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新編全國通用高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 微專題強(qiáng)化練 專題30 不等式選講含解析

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新編全國通用高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 微專題強(qiáng)化練 專題30 不等式選講含解析

【走向高考】(全國通用)20xx高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 微專題強(qiáng)化練 專題30 不等式選講(含解析)一、填空題1(20xx·陜西理,15A)設(shè)a,b,m,nR,且a2b25,manb5,則的最小值為_答案解析解法1:在平面直角坐標(biāo)系aob中,由條件知直線manb5與圓a2b25有公共點(diǎn),的最小值為.解法2:由柯西不等式:·manb,.2若關(guān)于實(shí)數(shù)x的不等式|x5|x3|<a無解,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_答案(,8解析|x5|x3|5xx3|8,|x5|x3|的最小值為8,要使|x5|x3|<a無解,應(yīng)有a8.3若不等式|x1|x3|a對任意的實(shí)數(shù)x恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_答案aR|a<0或a2解析因?yàn)閨x1|x3|4,所以由題意可得a4恒成立,因a<0時顯然恒成立;當(dāng)a>0時,由基本不等式可知a4,所以只有a2時成立,所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為aR|a<0或a2方法點(diǎn)撥注意區(qū)分a<f(x)有(無)解與a<f(x)恒成立,設(shè)mf(x)M,則a<f(x)有解a<M,a<f(x)恒成立a<m.a<f(x)無解aM.4(20xx·天津市十二區(qū)縣重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考)對于任意xR,滿足(a2)x22(a2)x4<0恒成立的所有實(shí)數(shù)a構(gòu)成集合A,使不等式|x4|x3|<a的解集為空集的所有實(shí)數(shù)a構(gòu)成集合B,則A(RB)_.答案(1,2解析求出集合A、B后利用集合運(yùn)算的定義求解對于任意xR,不等式(a2)x22(a2)x4<0恒成立,則a2或解得2<a2,所以集合A(2,2當(dāng)不等式|x4|x3|<a有解時,a>(|x4|x3|)min1,所以解集為空集的所有實(shí)數(shù)a構(gòu)成集合B(,1,則RB(1,),所以A(RB)(2,2(1,)(1,2二、解答題5(文)(20xx·河北省衡水中學(xué)一模)設(shè)關(guān)于x的不等式lg(|x3|x7|)>a.(1)當(dāng)a1時,解這個不等式;(2)當(dāng)a為何值時,這個不等式的解集為R.解析(1)當(dāng)a1時,原不等式變?yōu)閨x3|x7|>10,當(dāng)x7時,x3x7>10得x>7,當(dāng)3<x<7時,x3x7>10不成立當(dāng)x3時x3x7>10得:x<3所以不等式的解集為x|x<3或x>7(2)|x3|x7|x3(x7)|10對任意xR都成立lg(|x3|x7|)lg101對任何xR都成立,即lg(|x3|x7|)>a.當(dāng)且僅當(dāng)a<1時,對任何xR都成立(理)(20xx·昆明市質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)|x1|2|x1|a.(1)若a1,求不等式f(x)>x2的解集;(2)若不等式f(x)a(x2)的解集為非空集合,求a的取值范圍解析(1)當(dāng)a1,不等式為|x1|2|x1|1>x2,即|x1|2|x1|>x3,不等式等價于,或,或,解得x<1,或1x<0,或x>2,x<0或x>2所求不等式的解集為x|x<0,或x>2(2)由f(x)a(x2)得,|x1|2|x1|aa(x2),即|x1|2|x1|a(x3),設(shè)g(x)|x1|2|x1|如圖,kPA,kPDkBC3,故依題意知,a<3,或a.即a的取值范圍為(,3).方法點(diǎn)撥解含絕對值符號的不等式一般用分段討論法:令各絕對值號內(nèi)表達(dá)式為零,解出各分界點(diǎn),按分界點(diǎn)將實(shí)數(shù)集分段6已知函數(shù)f(x)|x2|2xa|,aR.(1)當(dāng)a3時,解不等式f(x)>0;(2)當(dāng)x(,2)時,f(x)<0,求a的取值范圍解析(1)f(x)當(dāng)x>2時,1x>0,即x<1,此時無解;當(dāng)x2時,53x>0,即x<,解得x<;當(dāng)x<時,x1>0,即x>1,解得1<x<.不等式解集為x|1<x<(2)2x|2xa|<02x<|2xa|x<a2或x>恒成立x(,2),a22,a4.7(文)(1)若|a|<1,|b|<1,比較|ab|ab|與2的大小,并說明理由;(2)設(shè)m是|a|、|b|和1中最大的一個,當(dāng)|x|>m時,求證:|<2.解析(1)|ab|ab|<2.|a|<1,|b|<1,當(dāng)ab0,ab0時,|ab|ab|(ab)(ab)2a2|a|<2,當(dāng)ab0,ab<0時,|ab|ab|(ab)(ba)2b2|b|<2,當(dāng)ab<0,ab0時,|ab|ab|(ab)(ab)2b2|b|<2,當(dāng)ab<0,ab<0時,|ab|ab|(ab)(ba)2a2|a|<2,綜上知,|ab|ab|<2.(2)m是|a|,|b|與1中最大的一個,m1,又|x|>m,|x|>1,|x|>m|a|,|x2|>1|b|,<1,<1,|<112,原不等式成立(理)已知a和b是任意非零實(shí)數(shù)(1)求證:4;(2)若不等式|ab|ab|a|(|x1|2x|)恒成立,求實(shí)數(shù)x的取值范圍分析(1)含兩個絕對值號,可利用|ab|ab|(ab)±(ab)|放縮(2)變形后為f(x),運(yùn)用(1)的方法可得的最小值m,則問題轉(zhuǎn)化為解不等式f(x)m.解析(1)|2|2|(2)(2)|4(2)由|ab|ab|a|f(x)得f(x)又因?yàn)?則有2f(x)解不等式2|x1|x2|得x.8(文)(20xx·商丘市二模)已知關(guān)于x的不等式m|x2|1,其解集為0,4(1)求m的值;(2)若a,b均為正實(shí)數(shù),且滿足abm,求a2b2的最小值解析(1)不等式m|x2|1可化為|x2|m1,1mx2m1,即3mxm1,其解集為0,4,m3.(2)由(1)知ab3,(方法一:利用基本不等式)(ab)2a2b22ab(a2b2)(a2b2)2(a2b2),a2b2,當(dāng)且僅當(dāng)ab時,a2b2取最小值為.(方法二:利用柯西不等式)(a2b2)·(1212)(a×1b×1)2(ab)29,a2b2,當(dāng)且僅當(dāng)ab時,a2b2取最小值為.(方法三:消元法求二次函數(shù)的最值)ab3,b3a,a2b2a2(3a)22a26a922,當(dāng)且僅當(dāng)ab時,a2b2取最小值為.(理)(20xx·唐山市二模)設(shè)f(x)|x1|2|x1|的最大值為m.(1)求m;(2)若a,b,c(0,),a22b2c2m,求abbc的最大值解析(1)當(dāng)x1時,f(x)3x2;當(dāng)1x1時,f(x)13x2;當(dāng)x1時,f(x)x34.故當(dāng)x1時,f(x)取得最大值m2.(2)a22b2c22,abbc(a2b2)(b2c2)1,當(dāng)且僅當(dāng)abc時,等號成立所以abbc的最大值為1.9(文)已知a,b是不相等的正實(shí)數(shù)求證:(a2bab2)(ab2a2b)>9a2b2.解析因?yàn)閍,b是正實(shí)數(shù),所以a2bab233ab>0(當(dāng)且僅當(dāng)a2bab2,即ab1時,等號成立),同理,ab2a2b33ab>0(當(dāng)且僅當(dāng)ab2a2b,即ab1時,等號成立),所以(a2bab2)(ab2a2b)9a2b2(當(dāng)且僅當(dāng)ab1時,等號成立)因?yàn)閍b,所以(a2bab2)(ab2a2b)>9a2b2.(理)(20xx·吉林市二模、甘肅省三診)已知函數(shù)f(x)m|x2|,mR,且f(x2)0的解集為1,1(1)求m的值;(2)若a、b、cR,且m,求證:a2b3c9.解析(1)因?yàn)閒(x2)m|x|,所以f(x2)0等價于|x|m,由|x|m有解,得m0,且其解集為x|mxm又f(x2)0的解集為1,1,故m1.(2)解法一:由(1)知1,又a,b,cR,a2b3c(a2b3c)()()29.a2b3c9.解法2:由(1)知,1,a、b、cR,a2b3c(a2b3c)·1(a2b3c)()33()()()32229,等號在a2b3c時成立10(文)(20xx·太原市模擬)已知函數(shù)f(x)|xa|(a>0)(1)當(dāng)a2時,求不等式f(x)>3的解集;(2)證明:f(m)f4.解析(1)當(dāng)a2時,f(x)|x2|,原不等式等價于或或x<或或x>,不等式的解集為x|x<或x>(2)證明:f(m)f|ma|224.(理)(20xx·云南統(tǒng)考)已知a是常數(shù),對任意實(shí)數(shù)x,不等式|x1|2x|a|x1|2x|都成立(1)求a的值;(2)設(shè)m>n>0,求證:2m2na.解析(1)設(shè)f(x)|x1|2x|,則f(x)f(x)的最大值為3.對任意實(shí)數(shù)x,|x1|2x|a都成立,即f(x)a,a3.設(shè)h(x)|x1|2x|h(x)的最小值為3.對任意實(shí)數(shù)x,|x1|2x|a都成立,即h(x)a,a3,a3.(2)證明:由(1)知a3,2m2n(mn)(mn),又m>n>0,(mn)(mn)33,2m2na.

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