第二講 基本不等式 （學(xué)生用書）

第二講 基本不等式 （學(xué)生用書）一、選擇題1已知，2xy2.，則9x3y的最小值為 ( )A2 B4 C12 D62(2011·重慶高考)已知a>0，b>0，ab2，則y的最小值是 ( )A. B4 C. D53函數(shù)ylog2xlogx(2x)的值域是 ( )A(，1 B3，)C1,3 D(，13，)4(2012·溫州模擬)已知x>0，y>0，z>0，xy2z0，則的 ( )A最小值為8 B最大值為8 C最小值為 D最大值為5已知x>0，y>0，且1，若x2y>m22m恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是( )Am4或m2 Bm2或m4C2<m<4 D4<m<26設(shè)a>0，b>0，且不等式0恒成立，則實(shí)數(shù)k的最小值等于 ( )A0 B4 C4 D2二、填空題7(2011·湖南高考)設(shè)x，yR，且xy0，則(x2)(4y2)·的最小值為_8(2011·江蘇高考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的一條直線與函數(shù)(x)的圖象交于P，Q兩點(diǎn)，則線段PQ長(zhǎng)的最小值是_9(2012·徐州模擬)已知二次函數(shù)f(x)ax2xc(xR)的值域?yàn)?，)，則的最小值為_三、解答題10已知x>0，y>0，且2x8yxy0，求(1)xy的最小值；(2)xy的最小值11已知a，b>0，求證：.12某國(guó)際化妝品生產(chǎn)企業(yè)為了占有更多的市場(chǎng)份額，擬在2012年英國(guó)倫敦奧運(yùn)會(huì)期間實(shí)行一系列促銷活動(dòng)，經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)查和測(cè)算，化妝品的年銷量x萬(wàn)件與年促銷費(fèi)t萬(wàn)元之間滿足3x與t1成反比例，如果不搞促銷活動(dòng)，化妝品的年銷量只能是1萬(wàn)件，已知2012年生產(chǎn)化妝品的設(shè)備折舊、維修等固定費(fèi)用為3萬(wàn)元，每生產(chǎn)1萬(wàn)件化妝品需再投入32萬(wàn)元的生產(chǎn)費(fèi)用，若將每件化妝品的售價(jià)定為其生產(chǎn)成本的150%與平均每件促銷費(fèi)的一半之和，則當(dāng)年生產(chǎn)的化妝品正好能銷完(1)將2012年的利潤(rùn)y(萬(wàn)元)表示為促銷費(fèi)t(萬(wàn)元)的函數(shù)(2)該企業(yè)2012年的促銷費(fèi)投入多少萬(wàn)元時(shí)， 企業(yè)的年利潤(rùn)最大？(注：利潤(rùn)銷售收入生產(chǎn)成本促銷費(fèi)，生產(chǎn)成本固定費(fèi)用生產(chǎn)費(fèi)用)第二講 基本不等式（教師用書）一、選擇題1已知向量a(x1,2)，b(4，y)，若ab，則9x3y的最小值為 ( )A2 B4 C12 D6解析：由ab得a·b0，即(x1,2)·(4，y)0.2xy2.則9x3y32x3y2226.當(dāng)且僅當(dāng)32x3y即x，y1時(shí)取得等號(hào)答案：D2(2011·重慶高考)已知a>0，b>0，ab2，則y的最小值是 ( )A. B4 C. D5解析：依題意得()(ab)5()(52)，當(dāng)且僅當(dāng)，即a，b時(shí)取等號(hào)，即的最小值是. 答案：C3函數(shù)ylog2xlogx(2x)的值域是 ()A(，1 B3，)C1,3 D(，13，)解析：ylog2xlogx(2x)1(log2xlogx2)如果x>1，則log2xlogx22，如果0<x<1，則log2xlogx22，函數(shù)的值域?yàn)?，13，)答案：D4(2012·溫州模擬)已知x>0，y>0，z>0，xy2z0，則的 ()A最小值為8 B最大值為8 C最小值為 D最大值為解析：.當(dāng)且僅當(dāng)，x2z時(shí)取等號(hào)答案：D5已知x>0，y>0，且1，若x2y>m22m恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()Am4或m2 Bm2或m4C2<m<4 D4<m<2解析：x>0，y>0，且1，x2y(x2y)()4428，當(dāng)且僅當(dāng)，即4y2x2，x2y時(shí)取等號(hào)，又1，此時(shí)x4，y2，(x2y)min8，要使x2y>m22m恒成立，只需(x2y)min>m22m恒成立，即8>m22m，解得4<m<2.答案：D6設(shè)a>0，b>0，且不等式0恒成立，則實(shí)數(shù)k的最小值等于 ()A0 B4 C4 D2解析：由0得k，而24(ab時(shí)取等號(hào))，所以4，因此要使k恒成立，應(yīng)有k4，即實(shí)數(shù)k的最小值等于4.答案：C二、填空題7(2011·湖南高考)設(shè)x，yR，且xy0，則(x2)(4y2)·的最小值為_解析：(x2)(4y2)144x2y21429，當(dāng)且僅當(dāng)4x2y2時(shí)等號(hào)成立，則|xy|時(shí)等號(hào)成立答案：98(2011·江蘇高考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的一條直線與函數(shù)(x)的圖象交于P，Q兩點(diǎn)，則線段PQ長(zhǎng)的最小值是_解析：由題意知：P、Q兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，不妨設(shè)P(m，n)為第一象限中的點(diǎn)，則m0，n0，n，所以|PQ|24|OP|24(m2n2)4(m2)16(當(dāng)且僅當(dāng)m2，即m時(shí)，取等號(hào))，故線段PQ長(zhǎng)的最小值是4.答案：49(2012·徐州模擬)已知二次函數(shù)f(x)ax2xc(xR)的值域?yàn)?，)，則的最小值為_解析：由值域可知該二次函數(shù)的圖象開口向上，且函數(shù)的最小值為0，因此有0，從而c>0，(8a)(4a2)2×4210，當(dāng)且僅當(dāng)，即a時(shí)取等號(hào)故所求的最小值為10.答案：10三、解答題10已知x>0，y>0，且2x8yxy0，求(1)xy的最小值；(2)xy的最小值解：(1)x>0，y>0，xy2x8y2即xy8，8，即xy64.當(dāng)且僅當(dāng)2x8y即x16，y4時(shí)，“”成立xy的最小值為64.(2)x>0，y>0，且2x8yxy0，2x8yxy，即1.xy(xy)·()1010218當(dāng)且僅當(dāng)，即x2y12時(shí)“”成立xy的最小值為18.11已知a，b>0，求證：.證明：22>0，ab2>0，()(ab)2·24.當(dāng)且僅當(dāng)，取等號(hào)即ab時(shí)，不等式等號(hào)成立12某國(guó)際化妝品生產(chǎn)企業(yè)為了占有更多的市場(chǎng)份額，擬在2012年英國(guó)倫敦奧運(yùn)會(huì)期間進(jìn)行一系列促銷活動(dòng)，經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)查和測(cè)算，化妝品的年銷量x萬(wàn)件與年促銷費(fèi)t萬(wàn)元之間滿足3x與t1成反比例，如果不搞促銷活動(dòng)，化妝品的年銷量只能是1萬(wàn)件，已知2012年生產(chǎn)化妝品的設(shè)備折舊、維修等固定費(fèi)用為3萬(wàn)元，每生產(chǎn)1萬(wàn)件化妝品需再投入32萬(wàn)元的生產(chǎn)費(fèi)用，若將每件化妝品的售價(jià)定為其生產(chǎn)成本的150%與平均每件促銷費(fèi)的一半之和，則當(dāng)年生產(chǎn)的化妝品正好能銷完(1)將2012年的利潤(rùn)y(萬(wàn)元)表示為促銷費(fèi)t(萬(wàn)元)的函數(shù)(2)該企業(yè)2012年的促銷費(fèi)投入多少萬(wàn)元時(shí)， 企業(yè)的年利潤(rùn)最大？(注：利潤(rùn)銷售收入生產(chǎn)成本促銷費(fèi)，生產(chǎn)成本固定費(fèi)用生產(chǎn)費(fèi)用)解：(1)由題意可設(shè)3x，將t0，x1代入，得k2.x3.當(dāng)年生產(chǎn)x萬(wàn)件時(shí)，年生產(chǎn)成本年生產(chǎn)費(fèi)用固定費(fèi)用，年生產(chǎn)成本為32x332(3)3.當(dāng)銷售x(萬(wàn)件)時(shí)，年銷售收入為150%32(3)3t.由題意，生產(chǎn)x萬(wàn)件化妝品正好銷完，由年利潤(rùn)年銷售收入年生產(chǎn)成本促銷費(fèi)，得年利潤(rùn)y(t0)(2)y50()50250242(萬(wàn)元)，當(dāng)且僅當(dāng)，即t7時(shí)，ymax42，當(dāng)促銷費(fèi)定在7萬(wàn)元時(shí)，年利潤(rùn)最大