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2018版高中數(shù)學 第1章 解三角形 1.2 第3課時 三角形中的幾何計算學案 新人教B版必修5.doc

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2018版高中數(shù)學 第1章 解三角形 1.2 第3課時 三角形中的幾何計算學案 新人教B版必修5.doc

第3課時三角形中的幾何計算1.掌握三角形的面積公式的應用.(重點)2.掌握正、余弦定理與三角函數(shù)公式的綜合應用.(難點)基礎初探教材整理三角形面積公式閱讀教材P10探索與研究P11,完成下列問題.1.三角形的面積公式(1)Sahabhbchc(ha,hb,hc分別表示a,b,c邊上的高);(2)Sabsin Cbcsin_Acasin_B;(3)S(abc)r(r為內(nèi)切圓半徑).2.三角形中常用的結論(1)ABC,;(2)在三角形中大邊對大角,反之亦然;(3)任意兩邊之和大于第三邊,任意兩邊之差小于第三邊;(4)三角形的誘導公式sin(AB)sin_C,cos(AB)cos_C,tan(AB)tan_C,sin cos ,cos sin .1.下列說法中正確的是_(填序號).(1)已知三角形的三邊長為a,b,c,內(nèi)切圓的半徑為r,則三角形的面積S(abc)r;(2)在ABC中,若cb2,SABC,則A60;(3)在ABC中,若a6,b4,C30,則SABC的面積是6;(4)在ABC中,若sin 2Asin 2B,則AB.【解析】(1)錯誤.因為一個三角形可以分割成三個分別以a,b,c為底,以內(nèi)切圓的半徑為高的三角形,所以三角形的面積為Sarbrcr(abc)r.(2)錯誤.由三角形面積公式Sbcsin A得,22sin A,所以sin A,則A60或A120.(3)正確.因為三角形的面積Sabsin C64sin 306.(4)錯誤.因為在ABC中,若sin 2Asin 2B,則2A2B或2A2B,即AB或AB.【答案】(3)2.在ABC中,a6,B30,C120,則ABC的面積為_【解析】由題知A1801203030.,b6,S66sin 1209.【答案】93.在ABC中,ab60,SABC15,ABC的外接圓半徑為,則邊c的長為_.【解析】SABCabsin C15,sin C.由正弦定理2R,c2Rsin C3.【答案】34.若ABC的面積為,BC2,C60,則邊AB的長度等于_.【解析】在ABC中,由面積公式得SBCACsin C2ACsin 60AC,AC2.BC2,C60,ABC為等邊三角形.AB2.【答案】2小組合作型三角形面積的計算(1)ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知b2,B,C,則ABC的面積為()A.22B.1C.22D.1(2)在ABC中,SABC(a2b2c2),則C_.(3)在ABC中,A60,AB2,且ABC的面積SABC,則邊BC的長為_. 【導學號:18082012】【精彩點撥】(1)利用正弦定理求邊c,然后利用三角形面積公式求解.(2)由三角形面積Sabsin C與余弦定理cos C相結合求解.(3)由已知可先利用三角形面積公式Sbcsin A求出AC,然后利用余弦定理求BC.【自主解答】(1)由正弦定理及已知條件得c2,又sin Asin(BC).從而SABCbcsin A221.(2)由SABC(a2b2c2)得absin C(a2b2c2),即sin C.sin Ccos C,即tan C1,C.(3)由SABC,得ABACsin A,即2AC,AC1.由余弦定理得BC2AB2AC22ABACcos A22122213.BC.【答案】(1)B(2)(3) 1.由于三角形的面積公式有三種形式,實際使用時要結合題目的條件靈活運用.2.如果已知兩邊及其夾角可以直接求面積,否則先用正、余弦定理求出需要的邊或角,再套用公式計算.再練一題1.已知在ABC中,cos A,cos B,BC5,求ABC的面積.【解】由cos A,得sin A.由cos B,得sin B.所以sin Csin(AB)sin Acos Bcos Asin B.由正弦定理得AC.所以ABC的面積為SBCACsin C5.三角形的證明問題在ABC中,A、B、C的對邊分別為a,b,c.證明:.【精彩點撥】由左往右證,可由邊化角展開;由右往左證,可由角化邊展開.【自主解答】法一:由余弦定理a2b2c22bccos A,b2a2c22accos B,a2b2b2a22bccos A2accos B,整理得:.依正弦定理有,.法二:.1.三角恒等式證明的三個基本原則(1)統(tǒng)一邊角關系.(2)由繁推簡.(3)目標明確,等價轉(zhuǎn)化.2.三角恒等式證明的基本途徑(1)把角的關系通過正、余弦定理轉(zhuǎn)化為邊的關系,然后進行化簡、變形.(2)把邊的關系轉(zhuǎn)化為角的關系,一般是通過正弦定理,然后利用三角函數(shù)公式進行恒等變形.再練一題2.在ABC中,求證:.【證明】由正弦定理得右邊左邊.原等式成立.探究共研型三角形中的綜合問題探究1如圖1228所示,圖中共有幾個三角形?線段AD分別是哪些三角形的邊,B是哪些三角形的內(nèi)角?圖1228【提示】在圖形中共有三個三角形,分別為ABC,ABD,ADC;線段AD是ADC與ABD的公共邊,B既是ABC的內(nèi)角,又是ABD的內(nèi)角.探究2在探究1中,若sin Bsin ADB,則ABD是什么形狀的三角形?在此條件下若已知ABm,DCn,如何求出AC?【提示】若sin Bsin ADB,則ABD為等腰三角形,在此條件下,可在ABD中先求出AD,然后利用余弦定理在ADC中求出AC,也可以在ABD中先求出BD,然后在ABC中,利用余弦定理求出AC.探究3在探究1的圖形中若已知B與C的大小如何表示(或求)A,如何用B與C的正、余弦值表示A的正弦值?【提示】A(BC),sin Asin(BC)sin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C.在ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知A,bsincsina.(1)求證:BC;(2)若a,求ABC的面積. 【導學號:18082013】【精彩點撥】(1)先由正弦定理化邊為角,再化簡已知三角形即證.(2)結合第(1)問可直接求出B,C,再利用面積公式求值;也可以作輔助線導出b,c的大小關系,再由余弦定理求值,最后用面積公式求解.【自主解答】(1)由bsincsina,應用正弦定理,得sin Bsinsin Csinsin A,所以sin Bsin Csin Bcos B,整理得sin Bcos Ccos Bsin C1,即sin(BC)1,因為0<B<,0<C<,從而BC.(2)因BCA,所以B,C.由a,A得b2sin ,c2sin ,所以ABC的面積Sbcsin Asin sin cos sin .1.解三角形綜合問題,除靈活運用正、余弦定理及三角形的有關知識外,一般還要用到三角函數(shù),三角恒等變換,平面向量等知識,因此掌握正、余弦定理,三角函數(shù)的公式及性質(zhì)是解題關鍵.2.三角形問題中,涉及變量取值范圍或最值問題要注意函數(shù)思想的應用.再練一題3.如圖1229,在四邊形ABCD中,ACCDAB1,1,sinBCD.圖1229(1)求BC邊的長;(2)求四邊形ABCD的面積.【解】(1)ACCDAB1,|cosBAC2cosBAC1,cosBAC,BAC60.在ABC中,由余弦定理,有BC2AB2AC22ABACcosBAC22122213,BC.(2)由(1)知,在ABC中,有AB2BC2AC2,ABC為直角三角形,且ACB90,SABCBCAC1.又BCDACBACD90ACD,sinBCD,cosACD,從而sinACD,SACDACCDsinACD11.S四邊形ABCDSABCSACD.1.在ABC中,a,b,c分別是角A,B,C的對邊,a5,b4,cos C,則ABC的面積是()A.8 B.6 C.4 D.2【解析】cos C,C(0,),sin C,SABCabsin C546.故選B.【答案】B2.已知ABC的面積為,且b2,c,則()A.A30B.A60C.A30或150D.A60或120【解析】Sbcsin A,2sin A,sin A,A60或120.故選D.【答案】D3.在ABC中,已知AB3,A120,且ABC的面積為,則BC邊的長為_.【解析】SABC3bsin 120,b5,由余弦定理得a23252235cos 12049,a7,即BC7.【答案】74.在ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知BC,a,b1,則SABC等于_.【解析】因為BC,所以A,由,得,則sin B,因為a>b,所以A>B,則B,所以C,SABCabsin C11.【答案】5.在ABC中,內(nèi)角A,B,C對邊的邊長分別為a,b,c,已知c2,C.(1)若ABC的面積等于,求a,b;(2)若sin B2sin A,求ABC的面積.【解】(1)由余弦定理,得a2b2ab4.因為ABC的面積等于,所以absin C,得ab4.聯(lián)立方程解得(2)由正弦定理,已知條件可化為b2a.聯(lián)立方程解得所以ABC的面積Sabsin C.

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