2019屆高考數學二輪復習 專題二 第2講 解三角形學案.docx

第2講解三角形正弦定理與余弦定理以及解三角形問題是高考的必考內容，主要考查邊、角、面積的計算及有關的范圍問題正弦定理、余弦定理、三角形面積公式(1)正弦定理在ABC中，2R(R為ABC的外接圓半徑)；變形：a2Rsin A，sin A，abcsin Asin Bsin C等(2)余弦定理在ABC中，a2b2c22bccos A；變形：b2c2a22bccos A，cos A(3)三角形面積公式SABCabsin Cbcsin Aacsin B熱點一利用正(余)弦定理進行邊角計算【例1】(2018株洲質檢)在ABC中，角A、B、C的對邊分別是a、b、c，已知cos2A=-13，c=3，sinA=6sinC（）求a的值；（）若角A為銳角，求b的值及ABC的面積解（）由cos2A=1-2sin2A得sin2A=23，因為A(0，)，sinA=63，由sinA=6sinC，sinC=13，由正弦定理asinA=csinC得a=32（）角A為銳角，則cosA=33，由余弦定理得b2-2b-15=0即b=5，或b=-3（舍去），所以ABC的面積SABC=12bcsinA=522探究提高1高考中主要涉及利用正弦、余弦定理求三角形的邊長、角、面積等基本計算，或將兩個定理與三角恒等變換相結合綜合解三角形2關于解三角形問題，一般要用到三角形的內角和定理，正、余弦定理及有關三角形的性質，常見的三角變換方法和原則都適用，同時要注意“三統(tǒng)一”，即“統(tǒng)一角、統(tǒng)一函數、統(tǒng)一結構”，這是使問題獲得解決的突破口【訓練1】(2017全國卷)ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知sin(AC)8sin2(1)求cos B；(2)若ac6，ABC面積為2，求b解(1)由題設及ABC，得sin B8sin2，故sin B4(1cos B)上式兩邊平方，整理得17cos2B32cos B150，解得cos B1(舍去)，cos B(2)由cos B，得sin B，故SABCacsin Bac又SABC2，則ac由余弦定理及ac6得b2a2c22accos B(ac)22ac(1cos B)3624所以b2熱點二應用正、余弦定理解決實際問題【例2】(2017衡水質檢)某氣象儀器研究所按以下方案測試一種“彈射型”氣象觀測儀器的垂直彈射高度：在C處(點C在水平地面下方，O為CH與水平地面ABO的交點)進行該儀器的垂直彈射，水平地面上兩個觀察點A，B兩地相距100米，BAC60，其中A到C的距離比B到C的距離遠40米A地測得該儀器在C處的俯角為OAC15，A地測得最高點H的仰角為HAO30，則該儀器的垂直彈射高度CH為（）A210()米B140米C210米D20()米解析由題意，設ACx米，則BC(x40)米，在ABC內，由余弦定理：BC2BA2CA22BACAcosBAC，即(x40)2x210 000100x，解得x420米在ACH中，AC420米，CAH301545，CHA903060，由正弦定理：可得CHAC140(米)答案B探究提高1實際問題經抽象概括后，已知量與未知量全部集中在一個三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解2實際問題經抽象概括后，已知量與未知量涉及兩個或兩個以上的三角形，這時需作出這些三角形，先解夠條件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有時需設出未知量，從幾個三角形中列出方程(組)，解方程(組)得出所要求的解【訓練2】 (2018衡水中學)如圖，一山頂有一信號塔（所在的直線與地平面垂直），在山腳處測得塔尖的仰角為，沿傾斜角為的山坡向上前進米后到達處，測得的仰角為（1）求的長；（2）若，求信號塔的高度解（1）在中，由正弦定理，（2）由（1）及條件知，由正弦定理得熱點三解三角形與三角函數的交匯問題【例3】(2017長沙質檢)已知函數f(x)2sin xcos x2cos2x1，xR(1)求函數f(x)的最小正周期和最小值；(2)在ABC中，A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知c，f(C)0，sin B2sin A，求a，b的值解(1)f(x)sin 2x2cos2x1sin 2x(cos 2x1)1sin 2xcos 2x22sin2，所以函數f(x)的最小正周期T，最小值為4(2)因為f(C)2sin20，所以sin1，又C(0，)，知<2C<，所以2C，得C因為sin B2sin A，由正弦定理得b2a，由余弦定理得，c2a2b22abcos Ca24a22a23a2，又c，所以a1，b2探究提高1解三角形與三角函數的綜合題，其中，解決與三角恒等變換有關的問題，優(yōu)先考慮角與角之間的關系；解決與三角形有關的問題，優(yōu)先考慮正弦、余弦定理2求解該類問題，易忽視C為三角形內角，未注明C的限制條件導致產生錯解【訓練3】(2018聊城一中)已知fx=ab-1，其中向量a=(sin2x，2cosx)，b=(3，cosx)，(xR)（1）求fx的最小正周期和最小值；（2）在ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若，求邊長c的值解(1) f(x)=(sin2x，2cosx)(3，cosx)-1=3sin2x+cos2x=2sin（2x6），f(x)的最小正周期為，最小值為-2(2) f(A4)=2sin（A26）=3sin（A26）32，A263或23 A3或A=（舍去），由余弦定理得a2b2c22bccosA，即1316c2-4c，即c2-4c+3=0，從而c =1或c=31(2018全國II卷)在ABC中，cosC2=55，BC=1，AC=5，則AB=（）A42B30C29D252(2017全國卷)ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c已知sin Bsin A(sin Ccos C)0，a2，c，則C()ABCD3(2018全國III卷)ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若ABC的面積為a2+b2-c24，則C=（）A2B3C4D64(2018全國I卷)ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知bsinC+csinB=4asinBsinC，b2+c2-a2=8，則ABC的面積為_5(2018全國I卷)在平面四邊形ABCD中，ADC=90，A=45，AB=2，BD=5（1）求cosADB；（2）若DC=22，求BC1(2019郴州質檢)在ABC中，三內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且b2+c2-3bc=a2，bc=3a2，則角C的大小是（）A6或23B3C23D62(2017山東卷)在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c若ABC為銳角三角形，且滿足sin B(12cos C)2sin Acos Ccos A sin C，則下列等式成立的是（）Aa2bBb2aCA2BDB2A3(2017全國卷)ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若2bcos Bacos Cccos A，則B_4(2019開封一模)在ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且acosB+bsinA=c（1）求角A；（2）若a=2，ABC的周長為6，求ABC的面積1(2019昆明診斷)在平面四邊形ABCD中，D=90，BAD=120，AD=1，AC=2，AB=3，則BC=（）A5B6C7D222(2017鄭州二模)在ABC中，三內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，則角B_3(2018重慶一中)已知函數fx=3sin2x+2cos2x-1，xR(1)求函數fx的最小正周期和單調遞減區(qū)間；(2)在ABC中，A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知c=3，fC=1，sinB=2sinA，求ABC面積S4(2017衡水中學調研)在ABC中，角A，B，C所對應的邊分別為a，b，c，若(ac)sin Absin B(abc)sin C0(1)求角A；(2)當sin Bsin C取得最大值時，判斷ABC的形狀參考答案1【解題思路】先根據二倍角余弦公式求cosC，再根據余弦定理求AB【答案】因為cosC=2cos2C2-1=2(55)2-1=-35，所以c2=a2+b2-2abcosC=1+25-215(-35)=32，c=42，選A點睛：解三角形問題，多為邊和角的求值問題，這就需要根據正、余弦定理結合已知條件靈活轉化邊和角之間的關系，從而達到解決問題的目的2【解題思路】由消去角，再化簡即可得到，再利用正弦定理求【答案】由題意得sin(AC)sin A(sin Ccos C)0，sin Acos Ccos Asin Csin Asin Csin Acos C0，則sin C(sin Acos A)sin Csin0，因為sin C0，所以sin0，又因為A(0，)，所以A，所以A由正弦定理，得，則sin C，得C故選B3【解題思路】利用面積公式SABC=12absinC和余弦定理a2+b2-c2=2abcosC進行計算可得【答案】由題可知SABC=12absinC=a2+b2-c24，所以a2+b2-c2=2absinC，由余弦定理a2+b2-c2=2abcosC，所以sinC=cosC，C(0，)，C=4，故選C點睛：本題主要考查解三角形，考查了三角形的面積公式和余弦定理4【解題思路】首先利用正弦定理將題中的式子化為sinBsinC+sinCsinB=4sinAsinBsinC，化簡求得sinA=12，利用余弦定理，結合題中的條件，可以得到2bccosA=8，可以斷定A為銳角，從而求得cosA=32，進一步求得bc=833，利用三角形面積公式求得結果【答案】因為bsinC+csinB=4asinBsinC，結合正弦定理可得sinBsinC+sinCsinB=4sinAsinBsinC，可得sinA=12，因為b2+c2-a2=8，結合余弦定理a2=b2+c2-2bccosA，可得2bccosA=8，所以A為銳角，且cosA=32，從而求得bc=833，所以ABC的面積為S=12bcsinA=1283312=233，故答案是2335【解題思路】(1)根據正弦定理可以得到BDsinA=ABsinADB，根據題設條件，求得sinADB=25，結合角的范圍，利用同角三角函數關系式，求得cosADB=1-225=235；(2)根據題設條件以及第一問的結論可以求得cosBDC=sinADB=25，之后在BCD中，用余弦定理得到BC所滿足的關系，從而求得結果【答案】（1）在ABD中，由正弦定理得BDsinA=ABsinADB由題設知，5sin45=2sinADB，所以sinADB=25由題設知，ADB<90，所以cosADB=1-225=235（2）由題設及（1）知，cosBDC=sinADB=25在BCD中，由余弦定理得BC2=BD2+DC2-2BDDCcosBDC=25+8-252225=25所以BC=51【解題思路】由b2+c2-3bc=a2可得cosA=32，進而利用bc=3a2可得sinBsinC=3sin2A=34結合內角和定理可得C值【答案】b2+c2-3bc=a2，cosA=b2+c2-a22bc=3bc2bc=32，由0A，可得A=6，bc=3a2，sinBsinC=3sin2A=34，sin56-CsinC=34，即12sinCcosC+341-cos2C=34，解得tan2C=3，又0<C<56，2C=3或43，即C=6或23，故選A2【解題思路】注意等式兩邊的形式，利用和差角公式以及朝能約的方向進行化簡【答案】等式右邊2sin Acos Ccos Asin Csin Acos Csin(AC)sinAcos Csin B等式左邊2sin Bcos Csin B，則2sin Bcos Csin Bsin Acos Csin B，因為角C為銳角三角形的內角，所以cos C不為0所以2sin Bsin A，根據正弦定理，得a2b故選A3【解題思路】邊化角再利用和差角公式即可【答案】由正弦定理得2sin Bcos Bsin Acos Csin Ccos Asin(AC)sin B2sin Bcos Bsin B，又sin B0，cos B，故B故填4【解題思路】（1）利用正弦定理將已知的邊轉化為角的形式，然后利用三角形內角和定理以及兩角和的正弦公式化簡，由此求得A的大?。?）根據周長列出一個方程，利用余弦定理列出第二方程，解方程組求得bc的值，并求得三角形的面積【答案】（1）由已知及正弦定理得：sinAcosB+sinBsinA=sinC，sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB，sinBsinA=cosAsinB，sinB0sinA=cosA，A(0，)A=4（2）a=2，ABC的周長l=6，b+c=4，由余弦定理得a2=(b+c)2-2bc-2bccosA，4=16-2bc-2bc，bc=6(2-2)，ABC的面積S=12bcsinA=126(2-2)22=3(2-1)1【解題思路】在RtADC中，由AD=1，AC=2，得DAC=60，且BAD=120，所以CAB=60，由余弦定理得BC的長度【答案】在平面四邊形ABCD中，如圖在RtADC中，D=90，AD=1，AC=2，所以DAC=60，且BAD=120，所以CAB=60，在ABC中，AB=3，由余弦定理得BC2=AC2+AB2-2ACABcosCAB=7，所以BC=7故選C2【解題思路】角化邊即可得【答案】由及正弦定理，得，則a2c2b2ac，cos B，從而B故填3【解題思路】(1)利用二倍角公式和輔助角公式將函數f(x)進行化簡，然后利用正弦函數圖像的性質可得周期和單調區(qū)間；（2）由f(C)=1，得角C，由正弦定理得b=2a，然后利用余弦定理可得a和b的值，代入面積公式即可得到答案【答案】fx=3sin2x+cos2x=2sin(2x+6)(1)最小正周期為T=，因為2+2k2x+632+2k，kZ，所以6+kx23+k，所以函數的單遞減區(qū)間為6+k，23+k，kZ（2）因為fC=2sin2C+6=1，所以C=3，所以32=a2+b2-2abcos3，a2+b2-ab=3又因為sinB=2sinA，所以b=2a由，可得a=1，b=2，S=12absinC=324【解題思路】(1)角化邊(2)由BC，消元留一個未知量，再化形式，進而根據角度范圍確定其值域【答案】解(1)由正弦定理2R，可得sin A，sin B，sin C代入(ac)sin Absin B(abc)sin C0化簡整理得：b2c2a2bc，則，所以cos A又因為A為三角形內角，所以A(2)由(1)得BC，所以sin Bsin Csin Bsinsin Bsincos Bcossin Bsin Bcos Bsin因為0<B<，所以<B<，所以當B時，B，sin Bsin C取得最大值，因此C(AB)，所以ABC為等邊三角形