新編全國(guó)通用高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 微專題強(qiáng)化練 專題12 空間中的平行與垂直含解析

【走向高考】（全國(guó)通用）20xx高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 微專題強(qiáng)化練 專題12 空間中的平行與垂直一、選擇題1(20xx·銀川市質(zhì)檢)若，是兩個(gè)不同的平面，m為平面內(nèi)的一條直線，則“”是“m”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件答案B解析若，m，則m與平行、相交或m都有可能，所以充分性不成立；若m，m，則，必要性成立，故選B.方法點(diǎn)撥應(yīng)用線面、面面平行與垂直的判定定理、性質(zhì)定理時(shí)，必須按照定理的要求找足條件2(20xx·東北三校二模)已知a，b，m，n是四條不同的直線，其中a、b是異面直線，則下列命題正確的個(gè)數(shù)為()若ma，mb，na，nb，則mn；若ma，nb，則m，n是異面直線；若m與a，b都相交，n與a，b都相交，則m，n是異面直線A0B1C2D3答案B解析對(duì)于，過直線a上一點(diǎn)O作直線a1b，則直線a，a1確定平面，因?yàn)閙a，ma1，所以m，同理n，因此mn，正確；對(duì)于，m，n也可能相交，錯(cuò)誤；對(duì)于，在直線a上取點(diǎn)A，過A作直線m、n與b相交，滿足的條件，因此m，n可能相交，錯(cuò)誤綜上所述，其中正確的命題的個(gè)數(shù)是1，故選B.3(文)設(shè)m、n是兩條不同的直線，、是兩個(gè)不同的平面，若已知mn，m，則“n”是“”的()A充分非必要條件B必要非充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件答案A./ n.(理)已知m、n為兩條不同的直線，、為兩個(gè)不同的平面，則下列命題中正確的是()Amn，mnB，m，nmnCm，mnnDm，n，m，n答案A解析由線面垂直的性質(zhì)定理知A正確；如圖1知，當(dāng)m1，m1nA時(shí)滿足B的條件，但m與n不平行；當(dāng)m，mn時(shí)，可能有n；如圖2知，mnl，l時(shí)滿足D的條件，由此知D錯(cuò)誤4(20xx·遼寧理，4)已知m、n表示兩條不同直線，表示平面，下列說法正確的是()A若m，n，則mnB若m，n，則mnC若m，mn，則nD若m，mn，則n答案B分析本題考查空間中平行關(guān)系與垂直關(guān)系依據(jù)線面位置關(guān)系的定義及判定性質(zhì)定理求解解析對(duì)于A，m，n，則m、n的關(guān)系是平行，相交，異面，故A不正確；對(duì)于B，由直線與平面垂直的定義知正確；對(duì)于C，n可能在平面內(nèi)；對(duì)于D，n，n與斜交，n，n都有可能點(diǎn)評(píng)這類題目常借助于多面體(如正方體)進(jìn)行判斷，實(shí)際解答時(shí)只要能確定選項(xiàng)即可，不必逐一判斷方法點(diǎn)撥解決空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系的組合判斷題，主要是根據(jù)平面的基本性質(zhì)、空間位置關(guān)系的各種情況，以及空間線面垂直、平行關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理進(jìn)行判斷，必要時(shí)可以利用正方體、長(zhǎng)方體、棱錐等幾何模型輔助判斷，同時(shí)要注意平面幾何中的結(jié)論不能完全移植到立體幾何中5(文)(20xx·太原市一模)已知某空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是()A. B.C. D.答案C解析 由三視圖知，該幾何體是如圖所示的四棱錐PABCD，其中底面ABCD是正方形，側(cè)面PAB是等邊三角形，且側(cè)面PAB底面ABCD，故其體積V×22×.(理)(20xx·安徽文，9)一個(gè)四面體的三視圖如圖所示，則該四面體的表面積是()A1B12C2D2答案C解析考查1.幾何體的三視圖；2.錐體的體積公式由該幾何體的三視圖可知，該幾何體的直觀圖如下圖所示：其中側(cè)面PAC底面ABC，且PACBAC，由三視圖中所給數(shù)據(jù)可知：PAPCABBC，取AC中點(diǎn)O，連接PO，BO，則RtPOB中，POBO1PB，S(··)·2(·2·1)·22，故選C.6(文)(20xx·廣東理，8)若空間中n個(gè)不同的點(diǎn)兩兩距離都相等，則正整數(shù)n的取值()A至多等于3B至多等于4C等于5D大于5答案B解析n4時(shí)為正四面體，正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)是兩兩距離相等的；n5時(shí)為四棱錐，側(cè)面為正三角形，底面為菱形，且對(duì)角線長(zhǎng)與邊長(zhǎng)應(yīng)相等，這不可能因此空間中n個(gè)不同的點(diǎn)兩兩距離都相等，則正整數(shù)n的取值至多等于4，故選B.(理)(20xx·海淀區(qū)期末)若空間中有n(n5)個(gè)點(diǎn)，滿足任意四點(diǎn)都不共面，且任意兩點(diǎn)的連線都與其余任意三點(diǎn)確定的平面垂直，則這樣的n值()A不存在B有無數(shù)個(gè)C等于5D最大值為8答案C解析當(dāng)五點(diǎn)為正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)和對(duì)稱中心時(shí)，符合任意四點(diǎn)都不共面和任意兩點(diǎn)的連線都與其余三點(diǎn)的連線所確定的平面垂直的條件，假設(shè)當(dāng)n6時(shí)也滿足題意，不妨設(shè)其中的6個(gè)點(diǎn)為A，B，C，D，E，F(xiàn)，則AB平面CDE，AB平面CDF，又因?yàn)槠矫鍯DF平面CDECD，所以平面CDF與平面CDE重合，C，D，E，F(xiàn)四點(diǎn)共面，與題意相矛盾，所以n5，故選C.7(文)設(shè)m、n是不同的直線，、是不同的平面，有以下四個(gè)命題：m m其中，真命題是()ABCD答案C解析正確，平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行；錯(cuò)誤，由線面平行、垂直定理知：m不一定垂直于；正確，由線面平行，垂直關(guān)系判斷正確；錯(cuò)誤，m也可能在內(nèi)綜上所述，正確的命題是，故選C.(理)已知A、B是兩個(gè)不同的點(diǎn)，m、n是兩條不重合的直線，、是兩個(gè)不重合的平面，給出下列4個(gè)命題：若mnA，A，Bm，則B；若m，Am，則A；若m，m，則；若m，n，mn，則，其中真命題為()ABCD答案C解析m，m上的點(diǎn)都在平面內(nèi)，又Am，A，對(duì)；由二面垂直的判定定理知，正確8(文)如圖，正方體ABCDA1B1C1D1中，E是棱B1C1的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在底面ABCD內(nèi)，且PA1A1E，則點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)形成的圖形是()A線段B圓弧C橢圓的一部分D拋物線的一部分答案B解析|AP|B1E|(定值)，故點(diǎn)P在底面ABCD內(nèi)運(yùn)動(dòng)形成的圖形是圓弧(理)正方體ABCDA1B1C1D1中，M為CC1的中點(diǎn)，P在底面ABCD內(nèi)運(yùn)動(dòng)，且滿足DPD1CPM，則點(diǎn)P的軌跡為()A圓的一部分B橢圓的一部分C雙曲線的一部分D拋物線的一部分答案A解析由DPD1CPM得，2，在平面ABCD內(nèi)，以D為原點(diǎn)，DA、DC分別為x軸、y軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)DC1，P(x，y)，PD2PC，2，整理得x2(y)2，所以，軌跡為圓的一部分，故選A.9(文)已知、是兩個(gè)不同的平面，m、n是兩條不重合的直線，下列命題中正確的是()A若m，n，則mnB若m，mn，則nC若m，n，則mnD若，n，mn，則m答案C解析對(duì)于選項(xiàng)A，m，n有可能平行也有可能異面；對(duì)于選項(xiàng)B，n有可能在平面內(nèi)，所以n與平面不一定平行；對(duì)于選項(xiàng)D，m與的位置關(guān)系可能是m，m，也可能m與相交由n，得，n或n，又m，mn，故C正確(理)已知矩形ABCD，AB1，BC.將ABD沿矩形的對(duì)角線BD所在的直線進(jìn)行翻折，在翻折過程中()A存在某個(gè)位置，使得直線AC與直線BD垂直B存在某個(gè)位置，使得直線AB與直線CD垂直C存在某個(gè)位置，使得直線AD與直線BC垂直D對(duì)任意位置，三對(duì)直線“AC與BD”，“AB與CD”，“AD與BC”均不垂直答案B解析過A、C作BD的垂線AE、CF，AB與BC不相等，E與F不重合，在空間圖(2)中，若ACBD，ACAEA，BD平面ACE，BDCE，這樣在平面BCD內(nèi)，過點(diǎn)C有兩條直線CE、CF都與BD垂直矛盾，A錯(cuò)；若ABCD，ABAD，AB平面ACD，ABAC，AB<BC，存在這樣的三角形ABC，ABAC，ABAC，B選項(xiàng)正確，選項(xiàng)D錯(cuò)；若ADBC，又CDBC，BC平面ACD，BCAC，BC>AB，這樣的ABC不存在，C錯(cuò)誤10(文)已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1，AB2，CC12，E為CC1的中點(diǎn)，則直線AC1與平面BED的距離為()A2B.C.D1答案D解析本題考查了正四棱柱的性質(zhì)，點(diǎn)到直線距離的求解連接AC、BD，ACBDO，連接EO，則EOAC1.則點(diǎn)C到平面BDE的距離等于AC1到平面BDE的距離，過C作CHOE于H，CH為所求在EOC中，EC，CO，所以CH1.本題解答體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸的思想，注意等積法的使用(理)已知四棱錐PABCD的側(cè)棱長(zhǎng)與底面邊長(zhǎng)都相等，點(diǎn)E是側(cè)棱PB的中點(diǎn)，則異面直線AE與PD所成角的余弦值為()A. B.C. D.答案C解析設(shè)AC與BD的交點(diǎn)為O，棱錐的各棱長(zhǎng)都相等，O為BD中點(diǎn)，EOPD，AEO為異面直線AE與PD所成的角，設(shè)棱長(zhǎng)為1，則AO，EO，AE，AO2EO2AE2，cosAEO.二、填空題11a、b表示直線，、表示平面若a，b，ab，則；若a，a垂直于內(nèi)任意一條直線，則；若，a，b，則ab；若a不垂直于平面，則a不可能垂直于平面內(nèi)無數(shù)條直線；若l，m，lmA，l，m，則.其中為真命題的是_答案解析對(duì)可舉反例如圖，需b才能推出.對(duì)可舉反例說明，當(dāng)不與，的交線垂直時(shí)，即可得到a，b不垂直；對(duì)a只需垂直于內(nèi)一條直線便可以垂直內(nèi)無數(shù)條與之平行的直線所以只有是正確的12(文)已知三棱柱ABCA1B1C1底面是邊長(zhǎng)為的正三角形，側(cè)棱垂直于底面，且該三棱柱的外接球表面積為12，則該三棱柱的體積為_答案3解析4R212，R，ABC外接圓半徑r，柱高h(yuǎn)22，體積V×()2×23.(理)已知正方體ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)P是線段A1C1上的動(dòng)點(diǎn)，則四棱錐PABCD的外接球半徑R的取值范圍是_答案解析當(dāng)P為A1C1的中點(diǎn)時(shí)，設(shè)球半徑為R，球心到底面ABCD距離為h，則，R，當(dāng)P與A1(或C1)重合時(shí)，外接球就是正方體的外接球，R，R，三、解答題13(文)如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面ABC為正三角形，M、N、G分別是棱CC1、AB、BC的中點(diǎn)且CC1AC.(1)求證：CN平面AMB1；(2)求證：B1M平面AMG.證明(1)如圖取線段AB1的中點(diǎn)P，連接NP、MP，CM綊BB1，NP綊BB1，CM綊NP，四邊形CNPM是平行四邊形CNMP.CN平面AMB1，MP平面AMB1，CN平面AMB1.(2)CC1平面ABC，平面CC1B1B平面ABC，AGBC，AG平面CC1B1B，B1MAG.CC1平面ABC，平面A1B1C1平面ABC，CC1AC，CC1B1C1，設(shè)AC2a，則CC12a，在RtMCA中，AMa.在RtB1C1M中，B1Ma.BB1CC1，BB1平面ABC，BB1AB，AB12a.AM2B1M2AB，B1MAM.又AGAMA，B1M平面AMG.(理)如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1平面ABC，ABBC，且ABBC2，點(diǎn)N為B1C1的中點(diǎn)，點(diǎn)P在棱A1C1上運(yùn)動(dòng)(1)試問點(diǎn)P在何處時(shí)，AB平面PNC，并證明你的結(jié)論； (2)在(1)的條件下，若AA1<AB，直線B1C與平面BCP所成角的正弦值為，求二面角ABPC的大小. 解析(1)當(dāng)點(diǎn)P為A1C1的中點(diǎn)時(shí)，AB平面PNC.P為A1C1的中點(diǎn)，N為B1C1的中點(diǎn)，PNA1B1ABAB平面PNC，PN平面PNC，AB平面PNC.(2)設(shè)AA1m，則m<2，AB、BC、BB1兩兩垂直，以B為原點(diǎn)，BA、BC，BB1為x軸、y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A(2,0,0)，C(0,2,0)，B1(0,0，m)，A1(2,0，m)，C1(0,2，m)，P(1,1，m)，設(shè)平面BCP的法向量n(x，y，z)，則由n·0，n·0，解得y0，xmz，令z1，則n(m,0,1)，又(0,2，m)，直線B1C與平面BCP所成角正弦值為，解之得m1n(1,0,1)易求得平面ABP的法向量n1(0，1,1)cos，設(shè)二面角的平面角為，則cos，120°.方法點(diǎn)撥1.要證線面平行，先在平面內(nèi)找一條直線與已知直線平行，或找一個(gè)經(jīng)過已知直線與已知平面相交的平面，找出交線，證明二線平行2要證線線平行，可考慮公理4或轉(zhuǎn)化為線面平行3要證線面垂直可轉(zhuǎn)化為證明線線垂直，應(yīng)用線面垂直的判定定理與性質(zhì)定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化14(文)(20xx·東北三校二模) 如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面ABC為等邊三角形，AB4，AA15，點(diǎn)M是BB1的中點(diǎn)(1)求證：平面A1MC平面AA1C1C；(2)求點(diǎn)A到平面A1MC的距離解析(1)證明：記AC1與A1C的交點(diǎn)為E.連接ME.直三棱柱ABCA1B1C1中，底面ABC為等邊三角形，AB4，AA15，點(diǎn)M是BB1的中點(diǎn)，MA1MAMC1MC .因?yàn)辄c(diǎn)E是AC1、A1C的中點(diǎn)，所以MEA1C且MEAC1，從而ME平面AA1C1C.因?yàn)镸E平面A1MC，所以平面A1MC平面AA1C1C.(2)過點(diǎn)A作AHA1C于點(diǎn)H，由(1)知平面A1MC平面AA1C1C，平面A1MC平面AA1C1CA1C，AH平面AA1C1CAH即為點(diǎn)A到平面A1MC的距離在A1AC中，A1AC90°，A1A5，AC4，A1C，AH即點(diǎn)A到平面A1MC的距離為.(理)(20xx·邯鄲市二模)如圖，在等腰梯形CDFE中，A，B分別為底邊DF，CE的中點(diǎn)，AD2AB2BC2，沿AE將AEF折起，使二面角FAEC為直二面角，連接CF，DF.(1)證明：平面ACF平面AEF; (2)求點(diǎn)D到平面ACF的距離解析在等腰梯形CDFE中，由已知條件可得，CDACAEEF，AFAD2，所以，AE2EF2AF2，EFEA；同理可證，DCAC，AEAC；在四棱錐FAECD中，二面角FAEC為直二面角，平面AEF平面AECD，EF平面AECD，AC平面AECD，ACEF，又ACAE，AC平面AEF，平面ACF平面AEF.(2)點(diǎn)D到平面ACF的距離即三棱錐DACF的高，因?yàn)閂DACFVFACD，ABBC1，所以AC，AF2且ACAF，所以SACF××2又因?yàn)锳CCD且ACCD 所以SACD××1，EF.所以××d×1×，所以d1.方法點(diǎn)撥解決與折疊有關(guān)的問題，關(guān)鍵是搞清折疊前后的位置與數(shù)量關(guān)系的變化量與不變量，對(duì)比找出平面圖形與折疊后的空間圖形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系15(文)(20xx·河南省高考適應(yīng)性測(cè)試)如圖1所示，在RtABC中，AC6，BC3，ABC90°，CD為ACB的平分線，點(diǎn)E在線段AC上，CE4.如圖2所示，將BCD沿CD折起，使得平面BCD平面ACD，連接AB.(1)求證：DE平面BCD；(2)求三棱錐ABDE的體積解析(1)在圖1中， AC6，BC3，ABC90°，ACB60°.因?yàn)镃D為ACB的平分線，所以BCDACD30°，CD2CE4，DCE30°，DE2. 則CD2DE2EC2，所以CDE90°，DEDC.又因?yàn)槠矫鍮CD平面ACD，平面BCD平面ACDCD，DE平面ACD，所以DE平面BCD.(2)在圖2中，作BHCD于H，因?yàn)槠矫鍮CD平面ACD，平面BCD平面ACDCD，BH平面BCD，所以BH平面ACD.在圖1中，由條件得BH所以三棱錐ABDE的體積VABDEVBADESADE·BH××2×2sin120°×.(理)(20xx·遼寧葫蘆島市一模) 如圖，圓柱的軸截面ABCD是正方形，點(diǎn)E在底面的圓周上，BFAE，F(xiàn)是垂足(1)求證：BFAC；(2)若CE1，CBE30°，求三棱錐FBCE的體積解析(1)證明：AB平面BEC，CE平面BEC，ABCEBC為圓的直徑 BECEBE平面ABE，AB平面ABE，BEABBCE平面ABEBF平面ABECEBF又BFAE，且CEAEEBF平面AEC，AC平面AECBFAC.(2)在RtBEC中，CE1，CBE30°，BE，BC2又ABCD為正方形，AB2，AEBFEFVFBCEVCBEF·SBEF·CE··EF·BF·CE····1.方法點(diǎn)撥線面、線線垂直與平行的位置關(guān)系在面面平行與垂直位置關(guān)系的證明中起著承上啟下的橋梁作用，依據(jù)線面、面面位置關(guān)系的判定定理與性質(zhì)定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決這類問題的關(guān)鍵證明面面平行主要依據(jù)判定定理，證明面面垂直時(shí)，關(guān)鍵是從現(xiàn)有直線中找一條直線與其中一個(gè)平面垂直，若圖中不存在這樣的直線應(yīng)借助添加中線、高線等方法解決16(文)(20xx·山西太原市一模) 如圖，在底面是正三角形的直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1AB2，D是BC的中點(diǎn)(1)求證：A1C平面AB1D；(2)求點(diǎn)A1到平面AB1D的距離解析(1)證明：連接A1B，交AB1于點(diǎn)O，連接OD，ABCA1B1C1是直三棱柱，ABB1A1是平行四邊形，O是A1B的中點(diǎn)，D是BC的中點(diǎn)，ODA1C，OD平面AB1D，A1C平面AB1D，A1C平面AB1D；(2)由(1)知，O是A1B的中點(diǎn)，點(diǎn)A1到平面AB1D的距離等于點(diǎn)B到平面AB1D的距離，ABCA1B1C1是直三棱柱，BB1平面ABC，平面BCC1B1平面ABC，B1D.ABC是正三角形，D是BC的中點(diǎn)，ADBC，AD平面BCC1B1，ADB1D，設(shè)點(diǎn)B到平面AB1D的距離為d，VB1ABDVBAB1D，SABD·BB1SAB1D·d，d.點(diǎn)A1到平面AB1D的距離為.(理)如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD為直角梯形，ADBC，ADC90°，平面PAD底面ABCD，E為AD的中點(diǎn)，M是棱PC的中點(diǎn)，PAPD2，BCAD1，CD.(1)求證：PE平面ABCD；(2)求直線BM與平面ABCD所成角的正切值；(3)求直線BM與CD所成角的余弦值解析(1)PAPD，E為AD的中點(diǎn)，PEAD，又平面PAD平面ABCD，且平面PAD平面ABCDAD，PE平面ABCD.(2)連接EC，取EC中點(diǎn)H，連接MH，HB，M是PC的中點(diǎn)，H是EC的中點(diǎn)，MHPE，由(1)知PE平面ABCD，MH平面ABCD，HB是BM在平面ABCD內(nèi)的射影，MBH即為BM與平面ABCD所成的角ADBC，BCAD，E為AD的中點(diǎn)，ADC90°，四邊形BCDE為矩形，又CD，EC2，HBEC1，又MHPE，MHB中，tanMBH，直線BM與平面ABCD所成角的正切值為.(3)由(2)知CDBE，直線BM與CD所成角即為直線BM與BE所成角，連接ME，在RtMHE中，ME，在RtMHB中，BM，又BECD，MEB中，cosMBE，直線BM與CD所成角的余弦值為.