高中數(shù)學(xué)人教A版選修44學(xué)案：第一講 二 極坐標(biāo)系 Word版含答案

二極_坐_標(biāo)_系 1極坐標(biāo)系的概念(1)極坐標(biāo)系的建立：在平面內(nèi)取一個(gè)定點(diǎn)O，叫做極點(diǎn)，自極點(diǎn)O引一條射線Ox，叫做極軸；再選定一個(gè)長度單位，一個(gè)角度單位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆時(shí)針方向)，這樣就建立了一個(gè)極坐標(biāo)系(2)極坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)的極坐標(biāo)的規(guī)定：對于平面上任意一點(diǎn)M，用表示線段OM長度，用表示射線Ox到OM的角度，叫做點(diǎn)M的極徑，叫做點(diǎn)M的極角，有序數(shù)對(，)就叫做點(diǎn)M的極坐標(biāo)，記作M(，)(3)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的區(qū)別與聯(lián)系直角坐標(biāo)極坐標(biāo)區(qū)別點(diǎn)與直角坐標(biāo)是“一對一”的關(guān)系由于終邊相同的角有無數(shù)個(gè)，即點(diǎn)的極角不惟一因此點(diǎn)與極坐標(biāo)是“一對多”的關(guān)系聯(lián)系直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)都是用來刻畫平面內(nèi)任意一點(diǎn)的位置的，它們都是一對有序的實(shí)數(shù)2極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化(1)互化的前提條件：極坐標(biāo)系中的極點(diǎn)與直角坐標(biāo)系中的原點(diǎn)重合；極軸與x軸的正半軸重合；兩種坐標(biāo)系取相同的長度單位(2)互化公式，.點(diǎn)的極坐標(biāo)例1已知點(diǎn)Q(，)，分別按下列條件求出點(diǎn)P的極坐標(biāo)(1)點(diǎn)P是點(diǎn)Q關(guān)于極點(diǎn)O的對稱點(diǎn)；(2)點(diǎn)P是點(diǎn)Q關(guān)于直線的對稱點(diǎn)思路點(diǎn)撥確定一點(diǎn)的極坐標(biāo)關(guān)鍵是確定它的極徑和極角兩個(gè)量，為此應(yīng)明確它們的含義解(1)由于P，Q關(guān)于極點(diǎn)對稱，得極徑|OP|OQ|，極角相差(2k1)(kZ)所以，點(diǎn)P的極坐標(biāo)為(，(2k1)或(，2k)(kZ)(2)由P、Q關(guān)于直線對稱，得它們的極徑|OP|OQ|，點(diǎn)P的極角滿足2k(kZ)，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(，(2k1)或(，2k)(kZ)設(shè)點(diǎn)M的極坐標(biāo)是(，)，則M點(diǎn)關(guān)于極點(diǎn)的對稱點(diǎn)的極坐標(biāo)是(，)或(，)；M點(diǎn)關(guān)于極軸的對稱點(diǎn)的極坐標(biāo)是(，)；M點(diǎn)關(guān)于過極點(diǎn)且垂直于極軸的直線的對稱點(diǎn)的極坐標(biāo)是(，)或(，)另外要注意，平面上的點(diǎn)與這一點(diǎn)的極坐標(biāo)不是一一對應(yīng)的1在極坐標(biāo)系中，畫出點(diǎn)A，B，C.解：如圖所示2在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的極坐標(biāo)是，求點(diǎn)A關(guān)于直線的對稱點(diǎn)的極坐標(biāo)(規(guī)定>0，0,2)解：作出圖形，可知A(3，)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)是.點(diǎn)的極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化例2(1)把點(diǎn)A的極坐標(biāo)化成直角坐標(biāo)；(2)把點(diǎn)P的直角坐標(biāo)(1，)化成極坐標(biāo)(>0，0<2)思路點(diǎn)撥依據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化的公式解題解(1)x2cos，y2sin1，故點(diǎn)A的直角坐標(biāo)為(，1)(2)2，tan .又因?yàn)辄c(diǎn)P在第四象限且0<2，得.因此點(diǎn)P的極坐標(biāo)是.(1)極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)互化的前提條件有三，即極點(diǎn)與原點(diǎn)重合，極軸與x軸正半軸重合，有相同的長度單位，三者缺一不可(2)熟記互化公式，必要時(shí)可畫圖來分析3點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(，)，那么它的極坐標(biāo)可表示為()A.B.C. D.解析：點(diǎn)P(，)在第二象限，與原點(diǎn)的距離為2，且與極軸夾角為.答案：B4若以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸正半軸建立直角坐標(biāo)系(1)已知點(diǎn)A的極坐標(biāo)(4，)，求它的直角坐標(biāo)；(2)已知點(diǎn)B和點(diǎn)C的直角坐標(biāo)為(2，2)和(0，15)，求它們的極坐標(biāo)(0,02)解：(1)xcos 4·cos2.ysin 4sin2.A點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(2，2)(2)2，tan 1.且點(diǎn)B位于第四象限內(nèi)，點(diǎn)B的極坐標(biāo)為(2，)又x0，y0，15，.點(diǎn)C的極坐標(biāo)為. 一、選擇題1在極坐標(biāo)平面內(nèi)，點(diǎn)M，N，G，H中互相重合的兩個(gè)點(diǎn)是()AM和NBM和GCM和H DN和H解析：由極坐標(biāo)的定義知，M、N表示同一個(gè)點(diǎn)答案：A2將點(diǎn)M的極坐標(biāo)化成直角坐標(biāo)是()A(5,5) B(5，5)C(5,5) D(5，5)解析：xcos 10×cos5，ysin 10sin5.答案：A3在極坐標(biāo)系中，12且12是兩點(diǎn)M(1，1)和N(2，2)重合的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D.既不充分也不必要條件解析：前者顯然能推出后者，但后者不一定推出前者，因?yàn)?與2可相差2的整數(shù)倍答案：A4已知A，B兩點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為和，則線段AB中點(diǎn)的直角坐標(biāo)為()A. B.C. D.解析：AB中點(diǎn)的極坐標(biāo)為，根據(jù)互化公式xcos cos ，ysin sin ，因此，所求直角坐標(biāo)為.答案：B二、填空題5點(diǎn)關(guān)于極點(diǎn)的對稱點(diǎn)為_解析：如圖，易知對稱點(diǎn)為.答案：6在極坐標(biāo)系中，已知A，B兩點(diǎn)，則|AB|_.解析：|AB|.答案：7直線l過點(diǎn)A，B，則直線l與極軸夾角等于_解析：如圖所示，先在圖形中找到直線l與極軸夾角(要注意夾角是個(gè)銳角)，然后根據(jù)點(diǎn)A，B的位置分析夾角大小因?yàn)閨AO|BO|3，AOB，所以O(shè)AB，所以ACO.答案：三、解答題8在極軸上求與點(diǎn)A的距離為5的點(diǎn)M的坐標(biāo)解：設(shè)M(r,0)，因?yàn)锳，所以 5，即r28r70.解得r1或r7.所以M點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,0)或(7,0)9(1)已知點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為A，B，C，D，求它們的直角坐標(biāo)(2)已知點(diǎn)的直角坐標(biāo)分別為A(3，)，B，C，求它們的極坐標(biāo)(0,02)解：(1)根據(jù)xcos ，ysin 得A，B(1，)，C，D(0，4)(2)根據(jù)2x2y2，tan 得A，B，C.10已知定點(diǎn)P.(1)將極點(diǎn)移至O處極軸方向不變，求P點(diǎn)的新坐標(biāo)；(2)極點(diǎn)不變，將極軸順時(shí)針轉(zhuǎn)動角，求P點(diǎn)的新坐標(biāo)解：(1)設(shè)P點(diǎn)新坐標(biāo)為(，)，如圖所示，由題意可知|OO|2，|OP|4，POx，OOx，POO.在POO中，242(2)22·4·2·cos1612244，2.又，sinOPO·2，OPO.OPP，PPx.POx.P點(diǎn)的新坐標(biāo)為.(2)如圖，設(shè)P點(diǎn)新坐標(biāo)為(，)，則4，.P點(diǎn)的新坐標(biāo)為.最新精品資料