人教版高中數(shù)學選修11：2.1 橢 圓 課時提升作業(yè)十一 2.1.2.2 Word版含解析

2019屆數(shù)學人教版精品資料課時提升作業(yè)(十一)橢圓方程及性質(zhì)的應(yīng)用(25分鐘60分)一、選擇題(每小題5分,共25分)1.橢圓x216+y29=1中,以點M(-1,2)為中點的弦所在的直線斜率為()A.916B.932C.964D.-932【解析】選B.設(shè)直線與橢圓交于A,B兩點,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則有x1+x2=-2,設(shè)直線為y=k(x+1)+2,聯(lián)立y=kx+k+2,x216+y29=1,得(9+16k2)x2+32k(k+2)x+16(k+2)2-144=0.所以x1+x2=-32k(k+2)9+16k2,所以-32k(k+2)9+16k2=-2.解得k=932.2.已知以F1(-2,0),F2(2,0)為焦點的橢圓與直線x+3y+4=0有且僅有一個交點,則橢圓的長軸長為()A.32B.26C.27D.42【解析】選C.設(shè)橢圓方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0),聯(lián)立x2a2+y2b2=1,x+3y+4=0得(a2+3b2)y2+83b2y+16b2-a2b2=0,由=0得a2+3b2-16=0,而b2=a2-4代入得a2+3(a2-4)-16=0解得a2=7,所以a=7.所以長軸長為27,選C.【補償訓練】直線l:y=x+a與橢圓x24+y2=1相切,則a的值為()A.±5B.5C.±5D.5【解析】選C.用判別式等于零求解.3.若點(x,y)在橢圓4x2+y2=4上,則yx-2的最小值為()A.1B.-1C.-233D.以上都不對【解析】選C.yx-2表示橢圓上的點(x,y)與定點(2,0)連線的斜率.不妨設(shè)yx-2=k,則過定點(2,0)的直線方程為y=k(x-2).由y=k(x-2),4x2+y2=4得(k2+4)x2-4k2x+4k2-4=0.令=(-4k2)2-4(k2+4)·(4k2-4)=0,得k=±233,所以kmin=-233,即yx-2的最小值為-233.4.已知橢圓E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦點F(3,0),過點F的直線交E于A,B兩點,若AB的中點坐標為(1,-1),則E的方程為()A.x245+y236=1B.x236+y227=1C.x227+y218=1D.x218+y29=1【解析】選D.由橢圓x2a2+y2b2=1得,b2x2+a2y2=a2b2,因為過點F的直線與橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)交于A,B兩點,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x22=1,y1+y22=-1,則b2x12+ a2y12= a2b2,b2x22+ a2y22= a2b2,由-得b2(x12-x22)+ a2(y12-y22)=0,化簡得b2(x1-x2)(x1+x2)+a2(y1-y2)(y1+y2)=0.2b2(x1-x2)-2a2(y1-y2)=0,y1-y2x1-x2=b2a2,又直線的斜率為k=0-(-1)3-1=12,即b2a2=12.因為b2=a2-c2=a2-9,所以a2-9a2=12,解得a2=18,b2=9.故橢圓方程為x218+y29=1.5.若直線ax+by+4=0和圓x2+y2=4沒有公共點,則過點(a,b)的直線與橢圓x29+y24=1的公共點個數(shù)為()A.0B.1C.2D.需根據(jù)a,b的取值來確定【解題指南】根據(jù)直線ax+by+4=0和圓x2+y2=4沒有公共點,可推斷點(a,b)是以原點為圓心,2為半徑的圓內(nèi)的點,根據(jù)圓的方程和橢圓方程可知圓x2+y2=4內(nèi)切于橢圓,進而可知點P是橢圓內(nèi)的點,進而判斷可得答案.【解析】選C.因為直線ax+by+4=0和圓x2+y2=4沒有公共點,所以原點到直線ax+by+4=0的距離d=4a2+b2>2,所以a2+b2<4,所以點P(a,b)是在以原點為圓心,2為半徑的圓內(nèi)的點,因為橢圓的長半軸為3,短半軸為2,所以圓x2+y2=4內(nèi)切于橢圓,所以點P是橢圓內(nèi)的點,所以過點P(a,b)的一條直線與橢圓的公共點個數(shù)為2.故選C.二、填空題(每小題5分,共15分)6.(2015·清遠高二檢測)若過橢圓x216+y24=1內(nèi)一點(2,1)的弦被該點平分,則該弦所在直線的方程是.【解析】設(shè)弦兩端點A(x1,y1),B(x2,y2),則x1216+y124=1,x2216+y224=1,兩式相減并把x1+x2=4,y1+y2=2代入得,y1-y2x1-x2=-12,所以所求直線方程為y-1=-12(x-2),即x+2y-4=0.答案:x+2y-4=07.(2015·安陽高二檢測)在平面直角坐標系xOy中,橢圓C的中心為原點,焦點F1,F2在x軸上,離心率為22.過F1的直線l交C于A,B兩點,且ABF2的周長為16,那么C的方程為.【解析】據(jù)橢圓焦點在x軸上,可設(shè)橢圓方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0).因為e=22,所以ca=22.由ABF2的周長為16得4a=16,因此a=4,b=22,所以橢圓方程為x216+y28=1.答案:x216+y28=18.(2014·江西高考)過點M(1,1)作斜率為-12的直線與橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)相交于A,B,若M是線段AB的中點,則橢圓C的離心率為.【解題指南】中點弦問題運用點差法求解.【解析】設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2).則x12a2+y12b2=1,x22a2+y22b2=1,即(x1+x2)(x1-x2)a2+(y1+y2)(y1-y2)b2=0,因為x1+x2=2,y1+y2=2,y2-y1x2-x1=-12,所以a2=2b2,故c2=12a2,即e=22.答案:22三、解答題(每小題10分,共20分)9.已知橢圓4x2+y2=1及直線y=x+m.(1)當直線和橢圓有公共點時,求實數(shù)m的取值范圍.(2)求直線被橢圓截得的弦最長時直線的方程.【解題指南】求m的取值范圍,從方程角度看,需將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的一元二次方程解的判斷,而求弦最長時的直線方程,就是將弦長表示成關(guān)于m的函數(shù),求出當弦長最大時的m值,從而確定直線方程.【解析】(1)由4x2+y2=1,y=x+m.消去y得,5x2+2mx+m2-1=0,因為直線與橢圓有公共點,所以=4m2-20(m2-1)0,解得-52m52.(2)設(shè)直線與橢圓交于A(x1,y1),B(x2,y2).由(1)知5x2+2mx+m2-1=0.由根與系數(shù)的關(guān)系得x1+x2=-25m,x1x2=m2-15.所以|AB|=(x1-x2)2+(y1-y2)2=(x1-x2)2+(x1+m-x2-m)2=2(x1-x2)2=2(x1+x2)2-4x1x2=24m225-45(m2-1)=2510-8m2.因為=4m2-20(m2-1)>0,所以-52<m<52.所以當m=0時,|AB|最大,此時直線方程為y=x.【補償訓練】(2015·深圳高二檢測)已知橢圓C的兩焦點分別為F1(-22,0),F2(22,0),長軸長為6.(1)求橢圓C的標準方程.(2)已知過點(0,2)且斜率為1的直線交橢圓C于A,B兩點,求線段AB的長度.【解析】(1)由F1(-22,0),F2(22,0),長軸長為6,得c=22,a=3,所以b=1,所以橢圓方程為x29+y21=1.(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由(1)可知橢圓方程為x29+y21=1,因為直線AB的方程為y=x+2,把代入,化簡并整理得10x2+36x+27=0,所以x1+x2=-185,x1x2=2710.所以|AB|=(1+12)18252-4×2710=635.10.(2015·陜西高考)已知橢圓:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的半焦距為c,原點到經(jīng)過兩點c,0,0,b的直線的距離為12c.(1)求橢圓的離心率.(2)如圖,是圓:x+22+y-12=52的一條直徑,若橢圓經(jīng)過,兩點,求橢圓的方程.【解析】(1)過點(c,0),(0,b)的直線方程為bx+cy-bc=0,則原點O到直線的距離d=bcb2+c2=bca,由d=12c,得a=2b=2a2-c2,解得離心率ca=32.(2)由(1)知,橢圓E的方程為x2+4y2=4b2.依題意,圓心M(-2,1)是線段AB的中點,且|AB|=10.易知,AB不與x軸垂直,設(shè)其直線方程為y=k(x+2)+1,代入得(1+4k2)x2+8k(2k+1)x+4(2k+1)2-4b2=0,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=-8k(2k+1)1+4k2,x1x2=4(2k+1)2-4b21+4k2.由x1+x2=-4,得-8k(2k+1)1+4k2=-4,解得k=12.從而x1x2=8-2b2.于是|AB|=1+122|x1-x2|=52(x1+x2)2-4x1x2=10(b2-2).由|AB|=10,得10(b2-2)=10,解得b2=3.故橢圓E的方程為x212+y23=1.(20分鐘40分)一、選擇題(每小題5分,共10分)1.設(shè)F1,F2是橢圓C:x28+y24=1的焦點,在曲線C上滿足PF1·PF2=0的點P的個數(shù)為()A.0個B.2個C.3個D.4個【解析】選B.因為PF1·PF2=0,所以PF1PF2.所以點P即為以線段F1F2為直徑的圓與橢圓的交點,且半徑為c=8-4=2.又b=2,所以點P為短軸的端點,有2個.2.(2014·福建高考)設(shè)P,Q分別為圓x2+y-62=2和橢圓x210+y2=1上的點,則P,Q兩點間的最大距離是()A.52B.46+2C.7+2D.62【解題指南】兩動點問題,可以化為一動一靜,因此考慮與圓心聯(lián)系.【解析】選D.圓心M(0,6),設(shè)橢圓上的點為Q(x,y),則MQ=x2+(y-6)2=10-10y2+(y-6)2=-9y2-12y+46,當y=-23-1,1時,MQmax=52.所以PQmax=52+2=62.二、填空題(每小題5分,共10分)3.如圖,把橢圓x225+y216=1的長軸AB分成8等份,過每個分點作x軸的垂線交橢圓的上半部分于P1,P2,P7七個點,F是橢圓的一個焦點,則|P1F|+|P2F|+|P7F|=.【解題指南】結(jié)合橢圓的對稱性解題,注意定義的靈活應(yīng)用.【解析】設(shè)橢圓右焦點為F,由橢圓的對稱性知,|P1F|=|P7F|,|P2F|=|P6F|,|P3F|=|P5F|,所以原式=(|P7F|+|P7F|)+(|P6F|+|P6F|)+(|P5F|+|P5F|)+12(|P4F|+|P4F|)=7a=35.答案:354.(2014·遼寧高考)已知橢圓C:x29+y24=1,點M與點C的焦點不重合,若M關(guān)于C的焦點的對稱點分別為A,B,線段MN的中點在C上,則AN+BN=.【解析】根據(jù)題意,橢圓的左右焦點為F1(-5,0),F2(5,0),由于點M的不確定性,不妨令其為橢圓的左頂點M(-3,0),線段MN的中點為橢圓的上頂點H(0,2),則M關(guān)于C的焦點的對稱點分別為A(-25+3,0),B(25+3,0),而點N(3,4),據(jù)兩點間的距離公式得AN+BN=(-25+3-3)2+(0-4)2+(25+3-3)2+(0-4)2=12.答案:12【誤區(qū)警示】在無法明確相關(guān)點的具體情況的時候,可以取特殊情形處理問題.避免對一般情況處理的復(fù)雜性.三、解答題(每小題10分,共20分)5.(2015·全國卷)已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為22,點(2,2)在C上.(1)求C的方程.(2)直線l不過原點O且不平行于坐標軸, l與C有兩個交點A,B,線段AB的中點為M.證明:直線OM的斜率與直線l的斜率的乘積為定值.【解析】(1)由題意有a2-b2a=22,4a2+2b2=1,解得a2=8,b2=4,所以C的方程為x28+y24=1.(2)設(shè)直線l:y=kx+b(k0,b0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM).將y=kx+b代入x28+y24=1得(2k2+1)x2+4kbx+2b2-8=0.xM=x1+x22=-2kb2k2+1,yM=kxM+b=b2k2+1.于是直線OM的斜率kOM=yMxM=-12k,即kOM·k=-12.所以直線OM的斜率與直線l的斜率的乘積為定值.6.(2015·山東高考)平面直角坐標系xOy中,已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為32,且點3,12在橢圓C上.(1)求橢圓C的方程.(2)設(shè)橢圓E:x24a2+y24b2=1,P為橢圓C上任意一點,過點P的直線y=kx+m交橢圓E于A,B兩點,射線PO交橢圓E于點Q.(i)求|OQ|OP|的值;(ii)求ABQ面積的最大值.【解題指南】(1)由離心率e和點3,12可求a,b,c.(2)將直線y=kx+m與橢圓E和橢圓C聯(lián)立消y,再根據(jù)二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求解面積的最大值.【解析】(1)因為點3,12在橢圓C上,所以3a2+14b2=1.又因為橢圓C的離心率為e=ca=32,所以2c=3a,4c2=3a2,結(jié)合c2=a2-b2可解得a2=4,b2=1,即橢圓C的方程為x24+y2=1.(2)(i)橢圓E:x216+y24=1.設(shè)P(x0,y0)是橢圓C上任意一點,則x02+4y02=4.直線OP:y=y0x0x與橢圓E:x216+y24=1聯(lián)立消y得x21 +4y02x02=16,x2=16x02x02+ 4y02=4x02,所以Q(-2x0,-2y0).即OQOP=2.(ii)因為點P(x0,y0)在直線y=kx+m上,所以y0=kx0+m,點Q(-2x0,-2y0)到直線y=kx+m的距離為d=-2kx0+2y0+m1+k2=3m1+k2.將y=kx+m與x216+y24=1聯(lián)立消y得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-16=0,由>0可得m2<4+16k2.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=-8km1+4k2,x1x2=4m2-161+4k2,所以x1-x2=416k2+4-m21+4k2.直線y=kx+m與y軸交點為(0,m),所以O(shè)AB面積SOAB=12|m|x1-x2=2|m|16k2+4-m21+4k2=2(16k2+4-m2)m21+4k2,令m21+4k2=t,則SOAB=24-m21+4k2m21+4k2=2(4-t)t.將y=kx+m與x24+y2=1聯(lián)立消y得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0,由0可得m21+4k2.由可知0<t1,因此SOAB=2(4-t)t23(當且僅當t=1即m2=1+4k2時取得最大值),注意到SABQ=3SOAB,所以SABQ=3SOAB63.即ABQ的面積的最大值為63.【補償訓練】(2013·天津高考)設(shè)橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦點為F,離心率為33,過點F且與x軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為433.(1)求橢圓的方程.(2)設(shè)A,B分別為橢圓的左、右頂點,過點F且斜率為k的直線與橢圓交于C,D兩點.若AC·DB+AD·CB=8,求k的值.【解析】(1)設(shè)F(-c,0)(c>0),由ca=33,知a=3c,過點F且與x軸垂直的直線為x=-c,代入橢圓方程有(-c)2a2+y2b2=1,解得y=±6b3,于是26b3=433,解得b=2,又a2-c2=b2,從而a=3,c=1,所以橢圓的方程為x23+y22=1.(2)設(shè)點C(x1,y1),D(x2,y2),由F(-1,0)得直線CD的方程為y=k(x+1),由方程組y=k(x+1),x23+y22=1,消去y,整理得(2+3k2)x2+6k2x+3k2-6=0.可得x1+x2=-6k22+3k2,x1x2=3k2-62+3k2.因為A(-3,0),B(3,0),所以AC·DB+AD·CB=(x1+3,y1)·(3-x2,-y2)+(x2+3,y2)·(3-x1,-y1)=6-2x1x2-2y1y2=6-2x1x2-2k2(x1+1)(x2+1)=6-(2+2k2)x1x2-2k2(x1+x2)-2k2=6+2k2+122+3k2.由已知得6+2k2+122+3k2=8,解得k=±2.關(guān)閉Word文檔返回原板塊