新編全國通用高考數(shù)學二輪復習 第一部分 微專題強化練 專題7 解三角形含解析

【走向高考】（全國通用）20xx高考數(shù)學二輪復習 第一部分 微專題強化練 專題7 解三角形一、選擇題1(文)(20xx·唐山市一模)在直角梯形ABCD中，ABCD，ABC90°，AB2BC2CD，則cosDAC()A.B.C. D.答案B解析由已知條件可得圖形，如圖所示，設CDa，在ACD中，CD2AD2AC22AD×AC×cosDAC，a2(a)2(a)22×a×a×cosDAC，cosDAC.方法點撥解三角形的常見類型：(1)已知兩角和一邊，如已知A，B和c，由ABC求C，由正弦定理求a，b.(2)已知兩邊和這兩邊的夾角，如已知a、b和C，應先用余弦定理求c，再應用正弦定理先求較短邊所對的角，然后利用ABC求另一角(3)已知兩邊和其中一邊的對角，如已知a、b和A，應先用正弦定理求B，由ABC求C，再由正弦定理或余弦定理求c，要注意解的討論(4)已知三邊a、b、c，可應用余弦定理求A、B、C.(理)(20xx·河南六市聯(lián)考)在銳角ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，若sinA，a2，SABC，則b的值為()A.B.C2D2答案A解析由已知得：cosA，SABCbcsinAbc×，bc3，又由余弦定理得：a2b2c22bccosA，即b2c224，b2c26，bc2，解得bc，選A.2(20xx·南昌市一模)在ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，c1，B45°，cosA，則b等于()A. B.C. D.答案C解析因為cosA，所以sinA，所以sinCsin(AB)sin(AB)sinAcosBcosAsinBcos45°sin45°.由正弦定理，得b×sin45°.3(文)若三角形ABC中，sin(AB)sin(AB)sin2C，則此三角形的形狀是()A等腰三角形B直角三角形C等邊三角形D等腰直角三角形答案B解析sin(AB)sin(AB)sin2C，sin(AB)sinC0，sin(AB)sin(AB)，cosAsinB0，sinB0，cosA0，A為直角(理)(20xx·合肥第一次質檢)在ABC中，已知2acosBc，sinAsinB(2cosC)sin2，則ABC為()A等邊三角形B等腰直角三角形C銳角非等邊三角形D鈍角三角形答案B解析依題意得2sinAcosBsinCsin(AB)，2sinAcosBsin(AB)sin(AB)0，因此BA，C2A，于是有sin2A(2cos2A)cos2A，即sin2A(32sin2A)1sin2A，解得sin2A，因此sinA，又BA必為銳角，因此BA，ABC是等腰直角三角形，故選B.易錯分析本題易犯的主要錯誤是不能對所給恒等式進行有效化簡、變形，由于公式應用錯誤或者化簡過程的盲目性導致化簡過程無效，這是很多考生在此類問題中常犯的錯誤事實上，含有邊和角的恒等式，一般方法是實施邊和角的統(tǒng)一，如果邊化角后無法運算，則可以嘗試角化邊反之，如果角化邊較繁，則可以嘗試邊化角，平時訓練時就要注意歸納小結方法點撥判斷三角形形狀時，一般先利用所給條件將條件式變形，結合正余弦定理找出邊之間的關系或角之間的關系由于特殊的三角形主要從正三角形、等腰三角形、直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形方面命題，故分析條件時，應著重從上述三角形滿足的條件與已知條件的溝通上著手4(文)在ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若(a2c2b2)tanBac，則角B的值為()A. B.C.或 D.或答案D解析由(a2c2b2)tanBac得，·tanB，再由余弦定理cosB得，2cosB·tanB，即sinB，角B的值為或，故應選D.(理)在ABC中，已知b·cosCc·cosB3a·cosB，其中a、b、c分別為角A、B、C的對邊，則cosB的值為()A.BC.D答案A解析由正弦定理得sinBcosCsinCcosB3sinAcosB，sin(BC)3sinAcosB，sinA3sinAcosB，sinA0，cosB.方法點撥給出邊角關系的一個恒等式時，一般從恒等式入手化邊為角或化角為邊，再結合三角公式進行恒等變形，注意不要輕易對等式兩邊約去同一個因式5(文)(20xx·遼寧葫蘆島市一模)在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c.若c2(ab)26，C，則ABC的面積是()A3 B.C.D3答案C解析由余弦定理得：c2a2b22abcosCa2b2ab(ab)26，ab6，SABCabsinC×6×.(理)在ABC中，ABC，AB，BC3，則sinBAC()A. B.C. D.答案C解析本題考查了余弦定理、正弦定理由余弦定理得AC2AB2BC22AB×BC·cos292××3×5，AC，由正弦定理，sinA.6在銳角ABC中，設xsinA·sinB，ycosA·cosB，則x、y的大小關系為()AxyBx<yCx>yDxy答案C解析yxcosAcosBsinAsinBcos(AB)cos(C)cosC，ABC為銳角三角形，cosC>0，yx<0，y<x.7(20xx·昆明市質檢)設ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若AB邊上的高為，且a2b22ab，則C()A. B.C. D.答案B解析由已知得：SABCabsinC×c×，sinC，又由余弦定理得：cosCsinC，即sinCcosC，sin，sin1，C，C.8(文)(20xx·鄭州市質檢)在ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，已知sin(BA)sin(BA)3sin2A，且c，C，則ABC的面積是()A. B.C. D.或答案D解析由已知得：2sinBcosA3sin2A6sinAcosA，若cosA0，則A，則B，b，SABCbc××；若A，則sinB3sinA，由正弦定理得：b3a，又由余弦定理得：c2a2b22abcosC，即7a29a23a27a2，a1，b3，SABCabsinC×1×3×，選D.(理)(20xx·衡水中學三調)已知ABC的內(nèi)角A、B、C對的邊分別為a、b、c，sinAsinB2sinC，b3，當內(nèi)角C最大時，ABC的面積等于()A. B.C. D.答案A解析根據(jù)正弦定理及sinAsinB2sinC得ab2c，c，cosC2，當且僅當，即a時，等號成立，此時sinC，SABCabsinC××3×.二、填空題9已知ABC的一個內(nèi)角為120°，并且三邊長構成公差為4的等差數(shù)列，則ABC的面積為_答案15解析設三角形的三邊長分別為a4，a，a4，最大角為，由余弦定理得(a4)2a2(a4)22a(a4)·cos120°，則a10，所以三邊長為6,10,14.ABC的面積為S×6×10×sin120°15.方法點撥有關數(shù)列與三角函數(shù)知識交匯的題目，利用正余弦定理將數(shù)列關系式或數(shù)列問題轉化為三角函數(shù)問題，用三角函數(shù)知識解決10(文)(20xx·福建理，12)在ABC中，A60°，AC4，BC2，則ABC的面積等于_答案2解析本題考查正弦定理及三角形的面積公式，由正弦定理得，sinB1，B90°，AB2，S×2×22.(理)(20xx·天津理，12)在ABC中，內(nèi)角A、B、C所對的邊分別是a、b、c，已知bca,2sinB3sinC，則cosA的值為_答案解析2sinB3sinC，2b3c，又bca，ba，ca，cosA.11(20xx·南京二模)在ABC中，已知AB2，BC3，ABC60°，BDAC，D為垂足，則·的值為_答案解析利用余弦定理求出AC的長度，再利用面積公式求出BD，最后利用數(shù)量積的定義求解在ABC中，由余弦定理可得AC2492×2×3×7，所以AC，由ABC的面積公式可得×2×3××BD，解得BD.所以··()|2.方法點撥解答三角函數(shù)與平面向量交匯的題目，先運用向量的有關知識(平行、垂直、數(shù)量積的坐標表示等)脫去向量外衣再運用三角函數(shù)知識解決或先利用三角函數(shù)或解三角形的有關知識求出需要的量(邊的長度、角的大小)再進行向量運算三、解答題12(文)(20xx·新課標文，17)已知a，b，c分別為ABC內(nèi)角A，B，C的對邊，sin2B2sin Asin C.(1)若ab，求cos B；(2)設B90°，且a，求ABC的面積分析(1)本小題可先利用正弦定理，根據(jù)題設得出三角形的三條邊長之間的關系，再利用余弦定理求出cos B；(2)本小題中已知角B為直角，利用勾股定理列出方程，再結合()中a、c的關系式求出邊長c，即可求出ABC的面積解析(1)由題設及正弦定理可得b22ac.又ab，可得b2c，a2c.由余弦定理可得cos B.(2)由(1)知b22ac.因為B90°，由勾股定理得a2c2b2.故a2c22ac，得ca.所以ABC的面積為SABCac1.(理)(20xx·山西太原市一模)已知a，b，c分別是ABC的角A，B，C所對的邊，且c2，C.(1)若ABC的面積等于，求a，b；(2)若sinCsin(BA)2sin2A，求A的值解析(1)c2，C，由余弦定理得4a2b22abcosa2b2ab，ABC的面積等于，absinC，ab4，聯(lián)立解得a2，b2；(2)sinCsin(BA)2sin2A，sin(BA)sin(BA)4sinAcosA，sinBcosA2sinAcosA，當cosA0時，則A，當cosA0時，sinB2sinA，由正弦定理得b2a，聯(lián)立解得a，b，b2a2c2，C，A，綜上所述，A或A.13(文)(20xx·天津文，16)在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知ABC的面積為3，bc2，cos A.(1)求a和sin C的值；(2)求cos的值分析考查1.正弦定理、余弦定理及面積公式；2三角變換(1)由面積公式可得bc的值，結合bc2，可解得b，c.再由余弦定理求得a.最后由正弦定理求sin C的值；(2)直接展開求值解析(1)在ABC中，由cos A，得sin A，由SABCbcsin A3，得bc24，又由bc2，解得b6，c4.由a2b2c22bccos A，可得a8.由，得sin C.(2)coscos 2Acos sin 2Asin (2cos2A1)×2sin Acos A.(理)(20xx·安徽理，16)設ABC的內(nèi)角A、B、C所對邊的長分別是a、b、c且b3，c1，A2B.(1)求a的值；(2)求sin(A)的值解析(1)因為A2B，所以sinAsin2B2sinBcosB，由正、余弦定理得a2b·，因為b3，c1，所以a212，a2.(2)由余弦定理得cosA，由于0<A<，所以sinA，故sin(A)sinAcoscosAsin×()×.14(文)(20xx·陜西理，16)ABC的內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a，b，c.(1)若a、b、c成等差數(shù)列，證明：sinAsinC2sin(AC)；(2)若a、b、c成等比數(shù)列，求cosB的最小值. 解析(1)a，b，c成等差數(shù)列，ac2b，由正弦定理得sinAsinC2sinB.sinBsin(AC)sin(AC)，sinAsinC2sin(AC)(2)a，b，c成等比數(shù)列，b2ac，由余弦定理得cosB，當且僅當ac時，等號成立cosB的最小值為.(理)在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a、b、c，已知sinAsinBsinBsinCcos2B1.(1)求證：a，b，c成等差數(shù)列；(2)若C，求的值解析(1)由已知得sinAsinBsinBsinC2sin2B，因為sinB0，所以sinAsinC2sinB.由正弦定理，有ac2b，即a，b，c成等差數(shù)列(2)由C，c2ba及余弦定理得(2ba)2a2b2ab，即有5ab3b20，所以.15(文)在ABC中，已知a2tanBb2tanA，試判斷ABC的形狀分析條件式a2tanBb2tanA是邊a、b與角A、B的關系，可用正弦定理化邊為角，將“切化弦”，然后，通過三角變形探究A與B之間的關系判斷形狀；也可以應用正弦定理和余弦定理化角為邊，再通過代數(shù)變形探尋邊之間的關系后判斷形狀解析解法1：由正弦定理得a2RsinA，b2RsinB.(2RsinA)2(2RsinB)2，sinAcosAsinBcosB.sin2Asin2B，2A2B或2A2B，即AB或AB.ABC為等腰或直角三角形. 解法2：a2tanBb2tanA，.由正弦定理得.由余弦定理得cosB，cosA.·，整理得(a2b2)(c2a2b2)0.ab或a2b2c2，ABC為等腰或直角三角形(理)在ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，<C<且.(1)判斷ABC的形狀；(2)若|2，求·的取值范圍解析(1)由得，.由正弦定理得sinBsin2C.所以B2C或B2C.若B2C，由<C<知<2C<.即<B<，BC>，與三角形內(nèi)角和為矛盾，故B2C舍去B2C.A(BC)(2CC)C.故ABC為等腰三角形(2)由(1)知ac，|2，|24，a2c22accosB4，cosB，·accosB2a2，cosBcos(2C)cos2C，由<C<知<2C<，1<cos2C<，<cosB<1，<<1，1<a2<，<2a2<1，·的取值范圍是(，1)方法點撥“變”是解決三角問題的主題，變角、變名、變表達形式、變換次數(shù)等比比皆是，強化變換意識，抓住萬變不離其宗即公式不變，方法不變，要通過分析、歸類把握其規(guī)律.