新編人教版高中數(shù)學(xué)選修11：3.4 生活中的優(yōu)化問(wèn)題舉例 課時(shí)提升作業(yè)二十五 3.4 含解析

新編人教版精品教學(xué)資料課時(shí)提升作業(yè)(二十五)生活中的優(yōu)化問(wèn)題舉例(25分鐘60分)一、選擇題(每小題5分,共25分)1.已知某生產(chǎn)廠家的年利潤(rùn)y(單位:萬(wàn)元)與年產(chǎn)量x(單位:萬(wàn)件)的函數(shù)關(guān)系式為y=-13x3+81x-234,則使該生產(chǎn)廠家獲取最大年利潤(rùn)的年產(chǎn)量為()A.13萬(wàn)件B.11萬(wàn)件C.9萬(wàn)件D.7萬(wàn)件【解析】選C.y=-x2+81,令導(dǎo)數(shù)y=-x2+81>0,解得0<x<9;令導(dǎo)數(shù)y=-x2+81<0,解得x>9,在區(qū)間(0,9)上是增函數(shù),在區(qū)間(9,+)上是減函數(shù),所以在x=9處取極大值,也是最大值.2.圓柱形金屬飲料罐的體積一定,要使生產(chǎn)這種金屬飲料罐所用的材料最省,它的高與底面半徑比為()A.21B.12C.14D.41【解題指南】設(shè)出高及底面半徑,當(dāng)飲料罐用料最省時(shí),用體積表示出高及半徑后求比值.【解析】選A.設(shè)圓柱形飲料罐的高為h,底面半徑為R,則表面積S=2Rh+2R2.由V=R2h,得h=VR2,則S(R)=2RVR2+2R2=2VR+2R2,令S(R)=-2VR2+4R=0,解得R=3V2,從而h=VR2=V3V22=34V=23V2,即h=2R,因?yàn)镾(R)只有一個(gè)極值,所以它是最小值,當(dāng)飲料罐的高與底面直徑相等,即hR=21時(shí)所用材料最省.3.已知球O的半徑為R,圓柱內(nèi)接于球,當(dāng)內(nèi)接圓柱的體積最大時(shí),高等于()A.233RB.33RC.32RD.3R【解析】選A.設(shè)球內(nèi)接圓柱的高為h,圓柱底面半徑為r,則h2+(2r)2=(2R)2,得r2=R2-14h2(0<h<2R).所以圓柱的體積為V(h)=r2h=hR2-14h2=R2h-14h3(0<h<2R).求導(dǎo)數(shù),得V(h)=R2-34h2=R+3h2R-3h2,所以0<h<23R3時(shí),V(h)>0;23R3<h<2R時(shí),V(h)<0,由此可得:V(h)在區(qū)間0,23R3上是增函數(shù);在區(qū)間23R3,2R上是減函數(shù),所以當(dāng)h=23R3時(shí),V(h)取得最大值.4.(2015·益陽(yáng)高二檢測(cè))某箱子的體積與底面邊長(zhǎng)x的關(guān)系為V(x)=x260-x2(0<x<60),則當(dāng)箱子的體積最大時(shí),箱子底面邊長(zhǎng)為()A.30B.40C.50D.60【解題指南】V(x)是三次函數(shù),其最值問(wèn)題可用求導(dǎo)法.【解析】選B.V(x)=-32x2+60x=-32x(x-40),因?yàn)?<x<60,所以當(dāng)0<x<40時(shí),V(x)>0,此時(shí)V(x)單調(diào)遞增;當(dāng)40<x<60時(shí),V(x)<0,此時(shí)V(x)單調(diào)遞減所以x=40是V(x)的極大值,即當(dāng)箱子的體積最大時(shí),箱子底面邊長(zhǎng)為40.5.用長(zhǎng)為90cm,寬為48 cm的長(zhǎng)方形鐵皮做一個(gè)無(wú)蓋的容器,先在四角分別截去一個(gè)大小相同的小正方形,然后把四邊翻轉(zhuǎn)90°角,再焊接而成(如圖),當(dāng)容器的體積最大時(shí),該容器的高為()A.8cmB.9cmC.10cmD.12cm【解析】選C.設(shè)容器的高為xcm,容器的體積為V(x)cm3,則V(x)=(90-2x)(48-2x)x=4x3-276x2+4320x(0<x<24),因?yàn)閂(x)=12x2-552x+4320,由12x2-552x+4320=0得x=10或x=36(舍),因?yàn)楫?dāng)0<x<10時(shí),V(x)>0,當(dāng)10<x<24時(shí),V(x)<0,所以當(dāng)x=10時(shí),V(x)在區(qū)間(0,24)內(nèi)有唯一極大值,所以容器高x=10cm時(shí),容器體積V(x)最大.二、填空題(每小題5分,共15分)6.如果圓柱軸截面的周長(zhǎng)l為定值,則體積的最大值為.【解析】設(shè)圓柱底面半徑為R,高為H,圓柱軸截面的周長(zhǎng)l為定值,則4R+2H=l,所以H=-2R,所以V=SH=R2H=R2(-2R) =R2-2R3,則V=Rl-6R2,令V=0,可得Rl-6R2=0,所以R(l-6R)=0,所以l-6R=0,所以R=,當(dāng)R<時(shí)V>0,R>時(shí),V<0,故當(dāng)R=時(shí),V取極大值.故當(dāng)R=時(shí),圓柱體積有最大值,圓柱體積的最大值是:V=R2-2R3=.答案:7.統(tǒng)計(jì)表明:某種型號(hào)的汽車(chē)在勻速行駛中每小時(shí)的耗油量y(升)關(guān)于行駛速度x(千米/小時(shí))的函數(shù)解析式可以表示為y=1128 000x3-380x+8,x(0,120,且甲、乙兩地相距100千米,則當(dāng)汽車(chē)以千米/小時(shí)的速度勻速行駛時(shí),從甲地到乙地耗油量最少.【解析】當(dāng)速度為x千米/小時(shí)時(shí),汽車(chē)從甲地到乙地行駛了100x小時(shí),設(shè)耗油量為h(x)升,依題意得h(x)=1128 000x3-380x+8·100x=11 280x2+800x-154(0<x120),h(x)=x640-800x2=x3-803640x2(0<x120).令h(x)=0,得x=80.當(dāng)x(0,80)時(shí),h(x)<0,h(x)是減函數(shù);當(dāng)x(80,120時(shí),h(x)>0,h(x)是增函數(shù).所以當(dāng)x=80時(shí),h(x)取到極小值h(80)=11.25.故當(dāng)汽車(chē)以80千米/小時(shí)的速度勻速行駛時(shí),從甲地到乙地耗油量最少,最少為11.25升.答案:80【補(bǔ)償訓(xùn)練】甲乙兩地相距240km,汽車(chē)從甲地以速度v(km/h)勻速行駛到乙地.已知汽車(chē)每小時(shí)的運(yùn)輸成本由固定成本和可變成本組成,固定成本為160元,可變成本為16 400v3元.為使全程運(yùn)輸成本最小,汽車(chē)應(yīng)以速度行駛.【解析】設(shè)全程運(yùn)輸成本為y元,由題意,得y=240v160+16 400v3=240160v+16 400v2,v>0,y=240-160v2+26 400v.令y=0,得v=80.當(dāng)v>80時(shí),y>0;當(dāng)0<v<80時(shí),y<0.所以v=80時(shí),ymin=720.答案:80km/h8.某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品x件的總成本c(x)=1200+275x3(萬(wàn)元),已知產(chǎn)品單價(jià)的平方與產(chǎn)品件數(shù)x成反比,生產(chǎn)100件這樣的產(chǎn)品單價(jià)為50萬(wàn)元,產(chǎn)量定為件時(shí)總利潤(rùn)最大.【解析】設(shè)產(chǎn)品單價(jià)為p,則有p2=kx,將x=100,p=50代入,得k=250000,所以p=500x.設(shè)總利潤(rùn)為L(zhǎng),L=L(x)=500xx-1 200+275x3(x>0),即L(x)=500xx-1200-275x3,L(x)=250x-2x225,令L(x)=0,即250x-2x225=0,得x=25,因?yàn)閤=25是函數(shù)L(x)在(0,+)上唯一的極值點(diǎn),且是極大值點(diǎn),從而是最大值點(diǎn).答案:25三、解答題(每小題10分,共20分)9.(2015·泰安高二檢測(cè))某工廠共有10臺(tái)機(jī)器,生產(chǎn)一種儀器元件,由于受生產(chǎn)能力和技術(shù)水平等因素限制,會(huì)產(chǎn)生一定數(shù)量的次品.根據(jù)經(jīng)驗(yàn)知道,每臺(tái)機(jī)器產(chǎn)生的次品數(shù)P(萬(wàn)件)與每臺(tái)機(jī)器的日產(chǎn)量x(萬(wàn)件)(4x12)之間滿足關(guān)系:P=0.1x2-3.2lnx+3.已知每生產(chǎn)1萬(wàn)件合格的元件可以盈利2萬(wàn)元,但每產(chǎn)生1萬(wàn)件次品將虧損1萬(wàn)元.(利潤(rùn)=盈利-虧損)(1)試將該工廠每天生產(chǎn)這種元件所獲得的利潤(rùn)y(萬(wàn)元)表示為x的函數(shù).(2)當(dāng)每臺(tái)機(jī)器的日產(chǎn)量x(萬(wàn)件)為多少時(shí)所獲得的利潤(rùn)最大,最大利潤(rùn)為多少?【解析】(1)由題意得,所獲得的利潤(rùn)為y=102(x-P)-P=20x-3x2+96lnx-90(4x12).(2)由(1)知,y=-6x2+20x+96x=-2(3x+8)(x-6)x當(dāng)4x<6時(shí),y>0,函數(shù)在4,6上為增函數(shù);當(dāng)6<x12時(shí),y<0,函數(shù)在6,12上為減函數(shù),所以當(dāng)x=6時(shí),函數(shù)取得極大值,且為最大值,最大利潤(rùn)為y=20×6-3×62+96ln6-90=96ln6-78(萬(wàn)元)答:當(dāng)每臺(tái)機(jī)器的日產(chǎn)量為6萬(wàn)件時(shí)所獲得的利潤(rùn)最大,最大利潤(rùn)為96ln6-78萬(wàn)元.【補(bǔ)償訓(xùn)練】某廠家擬對(duì)一商品舉行促銷(xiāo)活動(dòng),當(dāng)該商品的售價(jià)為x元時(shí),全年的促銷(xiāo)費(fèi)用為12(15-2x)(x-4)萬(wàn)元;根據(jù)以往的銷(xiāo)售經(jīng)驗(yàn),實(shí)施促銷(xiāo)后的年銷(xiāo)售量t=12(x-8)2+ax-4萬(wàn)件,其中4<x<7.5,a為常數(shù).當(dāng)該商品的售價(jià)為6元時(shí),年銷(xiāo)售量為49萬(wàn)件.(1)求出a的值.(2)若每件該商品的成本為4元時(shí),寫(xiě)出廠家銷(xiāo)售該商品的年利潤(rùn)y萬(wàn)元與售價(jià)x元之間的關(guān)系.(3)當(dāng)該商品售價(jià)為多少元時(shí),使廠家銷(xiāo)售該商品所獲年利潤(rùn)最大.【解析】(1)由已知:當(dāng)x=6元時(shí),t=49萬(wàn)件,所以49=12(6-8)2+a2,所以a=2.(2)因?yàn)閥=(x-4)·t-12(15-2x)(x-4)所以y=(x-4)·12(x-8)2+2x-4-12(15-2x)(x-4)=12(x-4)(x-8)2-12(15-2x)(x-4)+2=12(x-4)(x-7)2+2(4<x<7.5).(3)y=12(x-7)2+24(x-4)(x-7)=36(x-7)(x-5),令y=0得x=7或x=5.列表如下x(4,5)5(5,7)7(7,7.5)y+0-0+y極大值50極小值2故當(dāng)x=5時(shí),y最大=50,故該商品售價(jià)為5元時(shí)廠家銷(xiāo)售該商品所獲年利潤(rùn)最大.【誤區(qū)警示】實(shí)際問(wèn)題的求解不要忽視作答.10.(2015·桂林高二檢測(cè))用長(zhǎng)為18m的鋼條圍成一個(gè)長(zhǎng)方體容器的框架,如果所制的容器的長(zhǎng)與寬之比為21,那么高為多少時(shí)容器的體積最大?并求出它的最大體積.【解析】設(shè)長(zhǎng)方體的寬為xm,則長(zhǎng)為2xm,高為(4.5-3x)m.由x>0,4.5-3x>0,解得0<x<32,故長(zhǎng)方體的體積為V(x)=2x2(4.5-3x)=9x2-6x30<x<32,從而V(x)=18x-18x2=18x(1-x),令V(x)=0,解得x=1或x=0(舍去),當(dāng)0<x<1時(shí),V(x)>0;當(dāng)1<x<32時(shí),V(x)<0,故在x=1處V(x)取得極大值,并且這個(gè)極大值就是V(x)的最大值,從而最大體積為V(1)=9×12-6×13=3(m3),此時(shí)容器的高為4.5-3=1.5(m).因此,容器高為1.5m時(shí)容器的體積最大,最大體積為3m3.(20分鐘40分)一、選擇題(每小題5分,共10分)1.如圖所示,半徑為2的M切直線AB于點(diǎn)O,射線OC從OA出發(fā)繞著O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到OB.旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,OC交M于點(diǎn)P.記PMO為x,弓形PnO的面積為S=f(x),那么f(x)的圖象是下圖中的()【解析】選A.由所給的圖示可得,當(dāng)0<x時(shí),弓形PnO的面積為S=f(x)=S扇形PnO-SMPO=2x-2sinx,其導(dǎo)數(shù)為f(x)=2-2cosx,由余弦函數(shù)的性質(zhì)知,此值越來(lái)越大,即f(x)的圖象上升得越來(lái)越快,由此可以排除B,C;再由所給圖示的對(duì)稱性知,弓形PnO的面積先是增加得越來(lái)越快,然后是增加得越來(lái)越慢,直到增加率為0,由此可以排除D,故選A.2.將邊長(zhǎng)為1m的正三角形薄片,沿一條平行于底邊的直線剪成兩塊,其中一塊是梯形,記S=(梯形的周長(zhǎng))2梯形的面積,則S的最小值是()A.3233B.1633C.833D.433【解題指南】設(shè)剪成的小正三角形的邊長(zhǎng)為x,用x表示出梯形周長(zhǎng)、梯形面積后代入求最值.【解析】選A.設(shè)剪成的小正三角形的邊長(zhǎng)為x,則S=(3-x)212·(x+1)·32·(1-x)=43·(3-x)21-x2(0<x<1).設(shè)S(x)=43·(3-x)21-x2,則S(x)=43·(2x-6)·(1-x2)-(3-x)2·(-2x)(1-x2)2=43·-2(3x-1)(x-3)(1-x2)2.由S(x)=0,0<x<1,得x=13,當(dāng)x0,13時(shí),S(x)<0,S(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x13,1時(shí),S(x)>0,S(x)單調(diào)遞增;故當(dāng)x=13時(shí),S的最小值是3233.二、填空題(每小題5分,共10分)3.(2015·亳州高二檢測(cè))某超市中秋前30天,月餅銷(xiāo)售總量f(t)與時(shí)間t(0<t30,tZ)的關(guān)系大致滿足f(t)=t2+10t+12,則該超市前t天平均售出(如前10天的平均售出為f(10)10)的月餅最少為.【解析】記g(t)=f(t)t=t+12t+10(0<t30,tZ),g(t)=1-12t2=(t+23)(t-23)t2,令g(t)>0,得t>23,令g(t)<0,得0<t<23,所以函數(shù)g(t)在區(qū)間(0,23)上單調(diào)遞減,在區(qū)間(23,10)上單調(diào)遞增,又tZ,且g(3)=g(4)=17,所以g(t)的最小值為17,即該超市前t天平均售出的月餅最少為17個(gè).答案:17個(gè)4.有一杠桿,在它的一端距支點(diǎn)1m處掛一個(gè)49kg的物體,同時(shí)加力于桿的此端使桿保持水平平衡.若杠桿本身每米重2kg,則所加的力最小時(shí)杠桿的長(zhǎng)度是.【解析】設(shè)杠桿長(zhǎng)為xm,則根據(jù)題意和力的平衡關(guān)系,得xF(x)=49×1+2x×x2,即F(x)=49x+x(x>0).令F(x)=-49x2+1=x2-49x2=0(x>0),得惟一的極值點(diǎn)x=7;因?yàn)樽钍×Φ母軛U長(zhǎng)確實(shí)存在,所以當(dāng)杠桿長(zhǎng)為7m時(shí)最省力.答案:7m三、解答題(每小題10分,共20分)5.時(shí)下,網(wǎng)校教學(xué)越來(lái)越受到廣大學(xué)生的喜愛(ài),它已經(jīng)成為學(xué)生們課外學(xué)習(xí)的一種趨勢(shì),假設(shè)某網(wǎng)校的套題每日的銷(xiāo)售量y(單位:千套)與銷(xiāo)售價(jià)格x(單位:元/套)滿足關(guān)系式y(tǒng)=mx-2+4(x-6)2,其中2<x<6,m為常數(shù).已知銷(xiāo)售價(jià)格為4元/套時(shí),每日可售出套題21千套.(1)求m的值.(2)假設(shè)網(wǎng)校的員工工資,辦公等所有開(kāi)銷(xiāo)折合為每套題2元(只考慮銷(xiāo)售出的套數(shù)),試確定銷(xiāo)售價(jià)格x的值,使網(wǎng)校每日銷(xiāo)售套題所獲得的利潤(rùn)最大.(保留1位小數(shù))【解析】(1)因?yàn)閤=4時(shí),y=21,代入關(guān)系式y(tǒng)=mx-2+4(x-6)2,得m2+16=21,解得m=10.(2)由(1)可知,套題每日的銷(xiāo)售量y=10x-2+4(x-6)2,所以每日銷(xiāo)售套題所獲得的利潤(rùn)f(x)=(x-2)10x-2+4(x-6)2=10+4(x-6)2(x-2)=4x3-56x2+240x-278(2<x<6),從而f(x)=12x2-112x+240=4(3x-10)(x-6)(2<x<6),令f(x)=0,得x=103,或x=6(舍去)且在2,103上,f(x)>0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增;在103,6上,f(x)<0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減,所以x=103是函數(shù)f(x)在(2,6)內(nèi)的極大值點(diǎn),也是最大值點(diǎn),所以當(dāng)x=1033.3時(shí),函數(shù)f(x)取得最大值.故當(dāng)銷(xiāo)售價(jià)格為3.3元/套時(shí),網(wǎng)校每日銷(xiāo)售套題所獲得的利潤(rùn)最大.6.(2015·江蘇高考)某山區(qū)外圍有兩條相互垂直的直線型公路,為進(jìn)一步改善山區(qū)的交通現(xiàn)狀,計(jì)劃修建一條連接兩條公路的山區(qū)邊界的直線型公路,記兩條相互垂直的公路為l1,l2,山區(qū)邊界曲線為C,計(jì)劃修建的公路為l,如圖所示,M,N為C的兩個(gè)端點(diǎn),測(cè)得點(diǎn)M到l1,l2的距離分別為5千米和40千米,點(diǎn)N到l1,l2的距離分別為20千米和2.5千米,以l1,l2所在的直線分別為y,x軸,建立平面直角坐標(biāo)系xOy,假設(shè)曲線C符合函數(shù)y=ax2+b(其中a,b為常數(shù))模型.(1)求a,b的值.(2)設(shè)公路l與曲線C相切于P點(diǎn),P的橫坐標(biāo)為t.請(qǐng)寫(xiě)出公路l長(zhǎng)度的函數(shù)解析式f(t),并寫(xiě)出其定義域;當(dāng)t為何值時(shí),公路l的長(zhǎng)度最短?求出最短長(zhǎng)度.【解析】(1)由題意知,M點(diǎn)的坐標(biāo)為(5,40),N點(diǎn)的坐標(biāo)為(20,2.5),代入曲線C的方程y=ax2+b可得:40=a52+b,2.5=a202+b.解得a=1 000,b=0.(2)由(1)知曲線C的方程為y=1 000x2(5x20),y=-2 000x3,所以y|x=t=-2 000t3即為l的斜率.又當(dāng)x=t時(shí),y=1 000t2,所以P點(diǎn)的坐標(biāo)為t,1 000t2,所以l的方程為y-1 000t2=-2 000t3(x-t).令x=0,得y=3 000t2;令y=0,得x=32t.所以f(t)=32t2+3 000t22,其中5t20;由知f(t)=32t2+3 000t22,其中5t20.令g(t)=32t2+3 000t22=94t2+9×106t4,所以g(t)=92t-4×9×106t5=92·t6-8×106t5=92·t6-(102)6t5.因?yàn)?t20,令g(t)<0,得5t<102;令g(t)=0,得t=102;g(t)>0,得102<t20.所以g(t)在區(qū)間5,102)單調(diào)遞減,在(102,20單調(diào)遞增.所以g(102)=675是g(t)的極小值,也是最小值.所以當(dāng)t=102時(shí)f(t)取得最小值,最小值為f(102)=153.【補(bǔ)償訓(xùn)練】新晨投資公司擬投資開(kāi)發(fā)某項(xiàng)新產(chǎn)品,市場(chǎng)評(píng)估能獲得101000萬(wàn)元的投資收益.現(xiàn)公司準(zhǔn)備制定一個(gè)對(duì)科研課題組的獎(jiǎng)勵(lì)方案:獎(jiǎng)金y(單位:萬(wàn)元)隨投資收益x(單位:萬(wàn)元)的增加而增加,且獎(jiǎng)金不低于1萬(wàn)元,同時(shí)不超過(guò)投資收益的20%.(1)設(shè)獎(jiǎng)勵(lì)方案的函數(shù)模型為f(x),試用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述公司對(duì)獎(jiǎng)勵(lì)方案的函數(shù)模型f(x)的基本要求.(2)下面是公司預(yù)設(shè)的兩個(gè)獎(jiǎng)勵(lì)方案的函數(shù)模型:f(x)=x150+2;f(x)=4lgx-2.試分別分析這兩個(gè)函數(shù)模型是否符合公司要求.【解析】(1)由題意知,公司對(duì)獎(jiǎng)勵(lì)方案的函數(shù)模型f(x)的基本要求是:當(dāng)x10,1000時(shí),f(x)是增函數(shù);f(x)1恒成立;f(x)x5恒成立,(2)對(duì)于函數(shù)模型f(x)=x150+2:當(dāng)x10,1000時(shí),f(x)是增函數(shù),則f(x)1顯然恒成立,而若使函數(shù)f(x)=x150+2x5在10,1000上恒成立,整理即29x300恒成立,而(29x)min=290,所以f(x)x5不恒成立.故該函數(shù)模型不符合公司要求.對(duì)于函數(shù)模型f(x)=4lgx-2:當(dāng)x10,1000時(shí),f(x)是增函數(shù),則f(x)min=f(10)=4lg10-2=2>1.所以f(x)1恒成立.設(shè)g(x)=4lgx-2-x5,則g(x)=4lgex-15.當(dāng)x10時(shí),g(x)=4lgex-152lge-15=lge2-15<0,所以g(x)在10,1000上是減函數(shù),從而g(x)g(10)=4lg10-2-2=0.所以4lgx-2-x50,即4lgx-2x5,所以f(x)x5恒成立.故該函數(shù)模型符合公司要求.關(guān)閉Word文檔返回原板塊