2019年高考數(shù)學(xué) 考點(diǎn)分析與突破性講練 專題32 雙曲線及其性質(zhì) 理.doc

專題32 雙曲線及其性質(zhì)一、考綱要求：1.了解雙曲線的實(shí)際背景，了解雙曲線在刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問(wèn)題中的作用.2.了解雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程，知道其簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)(范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、離心率、漸近線)3.理解數(shù)形結(jié)合思想.4.了解雙曲線的簡(jiǎn)單應(yīng)用二、概念掌握和解題上注意點(diǎn)：1.應(yīng)用雙曲線的定義需注意的問(wèn)題,在雙曲線的定義中，要注意雙曲線上的點(diǎn)(動(dòng)點(diǎn))具備的幾何條件，即“到兩定點(diǎn)(焦點(diǎn))的距離之差的絕對(duì)值為一常數(shù)，且該常數(shù)必須小于兩定點(diǎn)間的距離”.若定義中的“絕對(duì)值”去掉，點(diǎn)的軌跡是雙曲線的一支同時(shí)需注意定義的轉(zhuǎn)化應(yīng)用2在焦點(diǎn)三角形中，注意定義、余弦定理的活用，常將|PF1|PF2|2a平方，建立與|PF1|PF2|間的聯(lián)系3. 求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的主要方法(1)定義法：由條件判定動(dòng)點(diǎn)的軌跡是雙曲線，求出a2，b2，得雙曲線方程.(2)待定系數(shù)法：即“先定位，后定量”，如果不能確定焦點(diǎn)的位置，應(yīng)注意分類(lèi)討論或恰當(dāng)設(shè)置簡(jiǎn)化討論.4.與雙曲線幾何性質(zhì)有關(guān)問(wèn)題的解題策略(1)求雙曲線的離心率(或范圍).依據(jù)題設(shè)條件，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于a，c的等式(或不等式)，解方程(或不等式)即可求得.(2)求雙曲線的漸近線方程.依據(jù)題設(shè)條件，求雙曲線中a，b的值或a與b的比值，進(jìn)而得出雙曲線的漸近線方程.三、高考考題題例分析例1.（2018課標(biāo)卷I）已知雙曲線C：y2=1，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為C的右焦點(diǎn)，過(guò)F的直線與C的兩條漸近線的交點(diǎn)分別為M，N若OMN為直角三角形，則|MN|=（）AB3C2D4【答案】B【解析】：雙曲線C：y2=1的漸近線方程為：y=，漸近線的夾角為：60，不妨設(shè)過(guò)F（2，0）的直線為：y=，則：解得M（，），解得：N（），則|MN|=3故選：B例2.（2018課標(biāo)卷II）雙曲線=1（a0，b0）的離心率為，則其漸近線方程為（）Ay=xBy=xCy=xDy=x【答案】A例3.（2018課標(biāo)卷III）設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線C：=1（a0b0）的左，右焦點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)過(guò)F2作C的一條漸近線的垂線，垂足為P，若|PF1|=|OP|，則C的離心率為（）AB2CD【答案】C【解析】：雙曲線C：=1（a0b0）的一條漸近線方程為y=x，點(diǎn)F2到漸近線的距離d=b，即|PF2|=b，|OP|=a，cosPF2O=，|PF1|=|OP|，|PF1|=a，在三角形F1PF2中，由余弦定理可得|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|22|PF2|F1F2|COSPF2O，6a2=b2+4c22b2c=4c23b2=4c23（c2a2），即3a2=c2，即a=c，e=，故選：C 雙曲線及其性質(zhì)練習(xí)題一、 選擇題 1已知雙曲線1(a>0)的離心率為2，則a ()A2BCD1【答案】D【解析】依題意，e2，2a，則a21，a1.2若雙曲線E：1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在雙曲線E上，且|PF1|3，則|PF2|等于 ()A11 B9 C5 D3【答案】B【解析】由題意知a3，b4，c5.由雙曲線的定義|PF1|PF2|3|PF2|2a6，|PF2|9.3已知雙曲線1(a0，b0)的焦距為2，且雙曲線的一條漸近線與直線2xy0垂直，則雙曲線的方程為 ()Ay21Bx21C1D14已知雙曲線的離心率為2，焦點(diǎn)是(4,0)，(4,0)，則雙曲線的方程為 ()A1B.1C1D1【答案】A【解析】已知雙曲線的離心率為2，焦點(diǎn)是(4,0)，(4,0)，則c4，a2，b212，雙曲線方程為1，故選A5雙曲線1(a0，b0)的一條漸近線與直線x 2y10垂直，則雙曲線的離心率為 ()ABCD1【答案】B【解析】由已知得2，所以e，故選B.6已知雙曲線x21的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，P為雙曲線右支上一點(diǎn)若|PF1|PF2|，則F1PF2的面積為 ()A48B24C12D6【答案】B7.若雙曲線1的左焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P是雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)，A(1,4)，則|PF|PA|的最小值是 ()A8B9C10D12【答案】B【解析】由題意知，雙曲線1的左焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(4,0)，設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為B，則B(4,0)，由雙曲線的定義知|PF|PA|4|PB|PA|4|AB|4459，當(dāng)且僅當(dāng)A，P，B三點(diǎn)共線且P在A，B之間時(shí)取等號(hào)所以|PF|PA|的最小值為9.8已知點(diǎn)F1(3,0)和F2(3,0)，動(dòng)點(diǎn)P到F1，F(xiàn)2的距離之差為4，則點(diǎn)P的軌跡方程為()A1(y>0)B1(x>0)C1(y>0)D1(x>0)【答案】B9.已知雙曲線C的離心率為2，焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)A在C上若|F1A|2|F2A|，則cosAF2F1 () ABCD【答案】A【解析】由e2得c2a，如圖，由雙曲線的定義得|F1A|F2A|2a.又|F1A|2|F2A|，故|F1A|4a，|F2A|2a，cosAF2F1.10已知雙曲線1(a0，b0)上一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離分別為10和4，且離心率為2，則該雙曲線的虛軸長(zhǎng)為 () A3B6C3D6【答案】D【解析】由題意得2a1046，解得a3，又因?yàn)殡p曲線的離心率e2，所以c6，則b3，所以該雙曲線的虛軸長(zhǎng)為2b6，故選D.11.已知雙曲線1(a0，b0)的漸近線與圓(x2)2y2相切，則該雙曲線的離心率為 ()ABCD3【答案】A12過(guò)雙曲線1(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)與對(duì)稱軸垂直的直線與漸近線交于A，B兩點(diǎn)，若OAB的面積為，則雙曲線的離心率為 ()AB.CD【答案】D【解析】由題意可求得|AB|，所以SOABc，整理得.因此e.二、填空題13過(guò)雙曲線x21的右焦點(diǎn)且與x軸垂直的直線，交該雙曲線的兩條漸近線于A，B兩點(diǎn)，則|AB|_.【答案】4【解析】雙曲線的右焦點(diǎn)為F(2,0)，過(guò)F與x軸垂直的直線為x2，漸近線方程為x20，將x2代入x20，得y212，y2，|AB|4.14設(shè)雙曲線1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過(guò)F1的直線l交雙曲線左支于A，B兩點(diǎn)，則|BF2|AF2|的最小值為_(kāi)【答案】10【解析】由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1，得a2，由雙曲線的定義可得|AF2|AF1|4，|BF2|BF1|4，所以|AF2|AF1|BF2|BF1|8.因?yàn)閨AF1|BF1|AB|，當(dāng)|AB|是雙曲線的通徑時(shí)，|AB|最小，所以(|AF2|BF2|)min|AB|min8810. 15雙曲線C：1(a0，b0)的離心率為，焦點(diǎn)到漸近線的距離為3，則C的實(shí)軸長(zhǎng)等于_.【答案】8【解析】因?yàn)閑，所以ca，設(shè)雙曲線的一條漸近線方程為yx，即axby0，焦點(diǎn)為(0，c)，所以b3，所以a，所以a216，即a4，故2a8.16在平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線1(a>0，b>0)的右支與焦點(diǎn)為F的拋物線x22py(p>0)交于A，B兩點(diǎn)若|AF|BF|4|OF|，則該雙曲線的漸近線方程為_(kāi)【答案】yx三、解答題17已知橢圓D：1與圓M：x2(y5)29，雙曲線G與橢圓D有相同焦點(diǎn)，它的兩條漸近線恰好與圓M相切，求雙曲線G的方程【答案】1.【解析】橢圓D的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1(5,0)，F(xiàn)2(5,0)，因而雙曲線中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，且c5.設(shè)雙曲線G的方程為1(a>0，b>0)，漸近線方程為bxay0且a2b225，又圓心M(0,5)到兩條漸近線的距離為r3.3，得a3，b4，雙曲線G的方程為1.18已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，左，右焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在坐標(biāo)軸上，離心率為，且過(guò)點(diǎn)(4，)(1)求雙曲線的方程；(2)若點(diǎn)M(3，m)在雙曲線上，求證：120.【答案】(1) x2y26；(2)見(jiàn)解析【解析】(1)e，可設(shè)雙曲線的方程為x2y2(0)雙曲線過(guò)點(diǎn)(4，)，1610，即6，雙曲線的方程為x2y26.證法二：由證法一知1(32，m)，2(23，m)，12(32)(32)m23m2，點(diǎn)M在雙曲線上，9m26，即m230，120.19已知離心率為的橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，雙曲線以橢圓的長(zhǎng)軸為實(shí)軸，短軸為虛軸，且焦距為2.(1)求橢圓及雙曲線的方程(2)設(shè)橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，在第二象限內(nèi)取雙曲線上一點(diǎn)P，連接BP交橢圓于點(diǎn)M，連接PA并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)N，若，求四邊形ANBM的面積. 【答案】(1) 1；(2) 15(2)由(1)得A(5,0)，B(5,0)，|AB|10，設(shè)M(x0，y0)，則由得M為BP的中點(diǎn)，所以P點(diǎn)坐標(biāo)為(2x05, 2y0)將M，P坐標(biāo)代入橢圓和雙曲線方程，得消去y0，得2x5x0250.解之，得x0或x05(舍去)所以y0.由此可得M，所以P(10,3)當(dāng)P為(10,3)時(shí)，直線PA的方程是y(x5)，即y(x5)，代入1，得2x215x250.所以x或5(舍去)，所以xN，xNxM，MNx軸所以S四邊形ANBM2SAMB21015.