新版數(shù)學理一輪對點訓練：642 數(shù)列的綜合應用 Word版含解析

1 11若a，b是函數(shù)f(x)x2pxq(p>0，q>0)的兩個不同的零點，且a，b，2這三個數(shù)可適當排序后成等差數(shù)列，也可適當排序后成等比數(shù)列，則pq的值等于()A6 B7C8 D9答案D解析由題可知a，b是x2pxq0的兩根，abp>0，abq>0，故a，b均為正數(shù)a，b，2適當排序后成等比數(shù)列，2是a，b的等比中項，得ab4，q4.又a，b，2適當排序后成等差數(shù)列，所以2是第一項或第三項，不防設a<b，則2，a，b成遞增的等差數(shù)列，2ab2，聯(lián)立消去b得a2a20，得a1或a2，又a>0，a1，此時b4，pab5，pq9，選D.2.設Sn為等比數(shù)列an的前n項和若a11，且3S1,2S2，S3成等差數(shù)列，則an_.答案3n1解析由3S1,2S2，S3成等差數(shù)列，得4S23S1S3，即3S23S1S3S2，則3a2a3，得公比q3，所以ana1qn13n1.3設Sn是數(shù)列an的前n項和，且a11，an1SnSn1，則Sn_.答案解析an1Sn1Sn，Sn1SnSn1Sn，又由a11，知Sn0，1，是等差數(shù)列，且公差為1，而1，1(n1)×(1)n，Sn.4.設nN*，xn是曲線yx2n21在點(1,2)處的切線與x軸交點的橫坐標(1)求數(shù)列xn的通項公式；(2)記Tnxxx，證明：Tn.解(1)y(x2n21)(2n2)x2n1，曲線yx2n21在點(1,2)處的切線斜率為2n2，從而切線方程為y2(2n2)(x1)令y0，解得切線與x軸交點的橫坐標xn1.(2)證明：由題設和(1)中的計算結果知Tnxxx222.當n1時，T1.當n2時，因為x2>.所以Tn>2××××.綜上可得對任意的nN*，都有Tn.5設等差數(shù)列an的公差為d，點(an，bn)在函數(shù)f(x)2x的圖象上(nN*)(1)若a12，點(a8,4b7)在函數(shù)f(x)的圖象上，求數(shù)列an的前n項和Sn；(2)若a11，函數(shù)f(x)的圖象在點(a2，b2)處的切線在x軸上的截距為2，求數(shù)列的前n項和Tn.解(1)由已知，b72a7，b82a84b7，有2a84×2a72a72.解得da8a72.所以，Snna1d2nn(n1)n23n.(2)函數(shù)f(x)2x在(a2，b2)處的切線方程為y2a2(2a2ln 2)(xa2)，它在x軸上的截距為a2.由題意，a22，解得a22.所以，da2a11.從而ann，bn2n.所以Tn，2Tn.因此，2TnTn12.所以，Tn.6已知數(shù)列an和bn滿足a1a2a3an()bn(nN*)若an為等比數(shù)列，且a12，b36b2.(1)求an與bn；(2)設cn(nN*)記數(shù)列cn的前n項和為Sn.求Sn；求正整數(shù)k，使得對任意nN*均有SkSn.解(1)由題意a1a2a3an()bn，b3b26，知a3()8，又由a12，得公比q2(q2舍去)，所以數(shù)列an的通項為an2n(nN*)所以，a1a2a3an2()n(n1)故數(shù)列bn的通項為bnn(n1)(nN*)(2)由(1)知cn(nN*)，所以Sn(nN*)因為c10，c2>0，c3>0，c4>0，當n5時，cn，而>0，得<1.所以，當n5時，cn<0.綜上，對任意nN*恒有S4Sn，故k4.7設數(shù)列an的前n項和為Sn，若對任意的正整數(shù)n，總存在正整數(shù)m，使得Snam，則稱an是“H數(shù)列”(1)若數(shù)列an的前n項和Sn2n(nN*)，證明：an是“H數(shù)列”；(2)設an是等差數(shù)列，其首項a11，公差d<0.若an是“H數(shù)列”，求d的值；(3)證明：對任意的等差數(shù)列an，總存在兩個“H數(shù)列”bn和cn，使得anbncn(nN*)成立解(1)證明：由已知，當n1時，an1Sn1Sn2n12n2n.于是對任意的正整數(shù)n，總存在正整數(shù)mn1，使得Sn2nam.所以an是“H數(shù)列”(2)由已知，得S22a1d2d.因為an是“H數(shù)列”，所以存在正整數(shù)m，使得S2am，即2d1(m1)d，于是(m2)d1.因為d<0，所以m2<0，故m1，從而d1.當d1時，an2n，Sn是小于2的整數(shù)，nN*.于是對任意的正整數(shù)n，總存在正整數(shù)m2Sn2，使得Sn2mam.所以an是“H數(shù)列”因此d的值為1.(3)證明：設等差數(shù)列an的公差為d，則ana1(n1)dna1(n1)(da1)(nN*)令bnna1，cn(n1)(da1)，則anbncn(nN*)下證bn是“H數(shù)列”設bn的前n項和為Tn，則Tna1(nN*)于是對任意的正整數(shù)n，總存在正整數(shù)m，使得Tnbm.所以bn是“H數(shù)列”同理可證cn也是“H數(shù)列”所以，對任意的等差數(shù)列an，總存在兩個“H數(shù)列”bn和cn，使得anbncn(nN*)成立