2020高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 課時(shí)作業(yè)55 直線與圓錐曲線 理.doc

課時(shí)作業(yè)55直線與圓錐曲線 基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1過(guò)橢圓1內(nèi)一點(diǎn)P(3,1)，求被這點(diǎn)平分的弦所在直線方程解析：設(shè)直線與橢圓交于A(x1，y1)、B(x2，y2)兩點(diǎn)，由于A、B兩點(diǎn)均在橢圓上，故1，1，兩式相減得0.又P是A、B的中點(diǎn)，x1x26，y1y22，kAB.直線AB的方程為y1(x3)即3x4y130.2.2019鄭州入學(xué)測(cè)試已知橢圓C：1(a>b>0)的離心率為，以橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積為8.(1)求橢圓C的方程；(2)如圖，斜率為的直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P(2,1)在直線l的左上方若APB90，且直線PA，PB分別與y軸交于點(diǎn)M，N，求線段MN的長(zhǎng)度解析：(1)由題意知解得所以橢圓C的方程為1.(2)設(shè)直線l：yxm，A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯(lián)立，得消去y，化簡(jiǎn)整理，得x22mx2m240.則由(2m)24(2m24)>0，得2<m<2.由根與系數(shù)的關(guān)系得，x1x22m，x1x22m24，因?yàn)閗PA，kPB，所以kPAkPB，上式中，分子(x22)(x12)x1x2(m2)(x1x2)4(m1)2m24(m2)(2m)4(m1)0.所以kPAkPB0.因?yàn)锳PB90，所以kPAkPB1，則kPA1，kPB1.所以PMN是等腰直角三角形，所以|MN|2xP4.3已知橢圓C：1(ab0)的一個(gè)頂點(diǎn)為A(2,0)，離心率為.直線yk(x1)與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M，N.(1)求橢圓C的方程；(2)當(dāng)AMN的面積為時(shí)，求k的值解析：(1)由題意得解得b，所以橢圓C的方程為1.(2)由得(12k2)x24k2x2k240.設(shè)點(diǎn)M，N的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則y1k(x11)，y2k(x21)，x1x2，x1x2，所以|MN|.又因?yàn)辄c(diǎn)A(2,0)到直線yk(x1)的距離d，所以AMN的面積為S|MN|d，由，解得k1.42019山西八校聯(lián)考如圖，設(shè)橢圓的中心為原點(diǎn)O，長(zhǎng)軸在x軸上，上頂點(diǎn)為A，左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，線段OF1，OF2的中點(diǎn)分別為B1，B2，且AB1B2是面積為4的直角三角形(1)求該橢圓的離心率和標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)B1作直線l交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，使得PB2QB2，求直線l的方程解析：(1)設(shè)所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程1(a>b>0)，右焦點(diǎn)為F2(c,0)因?yàn)锳B1B2是直角三角形，且|AB1|AB2|，所以B1AB290，因此|OA|OB2|，得b.由c2a2b2得4b2a2b2，故a25b2，c24b2，所以離心率e.在RtAB1B2中，OAB1B2，故SAB1B2|B1B2|OA|OB2|OA|bb2.由題設(shè)條件SAB1B24得b24，所以a25b220.因此所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)由(1)知B1(2,0)，B2(2,0)由題意知直線l的斜率存在且不為0，故可設(shè)直線l的方程為xmy2，代入橢圓方程并整理得(m25)y24my160.設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則y1y2，y1y2，又(x12，y1)，(x22，y2)，所以(x12)(x22)y1y2(my14)(my24)y1y2(m21)y1y24m(y1y2)1616，由PB2QB2，得0，即16m2640，解得m2.所以滿足條件的直線l有兩條，其方程分別為x2y20和x2y20.52019唐山五校聯(lián)考在直角坐標(biāo)系xOy中，長(zhǎng)為1的線段的兩端點(diǎn)C，D分別在x軸、y軸上滑動(dòng)， .記點(diǎn)P的軌跡為曲線E.(1)求曲線E的方程；(2)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,1)作直線與曲線E相交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M在曲線E上時(shí)，求四邊形AOBM的面積解析：(1)設(shè)C(m,0)，D(0，n)，P(x，y)由 ，得(xm，y)(x，ny)，所以得由|1，得m2n2(1)2，所以(1)2x2y2(1)2，整理，得曲線E的方程為x21.(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由，知點(diǎn)M坐標(biāo)為(x1x2，y1y2)由題意知，直線AB的斜率存在設(shè)直線AB的方程為ykx1，代入曲線E的方程，得(k22)x22kx10，則x1x2，x1x2.y1y2k(x1x2)2.由點(diǎn)M在曲線E上，知(x1x2)21，即1，解得k22.這時(shí)|AB|x1x2|，原點(diǎn)到直線AB的距離d，所以平行四邊形OAMB的面積S|AB|d.62018天津卷設(shè)橢圓1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F，上頂點(diǎn)為B.已知橢圓的離心率為，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(b,0)，且|FB|AB|6.(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)直線l：ykx(k>0)與橢圓在第一象限的交點(diǎn)為P，且l與直線AB交于點(diǎn)Q.若sinAOQ(O為原點(diǎn))，求k的值解析：(1)設(shè)橢圓的焦距為2c，由已知有，又由a2b2c2，可得2a3b.由已知可得|FB|a，|AB|b，由|FB|AB|6，可得ab6，從而a3，b2.所以，橢圓的方程為1.(2)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x1，y1)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x2，y2)由已知有y1>y2>0，故|PQ|sinAOQy1y2.又因?yàn)閨AQ|，而OAB，所以|AQ|y2.由sinAOQ，可得5y19y2.由方程組消去x，可得y1.易知直線AB的方程為xy20，由方程組消去x，可得y2.由5y19y2，可得5(k1)3，兩邊平方，整理得56k250k110，解得k或k.所以k的值為或.能力挑戰(zhàn)72018江蘇卷如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C過(guò)點(diǎn)，焦點(diǎn)為F1(，0)，F(xiàn)2(，0)，圓O的直徑為F1F2.(1)求橢圓C及圓O的方程；(2)設(shè)直線l與圓O相切于第一象限內(nèi)的點(diǎn)P.若直線l與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)若OAB的面積為，求直線l的方程解析：解法一(1)因?yàn)闄E圓C的焦點(diǎn)為F1(，0)，F(xiàn)2(，0)，所以可設(shè)橢圓C的方程為1(a>b>0)又點(diǎn)，在橢圓C上，所以解得因此，橢圓C的方程為y21.因?yàn)閳AO的直徑為F1F2，所以其方程為x2y23.(2)設(shè)直線l與圓O相切于P(x0，y0)(x0>0，y0>0)，則x0y03.所以直線l的方程為y(xx0)y0，即yx.由消去y，得(4x0y0)x224x0x364y00.(*)因?yàn)橹本€l與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以(24x0)24(4x0y0)(364y0)48y0(x02)0.因?yàn)閤00，y0>0，所以x0，y01.因此，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(，1)因?yàn)槿切蜲AB的面積為，所以ABOP，從而AB.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由(*)得x1,2，所以AB2(x1x2)2(y1y2)21.因?yàn)閤0y03，所以AB2，即2x045x01000，解得x0(x020舍去)，則y0，因此P的坐標(biāo)為，.則直線l的方程為yx3.解法二(1)由題意知c，所以圓O的方程為x2y23，因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以2a4，所以a2.因?yàn)閍2b2c2，所以b1，所以橢圓C的方程為y21.(2)由題意知直線l與圓O和橢圓C均相切，且切點(diǎn)在第一象限，所以直線l的斜率k存在且k<0，設(shè)直線l的方程為ykxm(k<0，m>0)，將直線l的方程代入圓O的方程，得x2(kxm)23，整理得(k21)x22kmxm230，因?yàn)橹本€l與圓O相切，所以(2km)24(k21)(m23)0，整理得m23k23，將直線l的方程代入橢圓C的方程，得(kxm)21，整理得(4k21)x28kmx4m240，因?yàn)橹本€l與橢圓C相切，所以(8km)24(4k21)(4m24)0，整理得m24k21，所以3k234k21，因?yàn)閗<0，所以k，則m3，將k，m3代入(k21)x22kmxm230，整理得x22x20，解得x1x2，將x代入x2y23，解得y1(y1舍去)，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(，1)設(shè)A(x1，kx1m)，B(x2，kx2m)，由知m23k23，且k<0，m>0，因?yàn)橹本€l和橢圓C相交，所以結(jié)合的過(guò)程知m2<4k21，解得k<，將直線l的方程和橢圓C的方程聯(lián)立可得(4k21)28kmx4m240，解得x1,2，所以|x1x2|，因?yàn)锳B|x1x2|，O到l的距離d，所以SOAB，解得k25，因?yàn)閗<0，所以k，則m3，即直線l的方程為yx3.