專題9 一元二次方程及其應用

學習方法報社 全新課標理念，優(yōu)質課程資源一元二次方程及其應用一.選擇題1.（2015上海,第10題4分）如果關于x的一元二次方程x24xm0沒有實數(shù)根，那么m的取值范圍是_【答案】【解析】2（2015·湖南省衡陽市，第8題3分）若關于的方程有一個根為1，則另一個根為（ ）A2 B2 C4 D33（2015·湖南省衡陽市，第11題3分）綠苑小區(qū)在規(guī)劃設計時，準備在兩幢樓房之間，設置一塊面積為900平方米的矩形綠地，并且長比寬多10米設綠地的寬為米，根據(jù)題意，可列方程為（ ）A B C D4（2015·湖南省益陽市，第7題5分）沅江市近年來大力發(fā)展蘆筍產(chǎn)業(yè)，某蘆筍生產(chǎn)企業(yè)在兩年內(nèi)的銷售額從20萬元增加到80萬元設這兩年的銷售額的年平均增長率為x，根據(jù)題意可列方程為（）A20（1+2x）=80B2×20（1+x）=80C20（1+x2）=80D20（1+x）2=80考點：由實際問題抽象出一元二次方程專題：增長率問題分析：根據(jù)第一年的銷售額×（1+平均年增長率）2=第三年的銷售額，列出方程即可解答：解：設增長率為x，根據(jù)題意得20（1+x）2=80，故選D點評：本題考查一元二次方程的應用求平均變化率的方法若設變化前的量為a，變化后的量為b，平均變化率為x，則經(jīng)過兩次變化后的數(shù)量關系為a（1±x）2=B（當增長時中間的“±”號選“+”，當下降時中間的“±”號選“”）5(2015湖南株洲,第8題3分)有兩個一元二次方程：M：N：，其中，以下列四個結論中，錯誤的是( )A如果方程M有兩個不相等的實數(shù)根，那么方程N也有兩個不相等的實數(shù)根；B如果方程M有兩根符號相同，那么方程N的兩根符號也相同；C如果5是方程M的一個根，那么是方程N的一個根；D如果方程M和方程N有一個相同的根，那么這個根必是【試題分析】本題是關于一元二次方程的判別式，及根與系數(shù)的關系：AM有兩個不相等的實數(shù)根0即而此時N的判別式，故它也有兩個不相等的實數(shù)根；BM的兩根符號相同：即，而N的兩根之積0也大于0，故N的兩個根也是同號的。C如果5是M的一個根，則有：，我們只需要考慮將代入N方程看是否成立，代入得：，比較與，可知式是由式兩邊同時除以25得到，故式成立。D比較方程M與N可得：故可知，它們?nèi)绻懈嗤母墒?或1答案為：D6. （2015四川成都,第8題3分）關于的一元二次方程有兩個不相等實數(shù)根，則的取值范圍是 （A） （B） （C） （D）且【答案】：D【解析】：這是一道一元二次方程的題，首先要是一元二次，則，然后有兩個不想等的實數(shù)根，則，則有，所以且，因此選擇。7. （2015四川涼山州,第7題4分）關于x的一元二次方程有實數(shù)根，則m的取值范圍是（ ）A B C且 D且【答案】D考點：1根的判別式；2一元二次方程的定義8. （2015四川瀘州,第10題3分）若關于的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根,則一次函數(shù)的大致圖象可能是 考點：根的判別式；一次函數(shù)的圖象.分析：根據(jù)一元二次方程x22x+kb+1=0有兩個不相等的實數(shù)根，得到判別式大于0，求出kb的符號，對各個圖象進行判斷即可解答：解：x22x+kb+1=0有兩個不相等的實數(shù)根，=44（kb+1）0，解得kb0，Ak0，b0，即kb0，故A不正確；Bk0，b0，即kb0，故B正確；Ck0，b0，即kb0，故C不正確；Dk0，b=0，即kb=0，故D不正確；故選：B點評：本題考查的是一元二次方程根的判別式和一次函數(shù)的圖象，一元二次方程根的情況與判別式的關系：（1）0方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）=0方程有兩個相等的實數(shù)根；（3）0方程沒有實數(shù)根9. （2015四川眉山，第8題3分）下列一元二次方程中有兩個不相等的實數(shù)根的方程是（）A（x1）2=0Bx2+2x19=0Cx2+4=0Dx2+x+l=0考點：根的判別式.分析：根據(jù)一元二次方程根的判別式，分別計算的值，進行判斷即可解答：解：A、=0，方程有兩個相等的實數(shù)根；B、=4+76=800，方程有兩個不相等的實數(shù)根；C、=160，方程沒有實數(shù)根；D、=14=30，方程沒有實數(shù)根故選：B點評：本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根的判別式=b24ac：當0，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當=0，方程有兩個相等的實數(shù)根；當0，方程沒有實數(shù)根10（2015山東日照 ，第9題4分）某縣大力推進義務教育均衡發(fā)展，加強學校標準化建設，計劃用三年時間對全縣學校的設施和設備進行全面改造，2014年縣政府已投資5億元人民幣，若每年投資的增長率相同，預計2016年投資7.2億元人民幣，那么每年投資的增長率為（）A 20%B40%C220%D30%考點：一元二次方程的應用.專題：增長率問題分析：首先設每年投資的增長率為x根據(jù)2014年縣政府已投資5億元人民幣，若每年投資的增長率相同，預計2016年投資7.2億元人民幣，列方程求解解答：解：設每年投資的增長率為x，根據(jù)題意，得：5（1+x）2=7.2，解得：x1=0.2=20%，x2=2.2（舍去），故每年投資的增長率為為20%故選：A點評：此題主要考查了一元二次方程的實際應用，解題的關鍵是掌握增長率問題中的一般公式為a（1+x）n，其中n為共增長了幾年，a為第一年的原始數(shù)據(jù)，x是增長率11（2015四川廣安，第8題3分）一個等腰三角形的兩條邊長分別是方程x27x+10=0的兩根，則該等腰三角形的周長是（）A12B9C13D12或9考點：解一元二次方程因式分解法；三角形三邊關系；等腰三角形的性質.分析：求出方程的解，即可得出三角形的邊長，再求出即可解答：解：x27x+10=0，（x2）（x5）=0，x2=0，x5=0，x1=2，x2=5，等腰三角形的三邊是2，2，52+25，不符合三角形三邊關系定理，此時不符合題意；等腰三角形的三邊是2，5，5，此時符合三角形三邊關系定理，三角形的周長是2+5+5=12；即等腰三角形的周長是12故選：A點評：本題考查了等腰三角形性質、解一元二次方程、三角形三邊關系定理的應用等知識，關鍵是求出三角形的三邊長12. （2015山東濟寧，5，3分）三角形兩邊長分別為3和6，第三邊是方程的根，則三角形的周長為( )A.13 B.15 C.18 D.13或18【答案】A【解析】試題分析：解一元二次方程可求得方程的兩根為，那么根據(jù)三角形的三邊關系，可知3第三邊9，得到合題意的邊為4，進而求得三角形周長為3+4+6=13故選A考點：解一元二次方程，三角形的三邊關系，三角形的周長13（2015甘肅蘭州,第6題，4分）一元二次方程配方后可變形為A. B. C. D. 【 答 案 】C【考點解剖】本題考查的是等式的基本性質，以及乘法公式中的相關知識?！局R準備】完全平方公式：【解答過程】將各選項左邊展開，并整理成一般式：A：，；B：，；C：，；D：，因此正確選項為C【思維模式】此類題的關鍵在于配方【一題多解】由于在配方過程中，需要在方程的兩邊加上相同的一個數(shù)；而我們在解方程過程中經(jīng)常需要用到的“移項”，其實際上也是在方程兩邊都加上相等的東西，因此，無論方程如何變形，兩邊增減的“量”都是相等的，所以本題亦可采用如下方式進行：在原方程中，取，此時，左邊=1，右邊=0，在各選擇支中，如果變形是正確的話，左邊應該始終比右邊的值小1，在時，A左=16，A右=17； B左=16，B右=15，則(即B被排除)；C左=16，C右=17； D左=16，D右=15，則；現(xiàn)在留下A、C兩個選項，難道兩個都是正確的嗎？當然不是。我們再換一個的值試試：取，那么原式左邊=8，原式右邊=0，也就是說：在同樣的條件下，如果是正確的變形，那么一定是滿足左邊=右邊8，反之，如果不滿足這一條件，那么就一定是錯的。當時，A左=25A右8，所以這里需要提醒注意的是：這樣的方法只能用來排除錯誤，不能保證正確。如在本題中，當時，雖然也有C左=C右8，但不能就此判言C為正確，但因為A，B，D都已被排除，所以唯一留下的C選項必為對的。再啰嗦一句：上面介紹的“特殊值法”，在本題中其實反而顯得很笨拙，但如果換個場合，有可能是一個高效、靈活的解題方法?！绢}目星級】14（2015廣東省,第8題，3分）若關于x的方程有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍是【 】A.B.C.D.【答案】C.【考點】一元二次方程根的判別式；解一元一次不等式. 【分析】關于的方程有兩個不相等的實數(shù)根，即1490，解得.故選C.15（2015甘肅蘭州,第11題，4分）股票每天的漲、跌幅均不超過10%，即當漲了原價的10%后，便不能再張，叫做漲停；當?shù)嗽瓋r的10%后，便不能再跌，叫做跌停。已知一支股票某天跌停，之后兩天時間又漲回到原價，若這兩天此股票股價的平均增長率為，則滿足的方程是A. B. C. D. 【 答 案 】B【考點解剖】本題考查了增長率的概念和方程的基本性質【知識準備】所謂某個量，它增長了，意味著增長部分是，那么它就由原來的，增長到了（），也就是【思路點拔】我們可以將整個原價假設為1（如果你覺得不放心，也可以假設為或等與現(xiàn)有字母不沖突的任何字母），那么跌停后的價格就是0.9。之后兩天中的第一天，是在0.9的基礎上增加了，那么就是到了；接下去要注意的是：雖然第二天增長率同樣為，但是起步價變了，已經(jīng)不是0.9，而是前一天收市之后的，它是在的基礎上增加到了倍（請注意增加和增加到的區(qū)別），因此，現(xiàn)在的股價是，也就是?！窘獯疬^程】跌停后，股價為0.9，連續(xù)兩天按照的增長率增長后，股價為，根據(jù)題意，得方程，那么正確選項為B?！疽族e點津】首先必須要分清楚增加（或減少）的這一部分的量和原來的基礎“1”有沒有關系？其次，這個基礎“1”前后是否發(fā)生了變化?！绢}目星級】16（2015安徽省,第6題，4分）我省2013年的快遞業(yè)務量為1.4億件，受益于電子商務發(fā)展和法治環(huán)境改善等多重因素，快遞業(yè)務迅猛發(fā)展，2014年增速位居全國第一若2015年的快遞業(yè)務量達到4.5億件，設2014年與2013年這兩年的平均增長率為x，則下列方程正確的是（ ）A1.4(1x)4.5 B1.4(12x)4.5C1.4(1x)24.5 D1.4(1x)1.4(1x)24.5考點：由實際問題抽象出一元二次方程.專題：增長率問題分析：根據(jù)題意可得等量關系：2013年的快遞業(yè)務量×（1+增長率）2=2015年的快遞業(yè)務量，根據(jù)等量關系列出方程即可解答：解：設2014年與2013年這兩年的平均增長率為x，由題意得1.4（1+x）2=4.5，故選：C點評：此題主要考查了由實際問題抽象出一元二次方程，關鍵是掌握平均變化率的方法，若設變化前的量為a，變化后的量為b，平均變化率為x，則經(jīng)過兩次變化后的數(shù)量關系為a（1±x）2=B17.（2015山東聊城,第13題3分）一元二次方程x22x=0的解是x1=0，x2=2考點：解一元二次方程因式分解法.分析：本題應對方程左邊進行變形，提取公因式x，可得x（x2）=0，將原式化為兩式相乘的形式，再根據(jù)“兩式相乘值為0，這兩式中至少有一式值為0”，即可求得方程的解解答：解：原方程變形為：x（x2）=0，x1=0，x2=2故答案為：x1=0，x2=2點評：本題考查了一元二次方程的解法解一元二次方程常用的方法有直接開平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根據(jù)方程的特點靈活選用合適的方法本題運用的是因式分解法18. （2015浙江金華，第5題3分）一元二次方程的兩根為， ，則的值是【 】A. 4 B. 4 C. 3 D. 3【答案】D.【考點】一元二次方程根與系數(shù)的關系.【分析】一元二次方程的兩根為， ，.故選D.19. （2015四川南充,第10題3分）關于x的一元二次方程有兩個整數(shù)根且乘積為正，關于y的一元二次方程同樣也有兩個整數(shù)根且乘積為正給出四個結論：這兩個方程的根都是負根；其中正確結論的個數(shù)是（ ）（A）0個 （B）1個 （C）2個 （D）3個【答案】D考點：一元二次方程根與系數(shù)的關系.20. （2015浙江濱州,第3題3分）一元二次方程的根的情況是( )A.沒有實數(shù)根 B.只有一個實數(shù)根C.有兩個相等的實數(shù)根D.有兩個不相等的實數(shù)根【答案】C考點：一元二次方程的根的判別式21. （2015浙江濱州,第5題3分）時，下列變形正確的為( )A. B. C. D.【答案】D考點：配方法解一元二次方程22（2015廣東廣州,第10題3分）已知2是關于x的方程x22mx+3m=0的一個根，并且這個方程的兩個根恰好是等腰三角形ABC的兩條邊長，則三角形ABC的周長為（ ）A 10B 14C 10或14D8或10 考點：解一元二次方程因式分解法；一元二次方程的解；三角形三邊關系；等腰三角形的性質分析：先將x=2代入x22mx+3m=0，求出m=4，則方程即為x28x+12=0，利用因式分解法求出方程的根x1=2，x2=6，分兩種情況：當6是腰時，2是等邊；當6是底邊時，2是腰進行討論注意兩種情況都要用三角形三邊關系定理進行檢驗解答：解：2是關于x的方程x22mx+3m=0的一個根，224m+3m=0，m=4，x28x+12=0，解得x1=2，x2=6當6是腰時，2是等邊，此時周長=6+6+2=14；當6是底邊時，2是腰，2+26，不能構成三角形所以它的周長是14故選B點評：此題主要考查了一元二次方程的解，解一元二次方程因式分解法，三角形三邊關系定理以及等腰三角形的性質，注意求出三角形的三邊后，要用三邊關系定理檢驗23（2015廣東佛山,第9題3分）如圖，將一塊正方形空地劃出部分區(qū)域進行綠化，原空地一邊減少了2m，另一邊減少了3m，剩余一塊面積為20m2的矩形空地，則原正方形空地的邊長是（ ）A 7mB 8mC 9mD10m考點：一元二次方程的應用專題：幾何圖形問題分析：本題可設原正方形的邊長為xm，則剩余的空地長為（x2）m，寬為（x3）m根據(jù)長方形的面積公式方程可列出，進而可求出原正方形的邊長解答：解：設原正方形的邊長為xm，依題意有（x3）（x2）=20，解得：x1=7，x2=2（不合題意，舍去）即：原正方形的邊長7m故選：A點評：本題考查了一元二次方程的應用學生應熟記長方形的面積公式另外求得剩余的空地的長和寬是解決本題的關鍵 24（2015甘肅武威,第7題3分）今年來某縣加大了對教育經(jīng)費的投入，2013年投入2500萬元，2015年投入3500萬元假設該縣投入教育經(jīng)費的年平均增長率為x，根據(jù)題意列方程，則下列方程正確的是（ ）A 2500x2=3600B2500（1+x）2=3600C 2500（1+x%）2=3600D2500（1+x）+2500（1+x）2=3600 考點：由實際問題抽象出一元二次方程專題：增長率問題分析：根據(jù)2013年教育經(jīng)費額×（1+平均年增長率）2=2015年教育經(jīng)費支出額，列出方程即可解答：解：設增長率為x，根據(jù)題意得2500×（1+x）2=3500，故選B點評：本題考查一元二次方程的應用求平均變化率的方法若設變化前的量為a，變化后的量為b，平均變化率為x，則經(jīng)過兩次變化后的數(shù)量關系為a（1±x）2=B（當增長時中間的“±”號選“+”，當下降時中間的“±”號選“”）25.（2015山東省德州市，7，3分）若一元二次方程x2+2x+a=0有實數(shù)解，則a的取值范圍是（ ） A.a<1 B. a4 C.a1 D.a1【答案】C 考點：一元二次方根的判別式依次順延二.填空題(2015江蘇南昌,第11題3分)已知一元二次方程的兩根為m,n ,則= .答案：解析：由一元二次方程根與系數(shù)關系得mn=4,mn=3，又 原式=.(2015江蘇南京,第12題3分)已知方程的一個根是1，則它的另一個根是_ ，m的值是 _【答案】3，4【解析】試題分析：設方程的另一個解是a，則1+a=m，1×a=3，解得：m=4，a=3故答案為：3，4考點：1根與系數(shù)的關系；2一元二次方程的解3（2015甘肅武威,第16題3分）關于x的方程kx24x=0有實數(shù)根，則k的取值范圍是 k6 考點：根的判別式；一元一次方程的解分析：由于k的取值不確定，故應分k=0（此時方程化簡為一元一次方程）和k0（此時方程為二元一次方程）兩種情況進行解答解答：解：當k=0時，4x=0，解得x=，當k0時，方程kx24x=0是一元二次方程，根據(jù)題意可得：=164k×（）0，解得k6，k0，綜上k6，故答案為k6點評：本題考查的是根的判別式，注意掌握一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根與=b24ac有如下關系：當0時，方程有兩個不相等的兩個實數(shù)根；當=0時，方程有兩個相等的兩個實數(shù)根；當0時，方程無實數(shù)根同時解答此題時要注意分k=0和k0兩種情況進行討論4. （2015綿陽第17題，3分）關于m的一元二次方程nm2n2m2=0的一個根為2，則n2+n2=26考點：一元二次方程的解.專題：計算題分析：先根據(jù)一元二次方程的解的定義得到4n2n22=0，兩邊除以2n得n+=2，再利用完全平方公式變形得到原式=（n+）22，然后利用整體代入的方法計算解答：解：把m=2代入nm2n2m2=0得4n2n22=0，所以n+=2，所以原式=（n+）22=（2）22=26故答案為：26點評：本題考查了一元二次方程的解（根）的意義：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解又因為只含有一個未知數(shù)的方程的解也叫做這個方程的根，所以，一元二次方程的解也稱為一元二次方程的根也考查了代數(shù)式的變形能力5. （2015四川省內(nèi)江市，第15題，5分）已知關于x的方程x26x+k=0的兩根分別是x1，x2，且滿足+=3，則k的值是2考點：根與系數(shù)的關系.分析：找出一元二次方程的系數(shù)a，b及c的值，利用根與系數(shù)的關系求出兩根之和與兩根之積，然后利用完全平方公式變形后，將求出的兩根之和與兩根之積代入，即可求出所求式子的值解答：解：3x2+2x11=0的兩個解分別為x1、x2，x1+x2=6，x1x2=k，+=3，解得：k=2，故答案為：2點評：此題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關系，對所求的代數(shù)式進行正確的變形是解決本題的關鍵6. （2015四川省宜賓市，第11題，3分）關于x的一元一次方程x2x+m=0沒有實數(shù)根，則m的取值范圍是 . 7. （2015四川省宜賓市，第13題，3分）某樓盤2013年房價為每平方米8100元，經(jīng)過兩年連續(xù)降價后，2015年房價為7600元.設該樓盤這兩年房價平均降低率為x，根據(jù)題意可列方程為 .8. （2015浙江省臺州市，第15題）.關于x的方程，有以下三個結論：當m=0時，方程只有一個實數(shù)解當時，方程有兩個不等的實數(shù)解無論m取何值，方程都有一個負數(shù)解，其中正確的是 （填序號）9. （2015四川瀘州,第15題3分）設、是一元二次方程的兩實數(shù)根，則的值為 .考點：根與系數(shù)的關系.分析：首先根據(jù)根與系數(shù)的關系求出x1+x2=5，x1x2=1，然后把x12+x22轉化為x12+x22=（x1+x2）22x1x2，最后整體代值計算解答：解：x1、x2是一元二次方程x25x1=0的兩實數(shù)根，x1+x2=5，x1x2=1，x12+x22=（x1+x2）22x1x2=25+2=27，故答案為27點評：本題主要考查了根與系數(shù)的關系的知識，解答本題的關鍵是掌握一元二次方程兩根之和與兩根之積與系數(shù)的關系，此題難度不大10. （2015四川成都,第25題4分）如果關于的一元二次方程有兩個實數(shù)根，且其中一個根為另一個根的2倍，則稱這樣的方程為“倍根方程”，以下關于倍根方程的說法，正確的是 .（寫出所有正確說法的序號）方程是倍根方程；若是倍根方程，則；若點在反比例函數(shù)的圖像上，則關于的方程是倍根方程；若方程是倍根方程，且相異兩點，都在拋物線上，則方程的一個根為.【答案】【解析】：研究一元二次方程是倍根方程的一般性結論，設其中一根為，則另一個根為，因此，所以有；我們記，即時，方程為倍根方程；下面我們根據(jù)此結論來解決問題：對于， ，因此本選項錯誤；對于，而，因此本選項正確；對于，顯然，而，因此本選項正確；對于，由，知 ，由倍根方程的結論知，從而有，所以方程變?yōu)?，因此本選項錯誤。綜上可知，正確的選項有：。11. （2015四川涼山州,第25題5分）已知實數(shù)m，n滿足，且，則= 【答案】考點：根與系數(shù)的關系12.（2015江蘇徐州,第13題3分）已知關于x的一元二次方程x22xk=0有兩個相等的實數(shù)根，則k值為3考點：根的判別式.分析：因為方程有兩個相等的實數(shù)根，則=（2）2+4k=0，解關于k的方程即可解答：解：關于x的一元二次方程x22xk=0有兩個相等的實數(shù)根，=0，即（2）24×（k）=12+4k=0，解得k=3故答案為：3點評：本題考查了一元二次方程根的判別式，當0，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當=0，方程有兩個相等的實數(shù)根；當0，方程沒有實數(shù)根13（2015山東日照 ，第15題3分）如果m，n是兩個不相等的實數(shù)，且滿足m2m=3，n2n=3，那么代數(shù)式2n2mn+2m+2015=2026考點：根與系數(shù)的關系.分析：由于m，n是兩個不相等的實數(shù)，且滿足m2m=3，n2n=3，可知m，n是x2x3=0的兩個不相等的實數(shù)根則根據(jù)根與系數(shù)的關系可知：m+n=2，mn=3，又n2=n+3，利用它們可以化簡2n2mn+2m+2015=2（n+3）mn+2m+2015=2n+6mn+2m+2015=2（m+n）mn+2021，然后就可以求出所求的代數(shù)式的值解答：解：由題意可知：m，n是兩個不相等的實數(shù)，且滿足m2m=3，n2n=3，所以m，n是x2x3=0的兩個不相等的實數(shù)根，則根據(jù)根與系數(shù)的關系可知：m+n=1，mn=3，又n2=n+3，則2n2mn+2m+2015=2（n+3）mn+2m+2015=2n+6mn+2m+2015=2（m+n）mn+2021=2×1（3）+2021=2+3+2021=2026故答案為：2026點評：本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關系，解題關鍵是把所求代數(shù)式化成兩根之和、兩根之積的系數(shù)，然后利用根與系數(shù)的關系式求值14（2015·四川甘孜、阿壩，第14題4分）若矩形ABCD的兩鄰邊長分別為一元二次方程x27x+12=0的兩個實數(shù)根，則矩形ABCD的對角線長為5考點：矩形的性質；解一元二次方程因式分解法；勾股定理.分析：首先解方程求得方程的兩個根，即可求得矩形的兩邊長，然后利用勾股定理即可求得對角線長解答：解：方程x27x+12=0，即（x3）（x4）=0，則x3=0，x4=0，解得：x1=3，x2=4則矩形ABCD的對角線長是：=5故答案是：5點評：本題考查了一元二次方程的解法以及矩形的性質，正確解方程求得矩形的邊長是關鍵解一元二次方程的基本思想是降次15（2015北京市,第14題，3分）關于x的一元二次方程ax2+bx+=0有兩個相等的實數(shù)根，寫出一組滿足條件的實數(shù)a，b的值：a=_，b=_【考點】一元二次方程【難度】容易【答案】（滿足b2=a，a0即可，答案不唯一）【點評】本題考查一元二次方程的基本概念。16. （2015甘肅蘭州,第16題，4分）若一元二次方程有一根為，則=_【 答 案 】2015【考點解剖】本題考查了方程的解的概念【知識準備】能使方程兩邊的值相等的未知數(shù)的值，稱為方程的解。【解答過程】因為是方程的解，所以，即，所以【題目星級】17. （2015呼和浩特，15，3分）若實數(shù)a、b滿足(4a+4b) (4a+4b2)8=0，則a+b=_.考點分析：解一元二次方程 整體思想詳解： 或1 這個題目比較簡單，但是道理還是不錯的。設a+b=w并代入，則原式為4w（4w2）8=0，再一看，還可以簡單一下，設4a+4b=m=4（a+b）并代入，則原式為m（m2）8=0，易解得m=4或m=2。下面自己算了。18(2015·貴州六盤水，第13題4分)已知x13是關于x的一元二次方程的一個根，則方程的另一個根x2是 m（m-n）2來源:*中國教育出版網(wǎng)%考點：根與系數(shù)的關系.分析：根據(jù)根與系數(shù)的關系，由兩根之和可以求出方程的另一個根解答：解：設方程的另一個根是x2，則：3+x2=4，解得x=1，故另一個根是1故答案為1點評：本題考查的是一元二次方程的解，根據(jù)根與系數(shù)的關系，由兩根之和可以求出方程的另一個根19 (2015·黑龍江綏化，第15題 分)若關于x的一元二次方程ax+2x1=0無解 ，則a的取值范圍是_考點：根的判別式；一元二次方程的定義分析：根據(jù)一元二次方程的定義和根的判別式的意義得到a0且=224×a×（1）0，然后求出a的取值范圍解答：解：關于x的一元二次方程ax2+2x1=0無解，a0且=224×a×（1）0，解得a1，a的取值范圍是a1故答案為：a1點評：本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根的判別式=b24ac：當0，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當=0，方程有兩個相等的實數(shù)根；當0，方程沒有實數(shù)根也考查了一元二次方程的定義20.（2015湖南岳陽第12題4分）若關于x的一元二次方程x23x+m=0有兩個相等的實數(shù)根，則m=考點：根的判別式.分析：根據(jù)題意可得=0，據(jù)此求解即可解答：解：方程x23x+m=0有兩個相等的實數(shù)根，=94m=0，解得：m=故答案為：點評：本題考查了根的判別式，解答本題的關鍵是掌握當=0時，方程有兩個相等的兩個實數(shù)根21.（2015山東萊蕪,第15題4分）某公司在年的盈利額為萬元，預計年的盈利額將達到萬元，若每年比上一年盈利額增長的百分率相同，那么該公司在年的盈利額為_萬元【答案】220【解析】試題分析：根據(jù)題意可設每年比上一年盈利額增長的百分率為x，所以有，解得（舍去），所以該公司在2010年的盈利額為萬元.考點：一元二次方程的應用（增長率問題）22.（2015湖南邵陽第16題3分）關于x的方程x2+2xm=0有兩個相等的實數(shù)根，則m=1考點：根的判別式.分析：根據(jù)方程有兩個相等的實數(shù)根，判斷出根的判別式為0，據(jù)此求出m的值即可解答：解：關于x的方程x2+2xm=0有兩個相等的實數(shù)根，=0，224×1×（m）=0，解得m=1故答案為；1點評：本題考查了一元二次方程根的情況與判別式的關系：（1）0方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）=0方程有兩個相等的實數(shù)根；（3）0方程沒有實數(shù)根23.（2015湖北荊州第14題3分）若m，n是方程x2+x1=0的兩個實數(shù)根，則m2+2m+n的值為0考點：根與系數(shù)的關系；一元二次方程的解專題：計算題分析：由題意m為已知方程的解，把x=m代入方程求出m2+m的值，利用根與系數(shù)的關系求出m+n的值，原式變形后代入計算即可求出值解答：解：m，n是方程x2+x1=0的兩個實數(shù)根，m+n=1，m2+m=1，則原式=（m2+m）+（m+n）=11=0，故答案為：0點評：此題考查了根與系數(shù)的關系，以及一元二次方程的解，熟練掌握根與系數(shù)的關系是解本題的關鍵24.（2015福建泉州第12題4分）方程x2=2的解是±解：x2=2，x=±故答案為±三.解答題1（2015湖北鄂州第20題8分）關于x的一元二次方程x2+(2k+1)x+k2+1=0有兩個不等實根. （1）（4分）求實數(shù)k的取值范圍 （2）（4分）若方程兩實根滿足x1+x2=x1·x2，求k的值【答案】（1）k；（2）2. 考點：1.根的判別式；2.根與系數(shù)的關系2.（2015湖北荊州第24題12分）已知關于x的方程kx2+（2k+1）x+2=0（1）求證：無論k取任何實數(shù)時，方程總有實數(shù)根；（2）當拋物線y=kx2+（2k+1）x+2圖象與x軸兩個交點的橫坐標均為整數(shù)，且k為正整數(shù)時，若P（a，y1），Q（1，y2）是此拋物線上的兩點，且y1y2，請結合函數(shù)圖象確定實數(shù)a的取值范圍；（3）已知拋物線y=kx2+（2k+1）x+2恒過定點，求出定點坐標考點：拋物線與x軸的交點；根的判別式；二次函數(shù)圖象上點的坐標特征分析：（1）分類討論：該方程是一元一次方程和一元二次方程兩種情況當該方程為一元二次方程時，根的判別式0，方程總有實數(shù)根；（2）通過解kx2+（2k+1）x+2=0得到k=1，由此得到該拋物線解析式為y=x2+3x+2，結合圖象回答問題（3）根據(jù)題意得到kx2+（2k+1）x+2y=0恒成立，由此列出關于x、y的方程組，通過解方程組求得該定點坐標解答：（1）證明：當k=0時，方程為x+2=0，所以x=2，方程有實數(shù)根，當k0時，=（2k+1）24k×2=（2k1）20，即0，無論k取任何實數(shù)時，方程總有實數(shù)根；（2）解：令y=0，則kx2+（2k+1）x+2=0，解關于x的一元二次方程，得x1=2，x2=，二次函數(shù)的圖象與x軸兩個交點的橫坐標均為整數(shù)，且k為正整數(shù)，k=1該拋物線解析式為y=x2+3x+2，由圖象得到：當y1y2時，a1或a3（3）依題意得kx2+（2k+1）x+2y=0恒成立，即k（x2+2x）+xy+2=0恒成立，則，解得或所以該拋物線恒過定點（0，2）、（2，0）點評：本題考查了拋物線與x軸的交點與判別式的關系及二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，解答（1）題時要注意分類討論3. （2015四川南充,第20題8分）（8分）已知關于x的一元二次方程，p為實數(shù)（1）求證：方程有兩個不相等的實數(shù)根（2）p為何值時，方程有整數(shù)解（直接寫出三個，不需說明理由）【答案】略；P=0、2、2.【解析】考點：一元二次方程根的判別式.4. （2015四川南充,第25題10分）已知拋物線與x軸交于點A（m2，0）和B（2m1，0）（點A在點B的左側），與y軸相交于點C，頂點為P，對稱軸為l：x1（1）求拋物線解析式（2）直線ykx2(k0)與拋物線相交于兩點M（x1，y1），N(x2，y2)（x1x2），當 最小時，求拋物線與直線的交點M和N的坐標（3）首尾順次連接點O，B，P，C構成多邊形的周長為L若線段OB在x軸上移動，求L最小值時點O，B移動后的坐標及L的最小值 【答案】y=+2x+3；當最小時，拋物線與直線的交點為M(1,0)，N(1,4)；當線段OB向左平移，即點O平移到O(，0)，點B平移到B(，0)時，周長L最短為：+3.【解析】試題分析：根據(jù)對稱軸求出b的值，然后根據(jù)交點得出方程的解，然后利用一元二次方程的韋達定理求出m和c的值，從而得到拋物線解析式；根據(jù)函數(shù)的交點得出+和·的值，然后利用完全平方公式求出最小值，得出交點的坐標；根據(jù)線段OB平移過程中，OB、PC的長度不變，得到要使L最小，只需BP+CO最短，平移線段OC到BC得到四邊形OBCC是矩形，做點P關于x軸對稱點P(1，4)，連接CP與x軸交于點B，設CP解析式為y=ax+n，利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式，然后求出當y=0時，x的值，從而得出平移后點B的坐標，故點B向左平移，同時點O向左平移，平移到O(，0)即線段OB向左平移時，周長L最短.此時線段BP、CO之和最短為PC=，OB=OB=3 CP= (2) 、由 +(k2)x1=0 +=(k2) ·=1 當k=2時，的最小值為4即的最小值為2 1=0 =1，=1，即=4，=0當最小時，拋物線與直線的交點為M(1,0)，N(1,4).(3) 、O(0,0)，B(3,0)，P(1,4)，C(0,3) O、B、P、C構成多邊形的周長L=OB+BP+PC+CO線段OB平移過程中，OB、PC的長度不變 要使L最小，只需BP+CO最短如圖，平移線段OC到BC 四邊形OBCC是矩形 C(3,3)做點P關于x軸對稱點P(1，4)，連接CP與x軸交于點B，設CP解析式為y=ax+n 解得： y=當y=0時，x= B(，0) 有3= 故點B向左平移，平移到B同時點O向左平移，平移到O(，0)即線段OB向左平移時，周長L最短.此時線段BP、CO之和最短為PC=，OB=OB=3 CP=當線段OB向左平移，即點O平移到O(，0)，點B平移到B(，0)時，周長L最短為：+3.考點：圖形的平移、一元二次方程的韋達定理、二次函數(shù)與方程.5、（2015四川自貢,第20題10分）利用一面墻（墻的長度不限），另三邊用長的籬笆圍成一個面積為的矩形場地.求矩形的長和寬.考點：列方程解應用題、矩形的面積、解一元二次方程.分析：本題要注意長的籬笆是三邊靠墻圍成一個面積為的矩形場地. 要求矩形的長和寬可以根據(jù)矩形的面積建立方程來獲得解決.略解：如圖，設垂直于墻的一邊為米，得：解得：另一邊長為8米或50米.答：當矩形的長為25米寬時8米，當矩形邊長為50米時寬為4米.6. （2015浙江濱州,第24題14分）根據(jù)下列要求,解答相關問題.（1）請補全以下求不等式的解集的過程.構造函數(shù)，畫出圖象：根據(jù)不等式特征構造二次函數(shù)；并在下面的坐標系中(見圖1)畫出二次函數(shù)的圖象（只畫出圖象即可）.求得界點，標示所需：當y=0時，求得方程的解為 ；并用鋸齒線標示出函數(shù)圖象中y0的部分.借助圖象,寫出解集：由所標示圖象，可得不等式的解集為 .（2）利用（1）中求不等式解集的步驟,求不等式的解集.構造函數(shù)，畫出圖象：求得界點，標示所需：借助圖像，寫出解集：（3）參照以上兩個求不等式解集的過程,借助一元二次方程的求根公式，直接寫出關于x的不等式的解集. 【答案】（1）；.（2）當y=4時，求得方程的解為；借助圖象,直接寫出不等式的解集:.【解析】試題分析：（1）正確畫出圖像，借助圖像可知與x軸的交點的橫坐標的值就是y=0時的一元二次方程的解，然后借助圖像找到x軸上方的部分的x的取值就是不等式的解集；.（2）構造二次函數(shù)，并畫出圖象. 當y=4時，求得方程的解為；借助圖象,直接寫出不等式的解集:. （說明：以上三步中某一步出現(xiàn)錯誤，則以后的各步均不得分；若把不等式化為，構造函數(shù)進行求解亦可，具體評分參照上述標準） （3）當時，解集為或 （用“或”與“和”字連接均可）. 當時，解集為(或亦可) .當時，解集為全體實數(shù).考點：二次函數(shù)的圖像與一元二次方程的解，與不等式的解集 7(2015·南寧，第24題10分)如圖131，為美化校園環(huán)境，某校計劃在一塊長為60米，寬為40米的長方形空地上修建一個長方形花圃，并將花圃四周余下的空地修建成同樣寬的通道，設通道寬為米.（1）用含的式子表示花圃的面積；（2）如果通道所占面積是整個長方形空地面積的，求出此時通道的寬；（3）已知某園林公司修建通道、花圃的造價（元）、（元）與修建面積之間的函數(shù)關系如圖132所示，如果學校決定由該公司承建此項目，并要求修建的通道的寬度不少于2米且不超過10米，那么通道寬為多少時，修建的通道和花圃的總造價最低，最低總造價為多少元？圖132圖131考點：一次函數(shù)的應用；一元二次方程的應用.分析：（1）用含a的式子先表示出花圃的長和寬后利用其矩形面積公式列出式子即可；（2）根據(jù)通道所占面積是整個長方形空地面積的，列出方程進行計算即可；（3）根據(jù)圖象，設出通道和花圃的解析式，用待定系數(shù)法求解，再根據(jù)實際問題寫出自變量的取值范圍即可解答：解：（1）由圖可知，花圃的面積為（402a）（602a）；（2）由已知可列式：60×40（402a）（602a）=×60×40，解以上式子可得：a1=5，a2=45（舍去），答：所以通道的寬為5米；（3）設修建的道路和花圃的總造價為y，由已知得y1=40x，y2=，則y=y1+y2=；x花圃=（402a）（602a）=4a2200a+2400；x通道=60×40（402a）（602a）=4a2+200a，當2a10，800x花圃2016，384x通道1600，384x2016，所以當x取384時，y有最小值，最小值為2040，即總造價最低為23040元，當x=383時，即通道的面積為384時，有4a2+200a=384，解得a1=2，a2=48（舍去），所以當通道寬為2米時，修建的通道和花圃的總造價最低為23040元點評：本題考查了一次函數(shù)的應用以及一元二次方程的應用，解題的關鍵是表示出花圃的長和寬8.（2015江蘇泰州,第18題8分）已知：關于的方程。（1）不解方程：判斷方程根的情況；（2）若方程有一個根為3，求的值.【答案】(1) 方程x2+2mx+m21=0有兩個不相等的實數(shù)根；(2) m=4或m=2【解析】試題分析：（1）找出方程a、b及c的值，計算出根的判別式的值，根據(jù)其值的正負即可作出判斷；（2）將x=3代入已知方程中，列出關于系數(shù)m的新方程，通過解新方程即可求得m的值.試題解析：（1）（1）a=1，b=2m，c=m21， =b24ac=（2m）24×1×（m21）=40， 方程x2+2mx+m21=0有兩個不相等的實數(shù)根； （2）x2+2mx+m21=0有一個根是3， 32+2m×3+m21=0， 解得:m=4或m=2考點：1.根的判別式；2.一元二次方程的解.9.（2015江蘇徐州,第20題10分）（1）解方程：x22x3=0；（2）解不等式組：考點：解一元二次方程因式分解法；解一元一次不等式組.分析：（1）將方程的左邊因式分解后即可求得方程的解；（2）分別求得兩個不等式解集后取其公共部分即可求得不等式組的解集解答：解：（1）因式分解得：（x+1）（x3）=0，即x+1=0或x3=0，解得：x1=1，x2=3；（2）由得x3 由得x1不等式組的解集為x3點評：本題考查了因式分解法解一元二次方程及解一元一次不等式組的知識，屬于基礎知識，難度不大10.（2015山東東營,第23題8分）(本題滿分8分)2013年，東營市某樓盤以每平方米6500元的均價對外銷售因為樓盤滯銷，房地產(chǎn)開發(fā)商為了加快資金周轉，決定進行降價促銷，經(jīng)過連續(xù)兩年下調后，2015年的均價為每平方米5265元（1）求平均每年下調的百分率；（2）假設2016年的均價仍然下調相同的百分率，張強準備購買一套100平方米的住房，他持有現(xiàn)金20萬元，可以在銀行貸款30萬元，張強的愿望能否實現(xiàn)？（房價每平方米按照均價計算）【答案】（1）平均每年下調的百分率為10% ；（2）張強的愿望可以實現(xiàn).【解析】試題分析：（1）設平均每年下調的百分率為x，則2014年的均價為6500（1x),2015年的均價為6500（1x)（1x)，即6500（1x)2，根據(jù)題意，得：6500（1x)2=5265，解方程即可；（2）計算出2016年的均價，算出總房款，即可知道能否實現(xiàn).試題解析：（1）設平均每年下調的百分率為x，根據(jù)題意，得：6500（1x)2=5265，解得： x1=0.1=10%， x2=1.9（不合題意，舍去），答：平均每年下調的百分率為10% ；（2）如果下調的百分率相同，2016年的房價為：5265×（110%）=4738.5（元/m2），則100平方米的住房的總房款為100×4738.5=473850（元）=47.385（萬元），20+3047.385張強的愿望可以實現(xiàn).考點：一元二次方程的應用.11（2015廣東省,第17題，6分）解方程：.【答案】解：，或.，.【考點】因式分解法解一元二次方程.【分析】因式分解法就是先把方程的右邊化為0，再把左邊通過因式分解化為兩個一次因式的積的形式，那么這兩個因式的值就都有可能為0，這就能得到兩個一元一次方程的解，這樣也就把原方程進行了降次，把解一元二次方程轉化為解一元一次方程的問題（數(shù)學化歸思想）.12（2015甘肅蘭州,第21題，5分）（2）解方程：【考點解剖】本題考查一元二次方程的解法【解答過程】， ，所以，【題目星級】13（2015廣東梅州,第19題，7分）已知關于x的方程x2+2x+a2=0（1）若該方程有兩個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)a的取值范圍；（2）若該方程的一個根為1，求a的值及該方程的另一根考點：根的判別式；一元二次方程的解；根與系數(shù)的關系.分析：（1）關于x的方程x22x+a2=0有兩個不相等的實數(shù)根，即判別式=b24ac0即可得到關于a的不等式，從而求得a的范圍（2）設方程的另一根為x1，根據(jù)根與系數(shù)的關系列出方程組，求出a的值和方程的另一根解答：解：（1）b24ac=（2）24×1×（a2）=124a0，解得：a3a的取值范圍是a3；（2）設方程的另一根為x1，由根與系數(shù)的關系得：，解得：，則a的值是1，該方程的另一根為3點評：本題考查了一元二次方程根的判別式，一元二次方程根的情況與判別式的關系：（1）0方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）=0方程有兩個相等的實數(shù)根；（3）0方程沒有實數(shù)根 14. （2015遼寧大連，18，9分）解方程【答案】【解析】解：，x3=±,所以，故答案為15 （2015山東菏澤，21，8分）已知關于x的一元二次方程