)變量均值相同或相差不大.則可通過(guò)分析兩變量的方差來(lái)研究隨機(jī)變量的離散程度或者穩(wěn)定程度，進(jìn)而進(jìn)行決策.跟蹤訓(xùn)練(20xx·呼和浩特一調(diào))春節(jié)前夕我市某公司要將一批新鮮牛羊肉用汽車運(yùn)往指定城市A，如果能按約定日期送到，則該公司可獲得銷售收入30萬(wàn)元，每提前一天送到，可獲得獎(jiǎng)勵(lì)1萬(wàn)元，每遲到一天送到，銷售收入將少獲得1萬(wàn)元為保證按時(shí)送達(dá)，公司只能在約定日期的前兩天出發(fā)，若行駛路線只能選擇公路1或公路2中的一條，運(yùn)費(fèi)及其他信息如下表所示. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：79140378】路線統(tǒng)計(jì)不堵車的情況下送達(dá)到城市A所需的時(shí)間(天)堵車的情況下送達(dá)到城市A所需的時(shí)間(天)堵車的概率運(yùn)費(fèi)(萬(wàn)元)公路1230.14公路2140.32(1)記汽車走公路2時(shí)公司獲得的毛利潤(rùn)(收入運(yùn)費(fèi))為(萬(wàn)元)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望E；(2)假設(shè)你是公司的決策者，會(huì)選擇哪條公路運(yùn)送，并說(shuō)明理由解(1)汽車走公路2時(shí)，不堵車時(shí)公司獲得的毛利潤(rùn)301229(萬(wàn)元)堵車時(shí)公司獲得的毛利潤(rùn)302226(萬(wàn)元)汽車走公路2時(shí)獲得的毛利潤(rùn)的分布列為2926P0.70.3E29×0.726×0.328.1(萬(wàn)元)(2)設(shè)汽車走公路1時(shí)獲得的毛利潤(rùn)為，則不堵車時(shí)獲得的毛利潤(rùn)30426(萬(wàn)元)，堵車時(shí)獲得的毛利潤(rùn)301425(萬(wàn)元)，汽車走公路1時(shí)獲得的毛利潤(rùn)的分布列為2625P0.90.1E26×0.925×0.125.9(萬(wàn)元)E>E，選擇公路2可以更多獲利