2019年高中數(shù)學(xué) 第7章 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù) 7.4 復(fù)數(shù)的幾何表示講義（含解析）湘教版選修1 -2.doc

74復(fù)數(shù)的幾何表示讀教材填要點(diǎn)1復(fù)平面的定義建立直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面叫作復(fù)平面x軸叫作實(shí)軸，y軸叫作虛軸，實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù)；除原點(diǎn)外，虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù)2復(fù)數(shù)的幾何意義(1)復(fù)數(shù)zabi(a，bR)一一對(duì)應(yīng)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)P(a，b)；(2)復(fù)數(shù)zabi(a，bR)一一對(duì)應(yīng)平面向量(a，b)3復(fù)數(shù)的模復(fù)數(shù)zabi(a，bR)對(duì)應(yīng)的向量為，則的模叫作復(fù)數(shù)z的模，記作|z|， 且|z|.4共軛復(fù)數(shù)(1)定義及記憶：對(duì)于任意復(fù)數(shù)zabi(a，bR)，將復(fù)數(shù)abi稱為原來的復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)，記作：.(2)性質(zhì)：z；復(fù)平面上兩點(diǎn)P，Q關(guān)于x軸對(duì)稱它們所代表的復(fù)數(shù)相互共軛5復(fù)數(shù)加減法的幾何意義如圖：設(shè)復(fù)數(shù)z1，z2對(duì)應(yīng)向量分別為，四邊形OPSQ為平行四邊形，則與z1z2對(duì)應(yīng)的向量是 ，與z1z2對(duì)應(yīng)的向量是.小問題大思維1平面向量能夠與復(fù)數(shù)一一對(duì)應(yīng)的前提是什么？提示：向量的起點(diǎn)在原點(diǎn)2若復(fù)數(shù)(a1)ai(aR)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P在第二象限，則a的取值范圍是什么？提示：由題意知即0<a<1.所以a的取值范圍是(0,1)3若z1與z2互為共軛復(fù)數(shù)，那么|z1|與|z2|之間有什么關(guān)系？提示：設(shè)z1abi，則z2abi，故|z1|z2|.4什么數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是它本身？提示：實(shí)數(shù)的共扼復(fù)數(shù)是它本身5從復(fù)數(shù)減法的幾何意義理解：|z1z2|表示什么？提示：表示P1與P2兩點(diǎn)間的距離復(fù)數(shù)幾何意義的應(yīng)用 求實(shí)數(shù)a分別取何值時(shí)，復(fù)數(shù)z(a22a15)i(aR)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z滿足下列條件：(1)在復(fù)平面的第二象限內(nèi)；(2)在復(fù)平面內(nèi)的x軸上方自主解答(1)點(diǎn)Z在復(fù)平面的第二象限內(nèi)，則解得a3.(2)點(diǎn)Z在x軸上方，則即(a3)(a5)0，解得a5或a3.本例中題設(shè)條件不變，求復(fù)數(shù)z表示的點(diǎn)在x軸上時(shí)，實(shí)數(shù)a的值解：點(diǎn)Z在x軸上，所以a22a150且a30，所以a5.故a5時(shí)，點(diǎn)Z在x軸上探究復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)的位置如果Z是復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)zabi(a，bR)的點(diǎn)，則(1)當(dāng)a0，b0時(shí)，點(diǎn)Z位于第一象限；當(dāng)a0，b0時(shí)，點(diǎn)Z位于第二象限；當(dāng)a0，b0時(shí)，點(diǎn)Z位于第三象限；當(dāng)a0，b0時(shí)，點(diǎn)Z位于第四象限(2)當(dāng)a0時(shí)，點(diǎn)Z在虛軸上；當(dāng)b0時(shí)，點(diǎn)Z在實(shí)軸上(3)當(dāng)b0時(shí)，點(diǎn)Z位于實(shí)軸上面的半平面內(nèi)；當(dāng)b0時(shí)，點(diǎn)Z位于實(shí)軸下面的半平面內(nèi)1在復(fù)平面內(nèi)，O是原點(diǎn)，若向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)z的實(shí)部為3，且|3，如果點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)B，求向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)解：根據(jù)題意設(shè)復(fù)數(shù)z3bi，由復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)、向量的對(duì)應(yīng)關(guān)系得(3，b)，已知|3，即3，解得b0，故z3，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3,0)因此，點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為B(3,0)，所以向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為z3.復(fù)數(shù)模的求法 (1)若復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在直線y2x上，且|z|，則復(fù)數(shù)z()A12iB12iC12i D12i或12i(2)設(shè)復(fù)數(shù)z1a2i，z22i，且|z1|z2|，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A(，1)(1，)B(1,1)C(1，)D(0，)自主解答(1)依題意可設(shè)復(fù)數(shù)za2ai(aR)，由|z|得 ，解得a1，故z12i或z12i.(2)因?yàn)閨z1| ，|z2|，所以，即a245，所以a21，即1a1.答案(1)D(2)B計(jì)算復(fù)數(shù)的模時(shí)，應(yīng)先找出復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部，然后再利用模的公式進(jìn)行計(jì)算，兩個(gè)虛數(shù)不能比較大小，但它們的模可以比較大小2已知復(fù)數(shù)z123i，z2a2i，若|z1z2|z1|，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解：由條件可知z1z2(4a)2i.又|z1z2|z1|，即，解得1a7.所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(1,7).共軛復(fù)數(shù)的應(yīng)用 設(shè)zC，為z的共軛復(fù)數(shù)，若ziz，求z.自主解答設(shè)zabi(a，bR)，則abi(a，bR)3i，(abi)(abi)i(abi)3i.解得或z1i或z12i.保持例題條件不變，求的值解：當(dāng)z1i時(shí)，1i，i；當(dāng)z12i時(shí)，12i，i.i或i.此類題的常規(guī)思路為設(shè)zabi(a，bR)，則abi；代入所給等式，利用復(fù)數(shù)相等的充要條件，轉(zhuǎn)化為方程(組)求解3已知zC，為z的共軛復(fù)數(shù)，若z3i 13i，求z.解：設(shè)zabi(a，bR)，則abi，(a，bR)，由題意得(abi)(abi)3i(abi)13i，即a2b23b3ai13i，則有解得或所以z1或z13i.復(fù)數(shù)加減運(yùn)算的幾何意義 已知復(fù)平面內(nèi)平行四邊形ABCD，A點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為2i，向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為12i，向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為3i，求點(diǎn)C，D對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)自主解答向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為12i，向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為3i，向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為(3i)(12i)23i.又，點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為(2i)(23i)42i.，向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為3i，即(3，1)設(shè)D(x，y)，則(x2，y1)(3，1)，解得點(diǎn)D對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為5.運(yùn)用復(fù)數(shù)加、減運(yùn)算的幾何意義應(yīng)注意的問題向量加法、減法運(yùn)算的平行四邊形法則和三角形法則是復(fù)數(shù)加法、減法幾何意義的依據(jù)利用加法“首尾相接”和減法“指向被減數(shù)”的特點(diǎn)，在三角形內(nèi)可求得第三個(gè)向量及其對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)注意向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是zBzA(終點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)減去起點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù))4已知平行四邊形ABCD中，與對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是32i與14i，兩對(duì)角線AC與BD相交于O點(diǎn)(1)求對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)；(2)求對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)解：(1)由于四邊形ABCD是平行四邊形，所以，于是，而(14i)(32i)22i，即對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是22i.(2)由于，而(32i)(22i)5，所以對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是5.已知z0xyi(x，yR)，z(x3)(y2)i，且|z0|2，求復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡巧思設(shè)出復(fù)數(shù)zabi(a，bR)，根據(jù)復(fù)數(shù)相等尋找出a，b與x，y之間的關(guān)系，然后利用|z0|2這一條件求出a，b的等量關(guān)系妙解設(shè)zabi(a，bR)，則即又z0xyi(x，yR)且|z0|2，x2y24.(a3)2(b2)24.復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是以(3，2)為圓心，2為半徑的圓1(全國卷)設(shè)復(fù)數(shù)z滿足(1i)z2i，則|z|()A.B.C.D2解析：因?yàn)閦i(1i)1i，所以|z|.答案：C2(山東高考)已知aR，i是虛數(shù)單位若za i，z4，則a()A1或1 B.或 C D.解析：法一：由題意可知ai，z(ai)(ai)a234，故a1或1.法二：z|z|2a234，故a1或1.答案：A3設(shè)zC，|z|2，則點(diǎn)z表示的圖形是()A直線x2的右半平面 B半徑為2的圓面C直線x2的左半平面 D半徑為2的圓解析：由復(fù)數(shù)模的幾何意義知：點(diǎn)z到原點(diǎn)的距離小于或等于2，點(diǎn)z的集合為以原點(diǎn)為圓心，以2為半徑的圓面答案：B4復(fù)數(shù)zx2(3x)i在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第四象限，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是_解析：復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，解得x>3.答案：(3，)5復(fù)數(shù)zsin icos ，則|z|_.解析：zi，|z| .答案：6在復(fù)平面上，復(fù)數(shù)i,1,42i的對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別是A，B，C，求平行四邊形ABCD的D點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)解：法一：由已知A(0,1)，B(1,0)，C(4,2)，則AC的中點(diǎn)E，由平行四邊形的性質(zhì)知E也是BD的中點(diǎn)，設(shè)D(x，y)，則即D(3,3)，D點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為33i.法二：由已知：(0,1)，(1,0)，(4,2)(1,1)，(3,2)(2,3)(3,3)即點(diǎn)D對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為33i.一、選擇題1.若i為虛數(shù)單位，如圖中復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)Z表示復(fù)數(shù)z，則表示復(fù)數(shù)的點(diǎn)是()AEBFCG DH解析：由題圖可得z3i，所以2i，則其在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為H(2，1)答案：D2已知0a2，復(fù)數(shù)zai(i是虛數(shù)單位)，則|z|的取值范圍是()A(1，) B(1，)C(1,3) D(1,5)解析：|z|，0a2，1a215，|z|(1，)答案：B3設(shè)復(fù)數(shù)z滿足條件z|z|2i，那么z等于()Ai B.iCi D.i解析：法一：設(shè)zxyi(x，yR)，則xyi2i.解得zi.法二：|z|R，由復(fù)數(shù)相等的充要條件可知：若等式z|z|2i成立，則必有虛部為1，故可設(shè)zxi(xR)，代入原等式有：x2，解得x，所以zi.答案：D4若x，yR，i為虛數(shù)單位，且xy(xy)i3i，則復(fù)數(shù)xyi在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析：xy(xy)i3i，解得復(fù)數(shù)12i所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限答案：A二、填空題5在復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)z(m3)2i的點(diǎn)在直線yx上，則實(shí)數(shù)m的值為_解析：由表示復(fù)數(shù)z(m3)2i的點(diǎn)在直線yx上，得m32，解得m9.答案：96若z|z|2，則復(fù)數(shù)z_.解析：設(shè)zabi，則abi2，b0，a|a|2，a1.z1.答案：17復(fù)數(shù)z1cos isin (<<2)的模的取值范圍為_解析：|z|，<<2，1<cos <1.0<22cos <4.|z|(0,2)答案：(0,2)8已知復(fù)數(shù)z112i，z21i，z332i，它們所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別是A，B，C，若xy (x，yR)，則xy的值是_解析：由題意可得(1,2)，(1，1)，(3，2)，由xy，得(3，2)(x,2x)(y，y)(xy,2xy)xy5.答案：5三、解答題9實(shí)數(shù)m分別取什么數(shù)值時(shí)，復(fù)數(shù)z(m25m6)(m22m15)i.(1)是實(shí)數(shù)？(2)是虛數(shù)？(3)是純虛數(shù)？(4)對(duì)應(yīng)點(diǎn)在x軸上方？(5)對(duì)應(yīng)點(diǎn)在直線xy50上？解：(1)由m22m150，得m5或m3.即當(dāng)m5或m3時(shí)，z為實(shí)數(shù)(2)由m22m150，得m5且m3，即當(dāng)m5且m3時(shí)，z為虛數(shù)(3)由得m2，即當(dāng)m2時(shí)，z為純虛數(shù)(4)由m22m15>0，得m<3或m>5.即當(dāng)m<3或m>5時(shí)，z的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在x軸上方(5)由(m25m6)(m22m15)50，得m或m.即當(dāng)m或m時(shí)，z的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在直線xy50上10設(shè)zxyi(x，yR)，若1|z|.試問復(fù)數(shù)wxy(xy)i的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的集合表示什么圖形，并求其面積解：|z|且1|z|，1x2y22.又|w|，|w|2.令wmni(m，nR)，則2，即2m2n24.故w對(duì)應(yīng)點(diǎn)的集合是以原點(diǎn)為圓心，半徑為和2的圓環(huán)內(nèi)點(diǎn)的集合(含內(nèi)外圓周)，其面積S22()22.