新編全國(guó)通用高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 微專題強(qiáng)化練 專題9 等差數(shù)列與等比數(shù)列含解析

【走向高考】（全國(guó)通用）20xx高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 微專題強(qiáng)化練 專題9 等差數(shù)列與等比數(shù)列一、選擇題1(文)(20xx·東北三省三校聯(lián)考)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若a2a4a6 12，則S7的值是()A21 B24 C28 D7答案C解析a2a4a63a412，a44，2a4a1a78，S728.方法點(diǎn)撥1.熟記等差、等比數(shù)列的求和公式2形如an1anf(n)的遞推關(guān)系用累加法可求出通項(xiàng)；3形如an1anf(n)的遞推關(guān)系可考慮用累乘法求通項(xiàng)an；4形如an1kanb(k、b為常數(shù))可通過變形，設(shè)bnan構(gòu)造等比數(shù)列求通項(xiàng)an.(理)在等比數(shù)列an中，a1a，前n項(xiàng)和為Sn，若數(shù)列an1成等差數(shù)列，則Sn等于()Aan1a Bn(a1)CnaD(a1)n1答案C解析利用常數(shù)列a，a，a，判斷，則存在等差數(shù)列a1，a1，a1，或通過下列運(yùn)算得到：2(aq1)(a1)(aq21)，q1，Snna.2(文)已知Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若S11，4，則的值為()A.B.C.D4答案A解析由等差數(shù)列的性質(zhì)可知S2，S4S2，S6S4成等差數(shù)列，由4得3，則S6S45S2，所以S44S2，S69S2，.(理)(20xx·全國(guó)大綱文，8)設(shè)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn.若S23，S415，則S6()A31B32C63D64答案C解析解法1：由條件知：an>0，且q2.a11，S663.解法2：由題意知，S2，S4S2，S6S4成等比數(shù)列，即(S4S2)2S2(S6S4)，即1223(S615)，S663.方法點(diǎn)撥下標(biāo)成等差的等差、等比數(shù)列的項(xiàng)或前n項(xiàng)和的問題，?？紤]應(yīng)用等差、等比數(shù)列的性質(zhì)求解3(20xx·浙江理，3)已知an是等差數(shù)列，公差d不為零，前n項(xiàng)和是Sn.若a3，a4，a8成等比數(shù)列，則()Aa1d>0，dS4>0Ba1d<0，dS4<0Ca1d>0，dS4<0Da1d<0，dS4>0答案B解析考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和；等比數(shù)列的概念an為等差數(shù)列，且a3，a4，a8成等比數(shù)列，(a13d)2(a12d)(a17d)a1d，S42(a1a4)2(a1a13d)d，a1dd20，dS4d20，故選B.4等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，已知S3a210a1，a59，則a1()A.BC.D答案C解析S3a210a1，a1a2a3a210a1，a39a1a1q2，q29，又a59，9a3·q29a3，a31，又a39a1，故a1.方法點(diǎn)撥求基本量的問題，熟記等差、等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)及前n項(xiàng)和公式，利用公式、結(jié)合條件，建立方程求解5(20xx·江西省質(zhì)檢)已知數(shù)列an滿足a11，a23，an23an(nN*)，則數(shù)列an的前20xx項(xiàng)的和S20xx等于()A310082B310083C320xx2D320xx3答案A解析因?yàn)閍11，a23，3，所以S20xx(a1a3a20xx)(a2a4a20xx)310082.6(文)(20xx·新鄉(xiāng)、許昌、平頂山調(diào)研)設(shè)an是等比數(shù)列，Sn是an的前n項(xiàng)和，對(duì)任意正整數(shù)n，有an2an1an20，又a12，則S101的值為()A2B200C2D0答案A解析設(shè)公比為q，an2an1an20，a12a2a30，a12a1qa1q20，q22q10，q1，又a12，S1012.(理)(20xx·哈三中二模)等比數(shù)列an，滿足a1a2a3a4a53，aaaaa15，則a1a2a3a4a5的值是()A3 B.CD5答案D解析由條件知，5，a1a2a3a4a55.7(文)在等差數(shù)列an中，a1a2a33，a18a19a2087，則此數(shù)列前20項(xiàng)的和等于()A290B300C580D600答案B解析由a1a2a33，a18a19a2087得，a1a2030，S20300.(理)已知等比數(shù)列an中，各項(xiàng)都是正數(shù)，且a1，a3,2a2成等差數(shù)列，則()A1B1C32D32答案C解析由條件知a3a12a2，a1q2a12a1q，a10，q22q10，q>0，q1，q232.8(20xx·福建理，8)若a，b是函數(shù)f(x)x2pxq(p0，q0)的兩個(gè)不同的零點(diǎn)，且a，b，2這三個(gè)數(shù)可適當(dāng)排序后成等差數(shù)列，也可適當(dāng)排序后成等比數(shù)列，則pq的值等于()A6B7C8D9答案D解析由韋達(dá)定理得abp，a·bq，因?yàn)閜>0，q>0，則a0，b0，當(dāng)a，b，2適當(dāng)排序后成等比數(shù)列時(shí)，2必為等比中項(xiàng)，故a·b(2)24，故q4，b.當(dāng)適當(dāng)排序后成等差數(shù)列時(shí)，2必不是等差中項(xiàng)，當(dāng)a是等差中項(xiàng)時(shí)，2a2，解得a1，b4，；當(dāng)b是等差中項(xiàng)時(shí)，a2，解得a4，b1，綜上所述，abp5，所以pq9，選D.9已知數(shù)列an，bn滿足a1b11，an1an2，nN，則數(shù)列ban的前10項(xiàng)的和為()A.(491) B.(4101)C.(491) D.(4101)答案D解析由a11，an1an2得，an2n1，由2，b11得bn2n1，ban2an122(n1)4n1，數(shù)列ban前10項(xiàng)和為(4101)10(文)若數(shù)列an為等比數(shù)列，且a11，q2，則Tn等于()A1 B.(1)C1 D.(1)答案B解析因?yàn)閍n1×2n12n1，所以an·an12n1·2n2×4n1，所以×()n1，所以也是等比數(shù)列，所以Tn×(1)，故選B.(理)(20xx·唐山市一模)已知等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且a1a3，a2a4，則()A4n1B4n1C2n1D2n1答案C解析設(shè)公比為q，則a1(1q2)，a2(1q2)，q，a1a1，a12.ana1qn12×()n1，Sn41()n，2(2n1)2n1.點(diǎn)評(píng)用一般解法解出a1、q，計(jì)算量大，若注意到等比數(shù)列的性質(zhì)及求，可簡(jiǎn)明解答如下：a2a4q(a1a3)，q，2n1.11給出數(shù)列，在這個(gè)數(shù)列中，第50個(gè)值等于1的項(xiàng)的序號(hào)是()A4900B4901C5000D5001答案B解析根據(jù)條件找規(guī)律，第1個(gè)1是分子、分母的和為2，第2個(gè)1是分子、分母的和為4，第3個(gè)1是分子、分母的和為6，第50個(gè)1是分子、分母的和為100，而分子、分母的和為2的有1項(xiàng)，分子、分母的和為3的有2項(xiàng)，分子、分母的和為4的有3項(xiàng)，分子、分母的和為99的有98項(xiàng)，分子、分母的和為100的項(xiàng)依次是：，第50個(gè)1是其中第50項(xiàng)，在數(shù)列中的序號(hào)為1239850504901.點(diǎn)評(píng)本題考查歸納能力，由已知項(xiàng)找到規(guī)律，“1”所在項(xiàng)的特點(diǎn)以及項(xiàng)數(shù)與分子、分母的和之間的關(guān)系，再利用等差數(shù)列求和公式即可二、填空題12(文)(20xx·廣東理，10)在等差數(shù)列an中，若a3a4a5a6a725，則a2a8_.答案10解析本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)及簡(jiǎn)單運(yùn)算，屬于容易題因?yàn)閍n是等差數(shù)列，所以a3a7a4a6a2a82a5，a3a4a5a6a75a525 即a55，a2a82a510.(理)(20xx·湖南理，14)設(shè)Sn為等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和若a11，且3S1,2S2，S3成等差數(shù)列，則an_.答案3n1解析考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質(zhì)3S1,2S2，S3成等差數(shù)列，4S23S1S3，4(a1a2)3a1a1a2a3a33a2q3.又an為等比數(shù)列，ana1qn13n1.方法點(diǎn)撥條件或結(jié)論中涉及等差或等比數(shù)列中的兩項(xiàng)或多項(xiàng)的關(guān)系時(shí)，先觀察分析下標(biāo)之間的關(guān)系，再考慮能否應(yīng)用性質(zhì)解決，要特別注意等差、等比數(shù)列性質(zhì)的區(qū)別13(文)(20xx·安徽理，14)已知數(shù)列an是遞增的等比數(shù)列，a1a49，a2a38，則數(shù)列an的前n項(xiàng)和等于_答案2n1解析考查1.等比數(shù)列的性質(zhì)；2.等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式由題意，解得a11，a48或者a18，a41，而數(shù)列an是遞增的等比數(shù)列，所以a11，a48，即q38，所以q2，因而數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn2n1.(理)(20xx·江蘇，11)設(shè)數(shù)列an滿足a11，且an1ann1(nN*)，則數(shù)列前10項(xiàng)的和為_答案解析考查數(shù)列通項(xiàng)，裂項(xiàng)求和由題意得：an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1n(n1)21，所以2()，Sn2(1)2()2()2(1)，S10.三、解答題14(文)設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn4anp(nN*)，其中p是不為零的常數(shù)(1)證明：數(shù)列an是等比數(shù)列；(2)當(dāng)p3時(shí)，若數(shù)列bn滿足bn1anbn(nN*)，b12，求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式解析(1)證明：因?yàn)镾n4anp(nN*)，則Sn14an1p(nN*，n2)，所以當(dāng)n2時(shí)，anSnSn14an4an1，整理得anan1.由Sn4anp，令n1，得a14a1p，解得a1.所以an是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列(2)因?yàn)閍11，則an()n1，由bn1anbn(n1,2，)，得bn1bn()n1，當(dāng)n2時(shí)，由累加法得bnb1(b2b1)(b3b2)(bnbn1)23()n11，當(dāng)n1時(shí)，上式也成立bn3·()n11.方法點(diǎn)撥證明數(shù)列是等差(等比)數(shù)列時(shí)，應(yīng)用定義分析條件，結(jié)合性質(zhì)進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化(理)(20xx·河南高考適應(yīng)性測(cè)試)已知數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，且a12，ana4an12.(1)令bnlog2(an2)，證明：數(shù)列bn是等比數(shù)列(2)設(shè)cnnbn，求數(shù)列cn的前n項(xiàng)和Sn.解析(1)由ana4an12，得an2a4an14(an12)2.因?yàn)閍n>0，所以an12.因?yàn)?，又b1log2(a12)2，所以數(shù)列bn是首項(xiàng)為2，公比為的等比數(shù)列(2)由(1)知，bn2·n1，則cn2nn1.Sn2×04×12(n1)n22nn1，Sn2×14×22(n1)n12nn.得：Sn2×02×12×22×n12n·n2n·n4(42n)n.所以Sn8(n2)n2.15(20xx·南昌市一模)已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a11，S36，正項(xiàng)數(shù)列bn滿足b1·b2·b3··bn2Sn.(1)求數(shù)列an，bn的通項(xiàng)公式；(2)若bn>an對(duì)nN*均成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍解析(1)等差數(shù)列an，a11，S36，d1，故ann，(1)÷(2)得bn2SnSn12an2n(n2)，b12S1212，滿足通項(xiàng)公式，故bn2n(2) 設(shè)bn>an恒成立>恒成立，設(shè)cn當(dāng)n2時(shí)，cn<1，cn單調(diào)遞減，(cn)maxc1，故>.16(文)(20xx·湖北理，18)已知等差數(shù)列an滿足：a12，且a1，a2，a5成等比數(shù)列(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)記Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，是否存在正整數(shù)n，使得Sn>60n800？若存在，求n的最小值；若不存在，說明理由分析(1)設(shè)數(shù)列an的公差為d，利用等比數(shù)列的性質(zhì)得到aa1·a5，并用a1、d表示a2、a5，列等式求解公差d，進(jìn)而求出通項(xiàng)，注意對(duì)公差d分類討論；(2)利用(1)的結(jié)論，對(duì)數(shù)列an的通項(xiàng)分類討論，分別利用通項(xiàng)公式及等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求解Sn，然后根據(jù)Sn>60n800列不等式求解解析(1)設(shè)數(shù)列an的公差為d，依題意，2,2d,24d成等比數(shù)列，故有(2d)22(24d)化簡(jiǎn)得d24d0，解得d0或d4.當(dāng)d0時(shí)，an2；當(dāng)d4時(shí)，an2(n1)·44n2，從而得數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an2或an4n2.(2)當(dāng)an2時(shí)，Sn2n，顯然2n<60n800，此時(shí)不存在正整數(shù)n，使得Sn>60n800成立，當(dāng)an4n2時(shí)，Sn2n2，令2n2>60n800，即n230n400>0，解得n>40或n<10(舍去)此時(shí)存在正整數(shù)n，使得Sn>60n800成立，n的最小值為41.綜上，當(dāng)an2時(shí)，不存在滿足題意的n；當(dāng)an4n2時(shí)，存在滿足題意的n，其最小值為41.方法點(diǎn)撥存在型探索性問題解答時(shí)先假設(shè)存在，依據(jù)相關(guān)知識(shí)(概念、定理、公式、法則、性質(zhì)等)，結(jié)合所給條件進(jìn)行推理或運(yùn)算，直到得出結(jié)果或一個(gè)明顯成立或錯(cuò)誤的結(jié)論，從而斷定存在與否(理)(20xx·新課標(biāo)理，17)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a11，an0，anan1Sn1，其中為常數(shù)(1)證明：an2an；(2)是否存在，使得an為等差數(shù)列？并說明理由分析(1)利用an1Sn1Sn用配湊法可獲證；(2)假設(shè)存在，則a1，a2，a3應(yīng)成等差數(shù)列求出的值，然后依據(jù)an2an推證an為等差數(shù)列解析(1)由題設(shè)：anan1Sn1，an1an2Sn11，兩式相減得an1(an2an)an1.由于an10，所以an2an.(2)由題設(shè)，a11，a1a2S11，可得a21. 由(1)知，a31，令2a2a1a3，解得4.故an2an4，由此可得a2n1是首項(xiàng)為1，公差為4的等差數(shù)列，a2n14n3；a2n是首項(xiàng)為3，公差為4的等差數(shù)列，a2n4n1.所以an2n1，an1an2.因此存在4，使得數(shù)列an為等差數(shù)列.