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2020高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第八章 解析幾何 課時(shí)作業(yè)50 直線與圓錐曲線 文.doc

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2020高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第八章 解析幾何 課時(shí)作業(yè)50 直線與圓錐曲線 文.doc

課時(shí)作業(yè)50直線與圓錐曲線 基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1過(guò)橢圓1內(nèi)一點(diǎn)P(3,1),求被這點(diǎn)平分的弦所在直線方程解析:設(shè)直線與橢圓交于A(x1,y1)、B(x2,y2)兩點(diǎn),由于A、B兩點(diǎn)均在橢圓上,故1,1,兩式相減得0.又P是A、B的中點(diǎn),x1x26,y1y22,kAB.直線AB的方程為y1(x3)即3x4y130.2.2019鄭州入學(xué)測(cè)試已知橢圓C:1(a>b>0)的離心率為,以橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積為8.(1)求橢圓C的方程;(2)如圖,斜率為的直線l與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)P(2,1)在直線l的左上方若APB90,且直線PA,PB分別與y軸交于點(diǎn)M,N,求線段MN的長(zhǎng)度解析:(1)由題意知解得所以橢圓C的方程為1.(2)設(shè)直線l:yxm,A(x1,y1),B(x2,y2),聯(lián)立,得消去y,化簡(jiǎn)整理,得x22mx2m240.則由(2m)24(2m24)>0,得2<m<2.由根與系數(shù)的關(guān)系得,x1x22m,x1x22m24,因?yàn)閗PA,kPB,所以kPAkPB,上式中,分子(x22)(x12)x1x2(m2)(x1x2)4(m1)2m24(m2)(2m)4(m1)0.所以kPAkPB0.因?yàn)锳PB90,所以kPAkPB1,則kPA1,kPB1.所以PMN是等腰直角三角形,所以|MN|2xP4.3已知橢圓C:1(ab0)的一個(gè)頂點(diǎn)為A(2,0),離心率為.直線yk(x1)與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M,N.(1)求橢圓C的方程;(2)當(dāng)AMN的面積為時(shí),求k的值解析:(1)由題意得解得b,所以橢圓C的方程為1.(2)由得(12k2)x24k2x2k240.設(shè)點(diǎn)M,N的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2),則y1k(x11),y2k(x21),x1x2,x1x2,所以|MN|.又因?yàn)辄c(diǎn)A(2,0)到直線yk(x1)的距離d,所以AMN的面積為S|MN|d,由,解得k1.42019山西八校聯(lián)考如圖,設(shè)橢圓的中心為原點(diǎn)O,長(zhǎng)軸在x軸上,上頂點(diǎn)為A,左、右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,線段OF1,OF2的中點(diǎn)分別為B1,B2,且AB1B2是面積為4的直角三角形(1)求該橢圓的離心率和標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)過(guò)B1作直線l交橢圓于P,Q兩點(diǎn),使得PB2QB2,求直線l的方程解析:(1)設(shè)所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程1(a>b>0),右焦點(diǎn)為F2(c,0)因?yàn)锳B1B2是直角三角形,且|AB1|AB2|,所以B1AB290,因此|OA|OB2|,得b.由c2a2b2得4b2a2b2,故a25b2,c24b2,所以離心率e.在RtAB1B2中,OAB1B2,故SAB1B2|B1B2|OA|OB2|OA|bb2.由題設(shè)條件SAB1B24得b24,所以a25b220.因此所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)由(1)知B1(2,0),B2(2,0)由題意知直線l的斜率存在且不為0,故可設(shè)直線l的方程為xmy2,代入橢圓方程并整理得(m25)y24my160.設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),則y1y2,y1y2,又(x12,y1),(x22,y2),所以(x12)(x22)y1y2(my14)(my24)y1y2(m21)y1y24m(y1y2)1616,由PB2QB2,得0,即16m2640,解得m2.所以滿足條件的直線l有兩條,其方程分別為x2y20和x2y20.52019唐山五校聯(lián)考在直角坐標(biāo)系xOy中,長(zhǎng)為1的線段的兩端點(diǎn)C,D分別在x軸、y軸上滑動(dòng), .記點(diǎn)P的軌跡為曲線E.(1)求曲線E的方程;(2)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,1)作直線與曲線E相交于A,B兩點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)M在曲線E上時(shí),求四邊形AOBM的面積解析:(1)設(shè)C(m,0),D(0,n),P(x,y)由 ,得(xm,y)(x,ny),所以得由|1,得m2n2(1)2,所以(1)2x2y2(1)2,整理,得曲線E的方程為x21.(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由,知點(diǎn)M坐標(biāo)為(x1x2,y1y2)由題意知,直線AB的斜率存在設(shè)直線AB的方程為ykx1,代入曲線E的方程,得(k22)x22kx10,則x1x2,x1x2.y1y2k(x1x2)2.由點(diǎn)M在曲線E上,知(x1x2)21,即1,解得k22.這時(shí)|AB|x1x2|,原點(diǎn)到直線AB的距離d,所以平行四邊形OAMB的面積S|AB|d.62018天津卷設(shè)橢圓1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F,上頂點(diǎn)為B.已知橢圓的離心率為,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(b,0),且|FB|AB|6.(1)求橢圓的方程;(2)設(shè)直線l:ykx(k>0)與橢圓在第一象限的交點(diǎn)為P,且l與直線AB交于點(diǎn)Q.若sinAOQ(O為原點(diǎn)),求k的值解析:(1)設(shè)橢圓的焦距為2c,由已知有,又由a2b2c2,可得2a3b.由已知可得|FB|a,|AB|b,由|FB|AB|6,可得ab6,從而a3,b2.所以,橢圓的方程為1.(2)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x1,y1),點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x2,y2)由已知有y1>y2>0,故|PQ|sinAOQy1y2.又因?yàn)閨AQ|,而OAB,所以|AQ|y2.由sinAOQ,可得5y19y2.由方程組消去x,可得y1.易知直線AB的方程為xy20,由方程組消去x,可得y2.由5y19y2,可得5(k1)3,兩邊平方,整理得56k250k110,解得k或k.所以k的值為或.能力挑戰(zhàn)72018江蘇卷如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓C過(guò)點(diǎn),焦點(diǎn)為F1(,0),F(xiàn)2(,0),圓O的直徑為F1F2.(1)求橢圓C及圓O的方程;(2)設(shè)直線l與圓O相切于第一象限內(nèi)的點(diǎn)P.若直線l與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn),求點(diǎn)P的坐標(biāo);直線l與橢圓C交于A,B兩點(diǎn)若OAB的面積為,求直線l的方程解析:解法一(1)因?yàn)闄E圓C的焦點(diǎn)為F1(,0),F(xiàn)2(,0),所以可設(shè)橢圓C的方程為1(a>b>0)又點(diǎn),在橢圓C上,所以解得因此,橢圓C的方程為y21.因?yàn)閳AO的直徑為F1F2,所以其方程為x2y23.(2)設(shè)直線l與圓O相切于P(x0,y0)(x0>0,y0>0),則x0y03.所以直線l的方程為y(xx0)y0,即yx.由消去y,得(4x0y0)x224x0x364y00.(*)因?yàn)橹本€l與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn),所以(24x0)24(4x0y0)(364y0)48y0 (x02)0.因?yàn)閤00,y0>0,所以x0,y01.因此,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(,1)因?yàn)槿切蜲AB的面積為,所以ABOP,從而AB.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由(*)得x1,2,所以AB2(x1x2)2(y1y2)21.因?yàn)閤0y03,所以AB2,即2x045x01000,解得x0(x020舍去),則y0,因此P的坐標(biāo)為,.則直線l的方程為yx3.解法二(1)由題意知c,所以圓O的方程為x2y23,因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上,所以2a4,所以a2.因?yàn)閍2b2c2,所以b1,所以橢圓C的方程為y21.(2)由題意知直線l與圓O和橢圓C均相切,且切點(diǎn)在第一象限,所以直線l的斜率k存在且k<0,設(shè)直線l的方程為ykxm(k<0,m>0),將直線l的方程代入圓O的方程,得x2(kxm)23,整理得(k21)x22kmxm230,因?yàn)橹本€l與圓O相切,所以(2km)24(k21)(m23)0,整理得m23k23,將直線l的方程代入橢圓C的方程,得(kxm)21,整理得(4k21)x28kmx4m240,因?yàn)橹本€l與橢圓C相切,所以(8km)24(4k21)(4m24)0,整理得m24k21,所以3k234k21,因?yàn)閗<0,所以k,則m3,將k,m3代入(k21)x22kmxm230,整理得x22x20,解得x1x2,將x代入x2y23,解得y1(y1舍去),所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(,1)設(shè)A(x1,kx1m),B(x2,kx2m),由知m23k23,且k<0,m>0,因?yàn)橹本€l和橢圓C相交,所以結(jié)合的過(guò)程知m2<4k21,解得k<,將直線l的方程和橢圓C的方程聯(lián)立可得(4k21)28kmx4m240,解得x1,2,所以|x1x2|,因?yàn)锳B|x1x2|,O到l的距離d,所以SOAB,解得k25,因?yàn)閗<0,所以k,則m3,即直線l的方程為yx3.

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