2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第2章 推理與證明 2.2 直接證明與間接證明 2.2.2 間接證明講義（含解析）蘇教版選修2-2.doc

22.2間 接 證 明1問(wèn)題：在今天商品大戰(zhàn)中，廣告成了電視節(jié)目中的一道美麗的風(fēng)景線，幾乎所有的廣告商都熟諳這樣的命題變換藝術(shù)如宣傳某種食品，其廣告詞為：“擁有的人們都幸福，幸福的人們都擁有”該廣告詞實(shí)際說(shuō)明了什么？提示：說(shuō)的是：“不擁有的人們不幸?！?已知正整數(shù)a，b，c滿足a2b2c2.求證：a，b，c不可能都是奇數(shù)問(wèn)題1：你能利用綜合法和分析法給出證明嗎？提示：不能問(wèn)題2：a、b、c不可能都是奇數(shù)的反面是什么？還滿足條件a2b2c2嗎？提示：都是奇數(shù)若a、b、c都是奇數(shù)，則不能滿足條件a2b2c2. 1間接證明不是直接從原命題的條件逐步推得命題成立，這種不是直接證明的方法通常稱為間接證明反證法就是一種常用的間接證明方法，間接證明還有同一法、枚舉法等2反證法(1)反證法證明過(guò)程反證法證明時(shí)，要從否定結(jié)論開始，經(jīng)過(guò)正確的推理，導(dǎo)致邏輯矛盾，從而達(dá)到新的否定(即肯定原命題)，用反證法證明命題“若p則q”的過(guò)程可以用下面的框圖表示：(2)反證法證明命題“若p則q”的步驟反設(shè)假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即假定原結(jié)論的反面為真歸謬從反設(shè)和已知條件出發(fā)，經(jīng)過(guò)一系列正確的邏輯推理，得出矛盾結(jié)果存真由矛盾結(jié)果，斷定反設(shè)不真，從而肯定原結(jié)論成立1反證法就是通過(guò)否定命題的結(jié)論而導(dǎo)出矛盾來(lái)達(dá)到肯定命題的結(jié)論，完成命題的論證的一種數(shù)學(xué)證明方法2可能出現(xiàn)矛盾的四種情況：(1)與題設(shè)矛盾；(2)與反設(shè)矛盾；(3)與公理、定理或已被證明了的結(jié)論矛盾；(4)在證明過(guò)程中，推出自相矛盾的結(jié)論用反證法證明否定性命題例1已知平面上四點(diǎn)，沒(méi)有三點(diǎn)共線，求證：以每三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形不可能都是銳角三角形思路點(diǎn)撥本題證明的命題是否定性命題，解答時(shí)先假設(shè)四個(gè)三角形都是銳角三角形，再分情況去推出矛盾精解詳析假設(shè)以每三點(diǎn)為頂點(diǎn)的四個(gè)三角形都是銳角三角形，記這四個(gè)點(diǎn)為A、B、C、D，考慮ABC，點(diǎn)D的位置分為在ABC之內(nèi)或之外兩種情況(1)如果點(diǎn)D在ABC之內(nèi)(如圖(1)，根據(jù)假設(shè)圍繞點(diǎn)D的三個(gè)角都是銳角，其和小于270，這與一個(gè)周角等于360矛盾(2)如果點(diǎn)D在ABC之外(如圖(2)，根據(jù)假設(shè)A，B，C，D都小于90，這和四邊形內(nèi)角之和等于360矛盾綜上所述原結(jié)論成立一點(diǎn)通(1)結(jié)論中含有“不”、“不是”、“不可能”、“不存在”等詞語(yǔ)的命題稱為否定性命題，此類問(wèn)題正面比較模糊，而反面比較具體，適于應(yīng)用反證法(2)反證法屬于邏輯方法范疇，它的嚴(yán)謹(jǐn)體現(xiàn)在它的原理上，即“否定之否定等于肯定”，其中：第一個(gè)否定是指“否定結(jié)論(假設(shè))”；第二個(gè)否定是指“邏輯推理結(jié)果否定了假設(shè)”反證法屬“間接解題方法”1實(shí)數(shù)a、b、c不全為0等價(jià)于_(填序號(hào))a，b，c全不為0；a，b，c中最多只有一個(gè)為0；a，b，c中只有一個(gè)不為0；a，b，c中至少有一個(gè)不為0.解析：“不全為0”等價(jià)于“至少有一個(gè)不為0”答案：2.如圖，正方體ABCDA1B1C1D1中，點(diǎn)M是A1D1的中點(diǎn)，點(diǎn)N是CD的中點(diǎn)，用反證法證明直線BM與直線A1N是兩條異面直線解：假設(shè)直線BM與A1N共面則A1D1平面A1BND1，且平面A1BND1平面ABCDBN，由正方體特征知A1D1平面ABCD，故A1D1BN，又A1D1BC，所以BNBC.這與BNBCB矛盾，故假設(shè)不成立所以直線BM與直線A1N是兩條異面直線3已知三個(gè)正數(shù)a，b，c成等比數(shù)列，但不成等差數(shù)列，求證：， 不成等差數(shù)列證明：假設(shè)，成等差數(shù)列，則2，即ac24b，而b2ac，即b，ac24，所以()20.即，從而abc，與a，b，c不成等差數(shù)列矛盾，故， ， 不成等差數(shù)列用反證法證明惟一性命題例2求證：兩條相交直線有且只有一個(gè)交點(diǎn)思路點(diǎn)撥“有且只有一個(gè)”的否定分兩種情況：“至少有兩個(gè)”、“一個(gè)也沒(méi)有”精解詳析假設(shè)結(jié)論不成立，則有兩種可能：無(wú)交點(diǎn)或不只有一個(gè)交點(diǎn)若直線a，b無(wú)交點(diǎn)，則ab或a，b是異面直線，與已知矛盾若直線a，b不只有一個(gè)交點(diǎn)，則至少有兩個(gè)交點(diǎn)A和B，這樣同時(shí)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，B就有兩條直線，這與“經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)有且只有一條直線”相矛盾綜上所述，兩條相交直線有且只有一個(gè)交點(diǎn)一點(diǎn)通證明“有且只有一個(gè)”的問(wèn)題，需要證明兩個(gè)命題，即存在性和惟一性當(dāng)證明結(jié)論以“有且只有”“只有一個(gè)”“惟一存在”等形式出現(xiàn)的命題時(shí)，由于反設(shè)結(jié)論易于導(dǎo)出矛盾，所以用反證法證其惟一性就較為簡(jiǎn)單明了4證明方程2x3有且僅有一個(gè)根證明：2x3，xlog23，這說(shuō)明方程有一個(gè)根下面用反證法證明方程2x3的根是惟一的，假設(shè)方程2x3有兩個(gè)根b1、b2(b1b2)，則2b13,2b23.兩式相除得：2b1b21.如果b1b2>0，則2b1b2>1，這與2b1b21相矛盾如果b1b2<0，則2b1b2<1，這與2b1b21相矛盾因此b1b20，則b1b2，這就同b1b2相矛盾如果方程的根多于兩個(gè)，同樣可推出矛盾故2x3有且僅有一個(gè)根5求證：過(guò)平面外一點(diǎn)有且只有一條直線和這個(gè)平面垂直解：已知P平面.求證：過(guò)點(diǎn)P和平面垂直的直線b有且只有一條證明：(1)存在性：P平面，由立體幾何知識(shí)知：過(guò)點(diǎn)P能作出一條直線與平面垂直，故直線b存在(2)惟一性：假設(shè)過(guò)點(diǎn)P還有一條直線c與平面垂直由b，c，得bc，這與bcP矛盾，故假設(shè)不存在，因此直線b惟一綜上所述，過(guò)平面外一點(diǎn)有且只有一條直線和這個(gè)平面垂直用反證法證明“至多”、“至少”型命題例3已知a，b，c，dR，且abcd1，acbd>1.求證：a，b，c，d中至少有一個(gè)是負(fù)數(shù)思路點(diǎn)撥本題要證a、b、c、d中至少有一個(gè)是負(fù)數(shù)，具體有一個(gè)負(fù)數(shù)？?jī)蓚€(gè)負(fù)數(shù)？三個(gè)負(fù)數(shù)？還是四個(gè)負(fù)數(shù)？都有可能，誰(shuí)是負(fù)數(shù)也都有可能所以正面證明很復(fù)雜，可考慮用反證法精解詳析假設(shè)a、b、c、d都不是負(fù)數(shù)，即a0，b0，c0，d0.abcd1，b1a0，d1c0.acbdac(1a)(1c)2ac(ac)1(aca)(acc)1a(c1)c(a1)1.a(c1)0，c(a1)0.a(c1)c(a1)11，即acbd1.與acbd>1相矛盾假設(shè)不成立a、b、c、d中至少有一個(gè)是負(fù)數(shù)一點(diǎn)通(1)對(duì)于否定性命題或結(jié)論中出現(xiàn)“至多”“至少”“不可能”等字樣時(shí)，常用反證法(2)常用的“原結(jié)論詞”與“反設(shè)詞”歸納如下表：原結(jié)論詞至少有一個(gè)至多有一個(gè)至少有n個(gè)至多有n個(gè)反設(shè)詞一個(gè)也沒(méi)有(不存在)至少有兩個(gè)至多有n1個(gè)至少有n1個(gè)6已知a，b，c(0,1)，求證：(1a)b，(1b)c，(1c)a不能都大于.證明：假設(shè)(1a)b，(1b)c，(1c)a都大于.a，b，c(0,1)，1a0,1b0,1c0，.同理，.三式相加，得，即，矛盾所以(1a)b，(1b)c，(1c)a不能都大于.7用反證法證明：若函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上是增函數(shù)，那么方程f(x)0在區(qū)間a，b上至多只有一個(gè)實(shí)數(shù)根證明：假設(shè)方程f(x)0在區(qū)間a，b上至少有兩個(gè)根，設(shè)，為其中的兩個(gè)實(shí)根因?yàn)椋环猎O(shè)<，又因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在區(qū)間a，b上是增函數(shù)，所以f()<f()這與f()0f()矛盾所以方程f(x)0在區(qū)間 a，b上至多只有一個(gè)實(shí)根1反證法證明的適用情形(1)一些基本命題、基本定理；(2)易導(dǎo)出與已知矛盾的命題；(3)“否定性”命題；(4)“惟一性”命題；(5)“必然性”命題；(6)“至多”“至少”類命題；(7)涉及“無(wú)限”結(jié)論的命題2用反證法證明問(wèn)題應(yīng)注意以下三點(diǎn)(1)必須先否定結(jié)論，即肯定結(jié)論的反面，當(dāng)結(jié)論的反面呈現(xiàn)多樣性時(shí)，必然羅列出各種可能結(jié)論，缺少任何一種可能，反證都是不完全的；(2)反證法必須從否定結(jié)論進(jìn)行推理，即應(yīng)把結(jié)論的反面作為條件，且必須根據(jù)這一條件進(jìn)行推證，否則，僅否定結(jié)論，不從結(jié)論的反面出發(fā)進(jìn)行推理，就不是反證法；(3)推導(dǎo)出的矛盾可能多種多樣，有的與已知矛盾，有的與假設(shè)矛盾，有的與事實(shí)矛盾等，推導(dǎo)出的矛盾必須是明顯的一、填空題1命題“，中至多有一個(gè)小于2”的反設(shè)為_答案：，都小于22(山東高考改編)用反證法證明命題“設(shè)a，b為實(shí)數(shù)，則方程x3axb0至少有一個(gè)實(shí)根”時(shí)，要做的假設(shè)是_解析：至少有一個(gè)實(shí)根的否定是沒(méi)有實(shí)根答案：方程x3axb0沒(méi)有實(shí)根1 用反證法證明命題“若a2b20，則a，b全為0(a、b為實(shí)數(shù))”，其反設(shè)為_解析：“a，b全為0”即是“a0且b0”，因此它的反設(shè)為“a0或b0”答案：a，b不全為04用反證法證明“一個(gè)三角形不能有兩個(gè)直角”有三個(gè)步驟：ABC9090C>180，這與三角形內(nèi)角和為180矛盾，故假設(shè)錯(cuò)誤所以一個(gè)三角形不能有兩個(gè)直角假設(shè)ABC中有兩個(gè)直角，不妨設(shè)A90，B90.上述步驟的正確順序?yàn)開解析：由反證法的一般步驟可知，正確的順序應(yīng)為.答案：5用反證法證明命題“若x2(ab)xab0，則xa且xb”時(shí)，應(yīng)假設(shè)為_解析：對(duì)“且”的否定應(yīng)為“或”，所以“xa且xb”的否定應(yīng)為“xa或xb”答案：xa或xb二、解答題6(陜西高考)設(shè)an是公比為q的等比數(shù)列(1)推導(dǎo)an的前n項(xiàng)和公式；(2)設(shè)q1，證明數(shù)列an1不是等比數(shù)列解：(1)設(shè)an的前n項(xiàng)和為Sn，當(dāng)q1時(shí)，Sna1a1a1na1；當(dāng)q1時(shí)，Sna1a1qa1q2a1qn1，qSna1qa1q2a1qn，得，(1q)Sna1a1qn，Sn，Sn(2)證明：假設(shè)an1是等比數(shù)列，則對(duì)任意的kN*，(ak11)2(ak1)(ak21)，a2ak11akak2akak21，aq2k2a1qka1qk1a1qk1a1qk1a1qk1，a10，2qkqk1qk1.q0，q22q10，q1，這與已知矛盾假設(shè)不成立，故an1不是等比數(shù)列7設(shè)f(x)x2axb，求證：|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一個(gè)不小于.證明：假設(shè)|f(1)|<，|f(2)|<，|f(3)|<，則有于是有由、得4<a<2，由、得6<a<4.、顯然相互矛盾，所以假設(shè)不成立，所以原命題正確8已知P直線a.求證：過(guò)點(diǎn)P和直線a平行的直線b有且只有一條證明：(1)存在性：P直線a，點(diǎn)P和直線a確定一個(gè)平面.由平面幾何知識(shí)知：在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)P能作出一條直線與直線a平行，故直線b存在(2)惟一性：假設(shè)過(guò)點(diǎn)P還有一條直線c與a平行ab，ac，bc，這與直線b、c有共點(diǎn)P矛盾故假設(shè)不存在，因此直線b惟一綜上所述，過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線和這條直線平行