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2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第六章 推理與證明 6.2 直接證明與間接證明 6.2.2 間接證明:反證法分層訓(xùn)練 湘教版選修2-2.doc

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2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第六章 推理與證明 6.2 直接證明與間接證明 6.2.2 間接證明:反證法分層訓(xùn)練 湘教版選修2-2.doc

6.2.2間接證明:反證法一、基礎(chǔ)達標(biāo)1反證法的關(guān)鍵是在正確的推理下得出矛盾這個矛盾可以是()與已知條件矛盾與假設(shè)矛盾與定義、公理、定理矛盾與事實矛盾A B C D答案D2已知a,b是異面直線,直線c平行于直線a,那么c與b的位置關(guān)系為()A一定是異面直線 B一定是相交直線C不可能是平行直線 D不可能是相交直線答案C解析假設(shè)cb,而由ca,可得ab,這與a,b異面矛盾,故c與b不可能是平行直線故應(yīng)選C.3有下列敘述:“a>b”的反面是“a<b”;“xy”的反面是“x>y或x<y”;“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形內(nèi)”;“三角形最多有一個鈍角”的反面是“三角形沒有鈍角”其中正確的敘述有()A0個 B1個 C2個 D3個答案B解析錯:應(yīng)為ab;對;錯:應(yīng)為三角形的外心在三角形內(nèi)或在三角形的邊上;錯:應(yīng)為三角形可以有2個或2個以上的鈍角4用反證法證明命題:“a、bN,ab可被5整除,那么a,b中至少有一個能被5整除”時,假設(shè)的內(nèi)容應(yīng)為()Aa,b都能被5整除 Ba,b都不能被5整除Ca,b不都能被5整除 Da不能被5整除答案B解析“至少有一個”的否定是“一個也沒有”,即“a,b都不能被5整除”5用反證法證明命題:“若整系數(shù)一元二次方程ax2bxc0有有理根,那么a,b,c中存在偶數(shù)”時,否定結(jié)論應(yīng)為_答案a,b,c都不是偶數(shù)解析a,b,c中存在偶數(shù)即至少有一個偶數(shù),其否定為a,b,c都不是偶數(shù)6“任何三角形的外角都至少有兩個鈍角”的否定應(yīng)是_答案存在一個三角形,其外角最多有一個鈍角解析“任何三角形”的否定是“存在一個三角形”,“至少有兩個”的否定是“最多有一個”7設(shè)二次函數(shù)f(x)ax2bxc(a0)中,a、b、c均為整數(shù),且f(0),f(1)均為奇數(shù)求證f(x)0無整數(shù)根證明設(shè)f(x)0有一個整數(shù)根k,則ak2bkc. 又f(0)c,f(1)abc均為奇數(shù),ab為偶數(shù),當(dāng)k為偶數(shù)時,顯然與式矛盾;當(dāng)k為奇數(shù)時,設(shè)k2n1(nZ),則ak2bk(2n1)(2naab)為偶數(shù),也與式矛盾,故假設(shè)不成立,所以方程f(x)0無整數(shù)根二、能力提升8已知x1>0,x11且xn1(n1,2,),試證“數(shù)列xn對任意的正整數(shù)n都滿足xn>xn1”,當(dāng)此題用反證法否定結(jié)論時應(yīng)為()A對任意的正整數(shù)n,有xnxn1B存在正整數(shù)n,使xnxn1C存在正整數(shù)n,使xnxn1D存在正整數(shù)n,使xnxn1答案D解析“任意”的反語是“存在一個”9設(shè)a,b,c都是正數(shù),則三個數(shù)a,b,c()A都大于2B至少有一個大于2C至少有一個不小于2D至少有一個不大于2答案C解析假設(shè)a<2,b<2,c<2,則<6.又2226,這與假設(shè)得到的不等式相矛盾,從而假設(shè)不正確,所以這三個數(shù)至少有一個不小于2.10若下列兩個方程x2(a1)xa20,x22ax2a0中至少有一個方程有實根,則實數(shù)a的取值范圍是_答案a2或a1解析若兩方程均無實根,則1(a1)24a2(3a1)(a1)<0,a<1或a>.2(2a)28a4a(a2)<0,2<a<0,故2<a<1.若兩個方程至少有一個方程有實根,則a2或a1.11已知abc>0,abbcca>0,abc>0,求證a>0,b>0,c>0.證明用反證法:假設(shè)a,b,c不都是正數(shù),由abc>0可知,這三個數(shù)中必有兩個為負數(shù),一個為正數(shù),不妨設(shè)a<0,b<0,c>0,則由abc>0,可得c>(ab),又ab<0,c(ab)<(ab)(ab)abc(ab)<(ab)(ab)ab即abbcca<a2abb2a2>0,ab>0,b2>0,a2abb2(a2abb2)<0,即abbcca<0,這與已知abbcca>0矛盾,所以假設(shè)不成立因此a>0,b>0,c>0成立12已知a,b,c(0,1),求證(1a)b,(1b)c,(1c)a不可能都大于.證明假設(shè)三個式子同時大于,即(1a)b>,(1b)c>,(1c)a>,三式相乘得(1a)a(1b)b(1c)c>,又因為0<a<1,所以0<a(1a)2.同理0<b(1b),0<c(1c),所以(1a)a(1b)b(1c)c,與矛盾,所以假設(shè)不成立,故原命題成立三、探究與創(chuàng)新13已知f(x)是R上的增函數(shù),a,bR.證明下面兩個命題:(1)若ab0,則f(a)f(b)f(a)f(b);(2)若f(a)f(b)f(a)f(b),則ab0.證明(1)因為ab0,所以ab,ba,又因為f(x)是R上的增函數(shù),所以f(a)f(b),f(b)f(a),由不等式的性質(zhì)可知f(a)f(b)f(a)f(b)(2)假設(shè)ab0,則ab,ba,因為f(x)是R上的增函數(shù),所以f(a)f(b),f(b)f(a),所以f(a)f(b)f(a)f(b),這與已知f(a)f(b)f(a)f(b)矛盾,所以假設(shè)不正確,所以原命題成立.

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