新版高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 第十章第1節(jié) 橢圓及其性質(zhì)

1 1第十章 圓錐曲線第一節(jié) 橢圓及其性質(zhì)題型115 橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程1（20xx廣東文9）已知中心在原點(diǎn)的橢圓的右焦點(diǎn)為，離心率等于，則的方程是A B C D1.（20xx大綱文9）已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)為，離心率為，過的直線交C于A，B兩點(diǎn)，若的周長為，則C的方程為（ ）.A B C D2.（20xx遼寧文15）已知橢圓：，點(diǎn)與的焦點(diǎn)不重合，若關(guān)于的焦點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)分別為，線段的中點(diǎn)在上，則 .3.（20xx遼寧文20）如圖所示，圓的切線與軸正半軸，軸正半軸圍成一個(gè)三角形，當(dāng)該三角形面積最小時(shí)，切點(diǎn)為.（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）焦點(diǎn)在軸上的橢圓過點(diǎn)，且與直線交于，兩點(diǎn)，若的面積為，求的標(biāo)準(zhǔn)方程.4.（20xx天津文18）設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，右頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為.已知.（1）求橢圓的離心率；（2）設(shè)為橢圓上異于其頂點(diǎn)的一點(diǎn)，以線段為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)的直線與該圓相切于點(diǎn)，.求橢圓的方程.5. （20xx新課標(biāo)文20） 設(shè)分別是橢圓C：的左、右焦點(diǎn)，是上一點(diǎn)且與軸垂直.直線與的另一個(gè)交點(diǎn)為.（1）若直線的斜率為，求的離心率；（2）若直線在軸上的截距為，且，求.1.（20xx廣東文8）已知橢圓（）的左焦點(diǎn)為，則（ ）.ABCD1.解析 由左焦點(diǎn)為，可得. 由，即，得.又，所以.故選B.評(píng)注 本題考查橢圓的簡單幾何性質(zhì)1.（20xx山東文21（1）已知橢圓的長軸長為，焦距為，求橢圓的方程. 1. 解析 設(shè)橢圓的半焦距為，由題意知，所以，所以橢圓的方程為.2.（20xx四川文20（1）已知橢圓：的一個(gè)焦點(diǎn)與短軸的兩個(gè)端點(diǎn)是正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，求橢圓的方程.2. 解析 由已知得，又橢圓過點(diǎn)，故，解得所以橢圓的方程是3.（20xx天津文19（1）設(shè)橢圓（）的右焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，已知，其中 為原點(diǎn)，為橢圓的離心率，求橢圓的方程.3.解析 （1）由，即，可得.又，所以，因此，所以橢圓的方程為1.（20xx全國1文12）設(shè)，是橢圓長軸的兩個(gè)端點(diǎn)，若上存在點(diǎn)滿足，則的取值范圍是（ ）.A. B. C. D.1.解析 因?yàn)樵谏洗嬖邳c(diǎn)，滿足，所以.當(dāng)點(diǎn)位于短軸端點(diǎn)時(shí)，取得最大值. 當(dāng)時(shí)，如圖1所示，有，則，所以，解得； 圖1 圖2 當(dāng)時(shí)，如圖2示，有，則，所以，解得.綜上可得，的取值范圍是.故選A.評(píng)注：先研究“橢圓，是長軸兩端點(diǎn)，位于短軸端點(diǎn)時(shí)，最大”這一結(jié)論. 圖3如圖3所示，因?yàn)?，所?設(shè)，因?yàn)椋ㄖ悬c(diǎn)弦的一個(gè)結(jié)論），所以（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)位于短軸端點(diǎn)處）.2.（20xx山東卷文21）在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的離心率為，橢圓截直線所得線段的長度為.（1）求橢圓的方程；（2）動(dòng)直線交橢圓于，兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn).點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，圓的半徑為. 設(shè)為的中點(diǎn)，與圓分別相切于點(diǎn)，求的最小值.2.解析 （1） 由橢圓的離心率為 ，得，又當(dāng)時(shí)，得，所以，.因此橢圓方程為.(2) 設(shè)，聯(lián)立方程 ，得，由，得 .且，因此，所以，又，所以，因?yàn)椋?令，故.所以.令 ，所以.當(dāng) 時(shí)，從而在上單調(diào)遞增.因此，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立，此時(shí)，所以 ，.設(shè)，則 ，所以的最小值為.從而的最小值為，此時(shí)直線的斜率為.綜上所述，當(dāng)，時(shí)，取得最小值為.題型116 橢圓離心率的值及取值范圍1. （20xx四川文9）從橢圓上一點(diǎn)向軸做垂線，垂足恰為左焦點(diǎn)，是橢圓與軸正半軸的交點(diǎn)，是橢圓與軸正半軸的交點(diǎn)，且（是坐標(biāo)原點(diǎn)），則該橢圓的離心率是（ ）.A. B. C. D. 2.（20xx江蘇12）在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，右焦點(diǎn)為，右準(zhǔn)線為，短軸的一個(gè)端點(diǎn)為，設(shè)原點(diǎn)到直線的距離為，到的距離為，若，則橢圓的離心率為 .2. (20xx福建文15）橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為 若直線 與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)滿足則該橢圓的離心率等于 .3.（20xx北京文19）已知橢圓C：.（1）求橢圓C的離心率；（2）設(shè)O為原點(diǎn)，若點(diǎn)A在直線上，點(diǎn)B在橢圓C上，且，求線段AB長度的最小值.F1F2OxyBCA4.（20xx江蘇17）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，連接并延長交橢圓于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線交橢圓于另一點(diǎn)，連接（1）若點(diǎn)的坐標(biāo)為，且，求橢圓的方程；（2）若，求橢圓離心率的值1.（20xx江西文14）設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)為，過作軸的垂線與相交于兩點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)，若，則橢圓的離心率等于 .2. （20xx安徽文21）設(shè)，分別是橢圓：的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，.（1）若的周長為16，求；（2）若，求橢圓的離心率.1.（20xx福建文11）已知橢圓：的右焦點(diǎn)為短軸的一個(gè)端點(diǎn)為，直線交橢圓于兩點(diǎn)若，點(diǎn)到直線的距離不小于，則橢圓的離心率的取值范圍是（ ）.ABCD1. 解析 設(shè)左焦點(diǎn)為，連接，則四邊形是平行四邊形，故，所以，所以.設(shè)，則，故.所以，所以橢圓的離心率的取值范圍為.故選A.評(píng)注 1. 橢圓的定義和簡單幾何性質(zhì)；2. 點(diǎn)到直線距離公式2.（20xx浙江文15）橢圓（）的右焦點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在橢圓上，則橢圓的離心率是 2. 解析 解法一:設(shè)，則，所以，又，所以 ，所以，所以，不妨取，所以中點(diǎn)，代入，得，化簡得或，所以.解法二:取左焦點(diǎn)，則：，所以原點(diǎn)到的距離.又到的距離，由題意知，所以，所以.3.（20xx重慶文21）如圖所示，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，過的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，且.（1）若，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）若，且，試確定橢圓離心率的取值范圍.3. 解析 （1）由橢圓的定義，故.設(shè)橢圓的半焦距為，由已知，因此，即，從而. 故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由，得.由橢圓的定義，進(jìn)而.于是，解得，故.由勾股定理得，從而，兩邊除以，得.若記，則上式變?yōu)?由，并注意到關(guān)于的單調(diào)性，得，即.進(jìn)而，即.1.（20xx全國乙文5）直線經(jīng)過橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)和一個(gè)焦點(diǎn)，若橢圓中心到的距離為其短軸長的，則該橢圓的離心率為（ ）.A. B. C. D.1. B 解析 由等面積法可得，故，從而.故選B.2.（20xx江蘇10）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，是橢圓的右焦點(diǎn)，直線與橢圓交于兩點(diǎn)，且，則該橢圓的離心率是 .2. 解析 由題意得，直線與橢圓方程聯(lián)立，可得，.由，可得，則，由，可得，則.1.（20xx全國3文11）已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，且以線段為直徑的圓與直線相切，則的離心率為（ ）.A BCD1.解析 因?yàn)橹本€與圓相切，即，整理得.令，則有，.故選A.評(píng)注 本題考查直線與圓的位置關(guān)系，點(diǎn)到直線的距離公式，以及圓錐曲線的離心率公式和圓的方程，考查的知識(shí)點(diǎn)比較多，但總的難度不大，屬于跨板塊的綜合類問題，基礎(chǔ)中偏上的學(xué)生一般都能搞定.2.（20xx浙江卷2）橢圓的離心率是（ ）.A. B. C. D. 2.解析 由橢圓方程可得，所以，所以，.故選B題型117 橢圓的焦點(diǎn)三角形1.（20xx重慶文21）如圖所示，設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在橢圓上，的面積為.（1） 求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2） 是否存在圓心在軸上的圓，使圓在軸的上方與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，且圓在這兩個(gè)交點(diǎn)處的兩條切線相互垂直并分別過不同的焦點(diǎn)？若存在，求出圓的方程，若不存在，請(qǐng)說明理由.歡迎訪問“高中試卷網(wǎng)”http:/sj.fjjy.org