高中數(shù)學(xué)講義微專題10函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)問題

微專題10 函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)問題一、知識點(diǎn)講解與分析：1、零點(diǎn)的定義：一般地，對于函數(shù)，我們把方程的實(shí)數(shù)根稱為函數(shù)的零點(diǎn)2、函數(shù)零點(diǎn)存在性定理：設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且，那么在開區(qū)間內(nèi)至少有函數(shù)的一個零點(diǎn)，即至少有一點(diǎn)，使得。（1）在上連續(xù)是使用零點(diǎn)存在性定理判定零點(diǎn)的前提（2）零點(diǎn)存在性定理中的幾個“不一定”（假設(shè)連續(xù)） 若，則的零點(diǎn)不一定只有一個，可以有多個 若，那么在不一定有零點(diǎn) 若在有零點(diǎn)，則不一定必須異號3、若在上是單調(diào)函數(shù)且連續(xù)，則在的零點(diǎn)唯一4、函數(shù)的零點(diǎn)，方程的根，兩圖像交點(diǎn)之間的聯(lián)系 設(shè)函數(shù)為，則的零點(diǎn)即為滿足方程的根，若,則方程可轉(zhuǎn)變?yōu)?，即方程的根在坐?biāo)系中為交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，其范圍和個數(shù)可從圖像中得到。 由此看來，函數(shù)的零點(diǎn)，方程的根，兩圖像的交點(diǎn)這三者各有特點(diǎn)，且能相互轉(zhuǎn)化，在解決有關(guān)根的問題以及已知根的個數(shù)求參數(shù)范圍這些問題時要用到這三者的靈活轉(zhuǎn)化。（詳見方法技巧）二、方法與技巧：1、零點(diǎn)存在性定理的應(yīng)用：若一個方程有解但無法直接求出時，可考慮將方程一邊構(gòu)造為一個函數(shù)，從而利用零點(diǎn)存在性定理將零點(diǎn)確定在一個較小的范圍內(nèi)。例如：對于方程，無法直接求出根，構(gòu)造函數(shù)，由即可判定其零點(diǎn)必在中2、函數(shù)的零點(diǎn)，方程的根，兩函數(shù)的交點(diǎn)在零點(diǎn)問題中的作用（1）函數(shù)的零點(diǎn)：工具：零點(diǎn)存在性定理作用：通過代入特殊值精確計(jì)算，將零點(diǎn)圈定在一個較小的范圍內(nèi)。缺點(diǎn)：方法單一，只能判定零點(diǎn)存在而無法判斷個數(shù)，且能否得到結(jié)論與代入的特殊值有關(guān)（2）方程的根：工具：方程的等價變形作用：當(dāng)所給函數(shù)不易于分析性質(zhì)和圖像時，可將函數(shù)轉(zhuǎn)化為方程，從而利用等式的性質(zhì)可對方程進(jìn)行變形，構(gòu)造出便于分析的函數(shù)缺點(diǎn)：能夠直接求解的方程種類較少，很多轉(zhuǎn)化后的方程無法用傳統(tǒng)方法求出根，也無法判斷根的個數(shù)（3）兩函數(shù)的交點(diǎn)：工具：數(shù)形結(jié)合作用：前兩個主要是代數(shù)運(yùn)算與變形，而將方程轉(zhuǎn)化為函數(shù)交點(diǎn)，是將抽象的代數(shù)運(yùn)算轉(zhuǎn)變?yōu)閳D形特征，是數(shù)形結(jié)合的體現(xiàn)。通過圖像可清楚的數(shù)出交點(diǎn)的個數(shù)（即零點(diǎn)，根的個數(shù)）或者確定參數(shù)的取值范圍。缺點(diǎn)：數(shù)形結(jié)合能否解題，一方面受制于利用方程所構(gòu)造的函數(shù)（故當(dāng)方程含參時，通常進(jìn)行參變分離，其目的在于若含的函數(shù)可作出圖像，那么因?yàn)榱硗庖粋€只含參數(shù)的圖像為直線，所以便于觀察），另一方面取決于作圖的精確度，所以會涉及到一個構(gòu)造函數(shù)的技巧，以及作圖時速度與精度的平衡（作圖問題詳見：1.7 函數(shù)的圖像）3、在高中階段主要考察三個方面：（1）零點(diǎn)所在區(qū)間零點(diǎn)存在性定理，（2）二次方程根分布問題，（3）數(shù)形結(jié)合解決根的個數(shù)問題或求參數(shù)的值。其中第（3）個類型常要用到函數(shù)零點(diǎn)，方程，與圖像交點(diǎn)的轉(zhuǎn)化，請通過例題體會如何利用方程構(gòu)造出函數(shù)，進(jìn)而通過圖像解決問題的。三、例題精析：例1：直線與函數(shù)的圖象有三個相異的交點(diǎn)，則的取值范圍為 ()A B C D思路：考慮數(shù)形結(jié)合，先做出的圖像，令可解得：或，故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，函數(shù)的極大值為，極小值為，做出草圖。而為一條水平線，通過圖像可得，介于極大值與極小值之間，則有在三個相異交點(diǎn)?？傻茫捍鸢福篈小煉有話說：作圖時可先作常系數(shù)函數(shù)圖象，對于含有參數(shù)的函數(shù)，先分析參數(shù)所扮演的角色，然后數(shù)形結(jié)合，即可求出參數(shù)范圍。例2：設(shè)函數(shù)，若關(guān)于的方程在上恰有兩個相異實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_思路：方程等價于：，即函數(shù)與的圖像恰有兩個交點(diǎn)，分析的單調(diào)性并作出草圖： 令解得： 在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，由圖像可得，水平線位于之間時，恰好與有兩個不同的交點(diǎn)。 答案：小煉有話說：（1）本題中的方程為，在構(gòu)造函數(shù)時，進(jìn)行了與的分離，此法的好處在于一側(cè)函數(shù)圖像為一條曲線，而含參數(shù)的函數(shù)圖像由于不含所以為一條水平線，便于上下平移，進(jìn)行數(shù)形結(jié)合。由此可得：若關(guān)于的函數(shù)易于作出圖像，則優(yōu)先進(jìn)行參變分離。所以在本題中將方程轉(zhuǎn)變?yōu)?，?gòu)造函數(shù)并進(jìn)行數(shù)形結(jié)合。（2）在作出函數(shù)草圖時要注意邊界值是否能夠取到，數(shù)形結(jié)合時也要注意能否取到邊界值。例3：已知函數(shù)，若函數(shù)有三個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）A. B. C. D.思路：函數(shù)有三個零點(diǎn)，等價于方程有三個不同實(shí)數(shù)根，進(jìn)而等價于與圖像有三個不同交點(diǎn)，作出的圖像，則的正負(fù)會導(dǎo)致圖像不同，且會影響的位置，所以按進(jìn)行分類討論，然后通過圖像求出的范圍為。答案：D小煉有話說：（1）本題體現(xiàn)了三類問題之間的聯(lián)系：即函數(shù)的零點(diǎn)方程的根函數(shù)圖象的交點(diǎn)，運(yùn)用方程可進(jìn)行等式的變形進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)進(jìn)行數(shù)形結(jié)合，解決這類問題要選擇合適的函數(shù)，以便于作圖，便于求出參數(shù)的取值范圍為原則。（2）本題所求在圖像中扮演兩個角色，一方面決定左側(cè)圖像直線的傾斜角，另一方面決定水平線的位置與軸的關(guān)系，所以在作圖時要兼顧這兩方面，進(jìn)行數(shù)形結(jié)合。例4：已知函數(shù)滿足，當(dāng)，若在區(qū)間內(nèi)，函數(shù)有三個不同零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）A B. C D思路：，當(dāng)時，所以，而有三個不同零點(diǎn)與有三個不同交點(diǎn)，如圖所示，可得直線應(yīng)在圖中兩條虛線之間，所以可解得：答案：B小煉有話說：本題有以下兩個亮點(diǎn)。（1）如何利用 ，已知的解析式求的解析式。（2）參數(shù)的作用為直線的斜率，故數(shù)形結(jié)合求出三個交點(diǎn)時的范圍例5：已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時，則函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)為（ ）A 4 B6 C8 D10思路：由為偶函數(shù)可得：只需作出正半軸的圖像，再利用對稱性作另一半圖像即可，當(dāng)時，可以利用利用圖像變換作出圖像，時，即自變量差2個單位，函數(shù)值折半，進(jìn)而可作出，的圖像，的零點(diǎn)個數(shù)即為根的個數(shù)，即與的交點(diǎn)個數(shù)，觀察圖像在時，有5個交點(diǎn)，根據(jù)對稱性可得時，也有5個交點(diǎn)。共計(jì)10個交點(diǎn)答案：D小煉有話說：（1）類似函數(shù)的周期性，但有一個倍數(shù)關(guān)系。依然可以考慮利用周期性的思想，在作圖時，以一個“周期”圖像為基礎(chǔ)，其余各部分按照倍數(shù)調(diào)整圖像即可（2）周期性函數(shù)作圖時，若函數(shù)圖像不連續(xù)，則要注意每個周期的邊界值是屬于哪一段周期，在圖像中要準(zhǔn)確標(biāo)出，便于數(shù)形結(jié)合。（3）巧妙利用的奇偶性，可以簡化解題步驟。例如本題中求交點(diǎn)個數(shù)時，只需分析正半軸的情況，而負(fù)半軸可用對稱性解決例6：對于函數(shù)，若在定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù)x，滿足，稱為“局部奇函數(shù)”，若為定義域R上的“局部奇函數(shù)”，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 思路：由“局部奇函數(shù)”可得： ，整理可得：，考慮到，從而可將視為整體，方程轉(zhuǎn)化為：，利用換元設(shè)（），則問題轉(zhuǎn)化為只需讓方程存在大于等于2的解即可，故分一個解和兩個解來進(jìn)行分類討論。設(shè)。（1）若方程有一個解，則有相切（切點(diǎn)大于等于2）或相交（其中交點(diǎn)在兩側(cè)），即或，解得：或（2）若方程有兩解，則，解得：，綜上所述：答案：A小煉有話說：本題借用“局部奇函數(shù)”概念，實(shí)質(zhì)為方程的根的問題，在化簡時將視為整體，進(jìn)而將原方程進(jìn)行轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化為關(guān)于的二次方程，將問題轉(zhuǎn)化為二次方程根分布問題，進(jìn)行求解。例7：已知函數(shù)的圖像為上的一條連續(xù)不斷的曲線，當(dāng)時，則關(guān)于的函數(shù)的零點(diǎn)的個數(shù)為（ ）A0 B1 C2 D0或2思路：，結(jié)合的零點(diǎn)個數(shù)即為方程，結(jié)合條件中的不等式，可將方程化為，可設(shè)，即只需求出的零點(diǎn)個數(shù)，當(dāng) 時，即在上單調(diào)遞增；同理可得：在上單調(diào)遞減，故，所以不存在零點(diǎn)。答案：A小煉有話說：（1）本題由于解析式未知，故無法利用圖像解決，所以根據(jù)條件考慮構(gòu)造函數(shù)，利用單調(diào)性與零點(diǎn)存在性定理進(jìn)行解決。（2）所給不等式呈現(xiàn)出輪流求導(dǎo)的特點(diǎn)，猜想可能是符合導(dǎo)數(shù)的乘法法則，變形后可得，而的零點(diǎn)問題可利用方程進(jìn)行變形，從而與條件中的相聯(lián)系，從而構(gòu)造出例8：定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)滿足對，有，且當(dāng)時，若函數(shù)在上至少有三個零點(diǎn)，則的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 思路：體現(xiàn)的是間隔2個單位的自變量，其函數(shù)值差，聯(lián)想到周期性，考慮先求出的值，由為偶函數(shù)，可令，得 ， 為周期是2的周期函數(shù)。已知條件中函數(shù)有三個零點(diǎn)，可將零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為方程即至少有三個根，所以與有三個交點(diǎn)。先利用在的函數(shù)解析式及周期性對稱性作圖，通過圖像可得：時，不會有3個交點(diǎn)，考慮的圖像。設(shè)，則，利用圖像變換作圖，通過觀察可得：只需當(dāng)時，的圖像在上方即可，即 所以答案：B小煉有話說：本題有以下幾個亮點(diǎn)：（1）的周期性的判定： 可猜想與周期性有關(guān)，可帶入特殊值，解出，進(jìn)而判定周期，配合對稱性作圖（2）在選擇出交點(diǎn)的函數(shù)時，若要數(shù)形結(jié)合，則要選擇能夠做出圖像的函數(shù)，例如在本題中，的圖像可做，且可通過圖像變換做出例9：已知定義在上的函數(shù)滿足，當(dāng)時，其中，若方程恰有三個不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 思路：由可得，即的周期為，所解方程可視為與的交點(diǎn)，而的作用為影響圖像直線的斜率，也絕對此段的最值（），先做出的圖像，再根據(jù)三個交點(diǎn)的條件作出的圖像（如圖），可發(fā)現(xiàn)只要在處，的圖像高于圖像且在處的圖像低于圖像即可。所以有 ，即 答案：B例10：（2014甘肅天水一中五月考）已知函數(shù) 的圖像上關(guān)于軸對稱的點(diǎn)至少有3對，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 思路：考慮設(shè)對稱點(diǎn)為，其中，則問題轉(zhuǎn)化為方程至少有三個解。即有三個根，所以問題轉(zhuǎn)化為與有三個交點(diǎn)，先做出的圖像，通過觀察可知若與其有三個交點(diǎn)，則，進(jìn)一步觀察圖像可得：只要，則滿足題意，所以，所以 答案：A三、近年模擬題題目精選：1、已知是以為周期的偶函數(shù)，當(dāng)時，那么在區(qū)間內(nèi)，關(guān)于的方程有個根，則的取值范圍是( )A或 B C或 D2、（2014吉林九校聯(lián)考二模，16）若直角坐標(biāo)平面內(nèi)A,B兩點(diǎn)滿足條件：點(diǎn)都在函數(shù)的圖像上；點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，則稱是函數(shù)的一個“姊妹點(diǎn)對”（與可看作同一點(diǎn)對），已知，則的“姊妹點(diǎn)對”有_個3、（2015，天津）已知函數(shù) 函數(shù) ，其中，若函數(shù) 恰有4個零點(diǎn)，則的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 4、（2015，湖南）已知，若存在實(shí)數(shù)，使函數(shù)有兩個零點(diǎn)，則的取值范圍是_5、（2014，新課標(biāo)全國卷I）已知函數(shù)，若存在唯一的零點(diǎn)，且，則的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 6、（2014，山東）已知函數(shù)，若方程有兩個不相等的實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 7、（2014，天津）已知函數(shù)，若方程恰有4個互異的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_8、（2015，江蘇）已知函數(shù)，則方程實(shí)根的個數(shù)為_9、已知函數(shù)，若存在唯一的零點(diǎn)，且 ，則的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 10、對于函數(shù)，設(shè)，若存在使得，則稱與互為“零點(diǎn)關(guān)聯(lián)函數(shù)”，若函數(shù)與互為“零點(diǎn)關(guān)聯(lián)函數(shù)”，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 11、已知偶函數(shù)滿足對任意，均有且，若方程恰有5個實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .12、（2016，河南中原第一次聯(lián)考）已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恰有9個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的值為_13、（2014，四川）已知函數(shù)為自然對數(shù)的底數(shù)（1）設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，求函數(shù)在區(qū)間上的最小值（2）若，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，求的取值范圍習(xí)題答案：1、答案：B解析：根據(jù)周期性和對稱性可作出的圖像，直線過定點(diǎn)結(jié)合圖像可得：若內(nèi)有四個根，可知。若直線與在相切，聯(lián)立方程：，令可得：，當(dāng)時，解得，綜上所述：2、答案：2解析：關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩個點(diǎn)為和，不妨設(shè)，則有，從而，所以“姊妹點(diǎn)對”的個數(shù)為方程的個數(shù)，即曲線與的交點(diǎn)個數(shù)，作出圖像即可得有兩個交點(diǎn)3、答案：D解析：由得，所以，即,所以恰有4個零點(diǎn)等價于方程有4個不同的解，即函數(shù)與函數(shù)的圖象的4個公共點(diǎn)，由圖象可知.4、答案：解析：由兩個零點(diǎn)，即方程有兩個根，從而與 有兩個交點(diǎn)?？稍谕恢苯亲鴺?biāo)系下作出，觀察圖像可得：時，水平線與有兩個交點(diǎn)，故符合題意；當(dāng)時，為增函數(shù)，所以最多只有一個零點(diǎn)，不符題意；當(dāng)時，存在水平線與分別有一個交點(diǎn)，共兩個符合題意。綜上所述： 5、答案：C解析：，令，依題意可知與應(yīng)在有唯一交點(diǎn)且位于的區(qū)域。設(shè)，所以，則在單增，在單減，作出圖像可知只有當(dāng)時，與有唯一交點(diǎn)，且在的區(qū)域。6、答案：B解析：方法一：方程有兩個不等實(shí)根可轉(zhuǎn)化為函數(shù)與的圖像有兩個不同交點(diǎn)，其中為直線的斜率。通過數(shù)形結(jié)合即可得到 方法二：本題還可以先對方程進(jìn)行變形，再進(jìn)行數(shù)形結(jié)合，中顯然不是方程的解，當(dāng)時，設(shè) ，則問題轉(zhuǎn)化為與交點(diǎn)為2個。作出圖像后即可觀察到的范圍7、答案： 解析：方程為：，顯然不是方程的解，所以時，即，令，則與有4個交點(diǎn)即可，作出圖像數(shù)形結(jié)合即可得到8、答案：4解析：方程等價于，即或共多少個根，數(shù)形結(jié)合可得：與有兩個交點(diǎn)；，同理可得與有兩個交點(diǎn)，所以共計(jì)個9、答案：C解析：，令，依題意可知只有一個零點(diǎn)且，即與只有一個在橫軸正半軸的交點(diǎn)?？芍跍p，在增， 作出圖像可得只有時，與只有一個在橫軸正半軸的交點(diǎn)。10、答案：C解析：先從入手，可知為單增函數(shù)，且，所以有唯一零點(diǎn)，即；所以，即在有零點(diǎn)?？紤]方程，即 與在有公共點(diǎn)即可，數(shù)形結(jié)合可得：11、答案：解析：當(dāng)時，方程恰有5個解方程有兩個解且方程無解，考慮這兩個方程的判別式可得；由對稱性，當(dāng)時，方程恰有5個解的范圍是；所以的取值范圍是12、答案：解析：由，得，即設(shè)，令，則考察的函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)，即如下圖所示為，的圖象，易知：（1）方程的一個根為1，另一個根為時，在內(nèi)有三個零點(diǎn)，此時，解得；（1）方程的一個根為1，另一個根為時，在內(nèi)有三個零點(diǎn)，此時，解得綜上可知當(dāng)時，在內(nèi)有3個解再由可知，綜上可知，13、解析：（1） 當(dāng)時， 當(dāng)時， 單調(diào)遞增 當(dāng)時在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增 當(dāng)時，單調(diào)遞減 綜上所述：時，時，時，（2）且在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn).在不單調(diào)，且至少有兩個極值點(diǎn)在至少有兩個零點(diǎn)由（1）可得：若或，則在單調(diào)，至多一個零點(diǎn)，均不符題意 在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增 由可得：，代入到不等式組可得：由下面判斷：時，是否恒成立設(shè) 令解得： 在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減 在時恒成立 - 18 -