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高考數(shù)學(xué)導(dǎo)學(xué)練系列 圓錐曲線教案 蘇教版

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高考數(shù)學(xué)導(dǎo)學(xué)練系列 圓錐曲線教案 蘇教版

圓錐曲線與方程考綱導(dǎo)讀1掌握橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、簡單的幾何性質(zhì)、了解橢圓的參數(shù)方程2掌握雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、簡單的幾何性質(zhì)3掌握拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、簡單的幾何性質(zhì)4了解圓錐曲線的初步應(yīng)用知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圓錐曲線橢圓定義標(biāo)準(zhǔn)方程幾何性質(zhì)雙曲線定義標(biāo)準(zhǔn)方程幾何性質(zhì)拋物線定義標(biāo)準(zhǔn)方程幾何性質(zhì)第二定義第二定義統(tǒng)一定義直線與圓錐曲線的位置關(guān)系橢圓雙曲線拋物線a、b、c三者間的關(guān)系高考導(dǎo)航圓錐曲線是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要內(nèi)容,它的基本特點(diǎn)是數(shù)形兼?zhèn)?,兼容并包,可與代數(shù)、三角、幾何知識(shí)相溝通,歷來是高考的重點(diǎn)內(nèi)容。縱觀近幾年高考試題中對(duì)圓錐曲線的考查,基本上是兩個(gè)客觀題,一個(gè)主觀題,分值21分24分,占15%左右,并且主要體現(xiàn)出以下幾個(gè)特點(diǎn):1圓錐曲線的基本問題,主要考查以下內(nèi)容:圓錐曲線的兩種定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及a、b、c、e、p五個(gè)參數(shù)的求解圓錐曲線的幾何性質(zhì)的應(yīng)用2、求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程或軌跡圖形在高考中出現(xiàn)的頻率較高,此類問題的解決需掌握四種基本方法:直譯法、定義法、相關(guān)點(diǎn)法、參數(shù)法3有關(guān)直線與圓錐曲線位置關(guān)系問題,是高考的重?zé)狳c(diǎn)問題,這類問題常涉及圓錐曲線的性質(zhì)和直線的基本知識(shí)以及線段中點(diǎn)、弦長等,分析這類問題時(shí),往往要利用數(shù)形結(jié)合思想和“設(shè)而不求”的方法、對(duì)稱的方法及韋達(dá)定理,多以解答題的形式出現(xiàn)4求與圓錐曲線有關(guān)的參數(shù)或參數(shù)范圍問題,是高考命題的一大熱點(diǎn),這類問題綜合性較大,運(yùn)算技巧要求較高;尤其是與平面向量、平面幾何、函數(shù)、不等式的綜合,特別近年出現(xiàn)的解析幾何與平面向量結(jié)合的問題,是??汲P碌脑囶},將是今后高考命題的一個(gè)趨勢第1課時(shí) 橢圓基礎(chǔ)過關(guān)1橢圓的兩種定義(1) 平面內(nèi)與兩定點(diǎn)F1,F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)(大于)的點(diǎn)的軌跡叫橢圓,這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的 , 之間的距離叫做焦距注:當(dāng)2a|F1F2|時(shí),P點(diǎn)的軌跡是 當(dāng)2a|F1F2|時(shí),P點(diǎn)的軌跡不存在(2) 橢圓的第二定義:到 的距離與到 的距離之比是常數(shù),且 的點(diǎn)的軌跡叫橢圓定點(diǎn)F是橢圓的 ,定直線l是 ,常數(shù)e是 2橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(1) 焦點(diǎn)在軸上,中心在原點(diǎn)的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程是:,其中( > >0,且 )(2) 焦點(diǎn)在軸上,中心在原點(diǎn)的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程是,其中a,b滿足: (3)焦點(diǎn)在哪個(gè)軸上如何判斷?3橢圓的幾何性質(zhì)(對(duì),a > b >0進(jìn)行討論)(1) 范圍: x , y (2) 對(duì)稱性:對(duì)稱軸方程為 ;對(duì)稱中心為 (3) 頂點(diǎn)坐標(biāo): ,焦點(diǎn)坐標(biāo): ,長半軸長: ,短半軸長: ;準(zhǔn)線方程: (4) 離心率: ( 與 的比), ,越接近1,橢圓越 ;越接近0,橢圓越接近于 (5) 焦半徑公式:設(shè)分別為橢圓的左、右焦點(diǎn),是橢圓上一點(diǎn),則 ,= 。4焦點(diǎn)三角形應(yīng)注意以下關(guān)系(老師補(bǔ)充畫出圖形):(1) 定義:r1r22a(2) 余弦定理:2r1r2cos(2c)2(3) 面積:r1r2 sin·2c| y0 |(其中P()為橢圓上一點(diǎn),|PF1|r1,|PF2|r2,F(xiàn)1PF2)典型例題變式訓(xùn)練2:已知P(x0,y0)是橢圓(ab0)上的任意一點(diǎn),F(xiàn)1、F2是焦點(diǎn),求證:以PF2為直徑的圓必和以橢圓長軸為直徑的圓相內(nèi)切.證明 設(shè)以PF2為直徑的圓心為A,半徑為r.F1、F2為焦點(diǎn),所以由橢圓定義知|PF1|+|PF2|=2a,|PF2|=2r|PF1|+2r=2a,即|PF1|=2(ar)連結(jié)OA,由三角形中位線定理,知|OA|=故以PF2為直徑的圓必和以長軸為直徑的圓相內(nèi)切.評(píng)注 運(yùn)用橢圓的定義結(jié)合三角形中位線定理,使題目得證。例3. 如圖,橢圓的中心在原點(diǎn),其左焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合,過的直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn),與拋物線交于C、D兩點(diǎn)當(dāng)直線與x軸垂直時(shí),(1)求橢圓的方程;(2)求過點(diǎn)O、,并且與橢圓的左準(zhǔn)線相切的圓的方程;(3)求的最大值和最小值解:(1)由拋物線方程,得焦點(diǎn)設(shè)橢圓的方程: 解方程組 得C(-1,2),D(1,-2) 由于拋物線、橢圓都關(guān)于x軸對(duì)稱, 2分又,因此,解得并推得 故橢圓的方程為 4分(2), 圓過點(diǎn)O、,圓心M在直線上設(shè)則圓半徑,由于圓與橢圓的左準(zhǔn)線相切,由得解得所求圓的方程為8分(3) 由若垂直于軸,則, , 9分若與軸不垂直,設(shè)直線的斜率為,則直線的方程為 由 得 ,方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根設(shè),., 11分 = ,所以當(dāng)直線垂于軸時(shí),取得最大值當(dāng)直線與軸重合時(shí),取得最小值變式訓(xùn)練3:在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知點(diǎn)A(-1, 0)、B(1, 0), 動(dòng)點(diǎn)C滿足條件:ABC的周長為22.記動(dòng)點(diǎn)C的軌跡為曲線W.(1)求W的方程;(2)經(jīng)過點(diǎn)(0, )且斜率為k的直線l與曲線W 有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P和Q,求k的取值范圍;(3)已知點(diǎn)M(,0),N(0, 1),在()的條件下,是否存在常數(shù)k,使得向量與共線?如果存在,求出k的值;如果不存在,請(qǐng)說明理由.解:() 設(shè)C(x, y), , , , 由定義知,動(dòng)點(diǎn)C的軌跡是以A、B為焦點(diǎn),長軸長為2的橢圓除去與x軸的兩個(gè)交點(diǎn). . . W: . (2) 設(shè)直線l的方程為,代入橢圓方程,得. 整理,得. 因?yàn)橹本€l與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P和Q等價(jià)于 ,解得或. 滿足條件的k的取值范圍為 (3)設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),則(x1+x2,y1+y2), 由得. 又 因?yàn)椋?所以. 所以與共線等價(jià)于. 將代入上式,解得. 所以不存在常數(shù)k,使得向量與共線.例4. 已知橢圓W的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上,離心率為,兩條準(zhǔn)線間的距離為6. 橢圓W的左焦點(diǎn)為,過左準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)任作一條斜率不為零的直線與橢圓W交于不同的兩點(diǎn)、,點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為.(1)求橢圓W的方程;(2)求證: ();(3)求面積的最大值. 解:(1)設(shè)橢圓W的方程為,由題意可知解得,所以橢圓W的方程為4分(2)解法1:因?yàn)樽鬁?zhǔn)線方程為,所以點(diǎn)坐標(biāo)為.于是可設(shè)直線 的方程為得.由直線與橢圓W交于、兩點(diǎn),可知,解得設(shè)點(diǎn),的坐標(biāo)分別為,,則,因?yàn)?,所以?又因?yàn)?,所?10分解法2:因?yàn)樽鬁?zhǔn)線方程為,所以點(diǎn)坐標(biāo)為.于是可設(shè)直線的方程為,點(diǎn),的坐標(biāo)分別為,,則點(diǎn)的坐標(biāo)為,由橢圓的第二定義可得,所以,三點(diǎn)共線,即10分(3)由題意知 ,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)“=”成立,所以面積的最大值為變式訓(xùn)練4:設(shè)、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn). (1)若P是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),求的最大值和最小值;(2)是否存在過點(diǎn)A(5,0)的直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)C、D,使得|F2C|=|F2D|?若存在,求直線l的方程;若不存在,請(qǐng)說明理由.解:(1)易知 設(shè)P(x,y),則 ,即點(diǎn)P為橢圓短軸端點(diǎn)時(shí),有最小值3;當(dāng),即點(diǎn)P為橢圓長軸端點(diǎn)時(shí),有最大值4 (2)假設(shè)存在滿足條件的直線l易知點(diǎn)A(5,0)在橢圓的外部,當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí),直線l與橢圓無交點(diǎn),所在直線l斜率存在,設(shè)為k直線l的方程為 由方程組依題意 當(dāng)時(shí),設(shè)交點(diǎn)C,CD的中點(diǎn)為R,則又|F2C|=|F2D| 20k2=20k24,而20k2=20k24不成立, 所以不存在直線,使得|F2C|=|F2D|綜上所述,不存在直線l,使得|F2C|=|F2D| 小結(jié)歸納1在解題中要充分利用橢圓的兩種定義,靈活處理焦半徑,熟悉和掌握a、b、c、e關(guān)系及幾何意義,能夠減少運(yùn)算量,提高解題速度,達(dá)到事半功倍之效2由給定條件求橢圓方程,常用待定系數(shù)法步驟是:定型確定曲線形狀;定位確定焦點(diǎn)位置;定量由條件求a、b、c,當(dāng)焦點(diǎn)位置不明確時(shí),方程可能有兩種形式,要防止遺漏3解與橢圓的焦半徑、焦點(diǎn)弦有關(guān)的問題時(shí),一般要從橢圓的定義入手考慮;橢圓的焦半徑的取值范圍是4“設(shè)而不求”,“點(diǎn)差法”等方法,是簡化解題過程的常用技巧,要認(rèn)真領(lǐng)會(huì)5解析幾何與代數(shù)向量的結(jié)合,是近年來高考的熱點(diǎn),應(yīng)引起重視第2課時(shí) 雙 曲 線基礎(chǔ)過關(guān)典型例題例2雙曲線型自然通風(fēng)塔的外形,是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉(zhuǎn)所成的曲面,它的最小半徑為12 m,上口半徑為13 m,下口半徑為25 m,高55 m.選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,求出此雙曲線的方程(精確到1m).解:如圖817,建立直角坐標(biāo)系xOy,使A圓的直徑AA在x軸上,圓心與原點(diǎn)重合.這時(shí)上、下口的直徑CC、BB平行于x軸,且=13×2 (m),=25×2 (m).設(shè)雙曲線的方程為 (a>0,b>0)令點(diǎn)C的坐標(biāo)為(13,y),則點(diǎn)B的坐標(biāo)為(25,y55).因?yàn)辄c(diǎn)B、C在雙曲線上,所以 解方程組由方程(2)得 (負(fù)值舍去).代入方程(1)得化簡得 19b2+275b18150=0 (3)解方程(3)得 b25 (m).所以所求雙曲線方程為:例3. 中,固定底邊BC,讓頂點(diǎn)A移動(dòng),已知,且,求頂點(diǎn)A的軌跡方程解:取BC的中點(diǎn)O為原點(diǎn),BC所在直線為x軸,建立直角坐標(biāo)系,因?yàn)?,所以B(),利用正弦定理,從條件得,即由雙曲線定義知,點(diǎn)A的軌跡是B、C為焦點(diǎn),焦距為4,實(shí)軸長為2,虛軸長為的雙曲線右支,點(diǎn)(1,0)除外,即軌跡方程為()變式訓(xùn)練3:已知雙曲線的一條漸近線方程為,兩條準(zhǔn)線的距離為l.(1)求雙曲線的方程;(2)直線l過坐標(biāo)原點(diǎn)O且和雙曲線交于兩點(diǎn)M、N,點(diǎn)P為雙曲線上異于M、N的一點(diǎn),且直線PM,PN的斜率均存在,求kPM·kPN的值.(1)解:依題意有:可得雙曲線方程為 (2)解:設(shè)所以 例4. 設(shè)雙曲線C:的左、右頂點(diǎn)分別為A1、A2,垂直于x軸的直線m與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)P、Q。(1)若直線m與x軸正半軸的交點(diǎn)為T,且,求點(diǎn)T的坐標(biāo);(2)求直線A1P與直線A2Q的交點(diǎn)M的軌跡E的方程;(3)過點(diǎn)F(1,0)作直線l與()中的軌跡E交于不同的兩點(diǎn)A、B,設(shè),若(T為()中的點(diǎn))的取值范圍。解:(1)由題,得,設(shè)則由 又在雙曲線上,則 聯(lián)立、,解得 由題意, 點(diǎn)T的坐標(biāo)為(2,0) 3分(2)設(shè)直線A1P與直線A2Q的交點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,y)由A1、P、M三點(diǎn)共線,得 1分由A2、Q、M三點(diǎn)共線,得 1分聯(lián)立、,解得 1分在雙曲線上,軌跡E的方程為 1分(3)容易驗(yàn)證直線l的斜率不為0。故可設(shè)直線l的方程為 中,得 設(shè) 則由根與系數(shù)的關(guān)系,得 2分 有將式平方除以式,得 1分由 1分又故令 ,即 而 , 變式訓(xùn)練4:)已知中心在原點(diǎn),左、右頂點(diǎn)A1、A2在x軸上,離心率為的雙曲線C經(jīng)過點(diǎn)P(6,6),動(dòng)直線l經(jīng)過A1PA2的重心G與雙曲線C交于不同兩點(diǎn)M、N,Q為線段MN的中點(diǎn).(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程(2)當(dāng)直線l的斜率為何值時(shí),。本小題考查雙曲線標(biāo)準(zhǔn)議程中各量之間關(guān)系,以及直線與雙曲線的位置關(guān)系。解(1)設(shè)雙曲線C的方程為又P(6,6)在雙曲線C上,由、解得所以雙曲線C的方程為。(2)由雙曲線C的方程可得所以A1PA2的重點(diǎn)G(2,2)設(shè)直線l的方程為代入C的方程,整理得整理得解得由,可得解得小結(jié)歸納由、,得5對(duì)于直線與雙曲線的位置關(guān)系,要注意“數(shù)形轉(zhuǎn)化”“數(shù)形結(jié)合”,既可以轉(zhuǎn)化為方程組的解的個(gè)數(shù)來確定,又可以把直線與雙曲線的漸近線進(jìn)行比較,從“形”的角度來判斷第3課時(shí) 拋 物 線基礎(chǔ)過關(guān)1拋物線定義:平面內(nèi)到 和 距離 的點(diǎn)的軌跡叫拋物線, 叫拋物線的焦點(diǎn), 叫做拋物線的準(zhǔn)線(注意定點(diǎn)在定直線外,否則,軌跡將退化為一條直線)2拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程 ,焦點(diǎn)為 ,準(zhǔn)線為 ,焦點(diǎn)為 ,準(zhǔn)線為 ,焦點(diǎn)為 ,準(zhǔn)線為 ,焦點(diǎn)為 ,準(zhǔn)線為 3拋物線的幾何性質(zhì):對(duì)進(jìn)行討論 點(diǎn)的范圍: 、 對(duì)稱性:拋物線關(guān)于 軸對(duì)稱 離心率 焦半徑公式:設(shè)F是拋物線的焦點(diǎn),是拋物線上一點(diǎn),則 焦點(diǎn)弦長公式:設(shè)AB是過拋物線焦點(diǎn)的一條弦(焦點(diǎn)弦)i) 若,則 , ii) 若AB所在直線的傾斜角為(則 特別地,當(dāng)時(shí),AB為拋物線的通徑,且 iii) SAOB (表示成P與的關(guān)系式)iv) 為定值,且等于 典型例題例1. 已知拋物線頂點(diǎn)在原點(diǎn),對(duì)稱軸是x軸,拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為5,求拋物線的方程和n的值解:設(shè)拋物線方程為,則焦點(diǎn)是F點(diǎn)A(3,n)在拋物線上,且| AF |5故解得P4,故所求拋物線方程為變式訓(xùn)練1:求頂點(diǎn)在原點(diǎn),對(duì)稱軸是x軸,并且頂點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離等于6的拋物線方程解:因?yàn)閷?duì)稱軸是軸,可設(shè)拋物線方程為或 ,p12故拋物線方程為或例2. 已知拋物線C:的焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)F的直線l與C相交于A、B(1) 若,求直線l的方程(2) 求的最小值解:(1)解法一:設(shè)直線的方程為:代入整理得,設(shè)則是上述關(guān)于的方程的兩個(gè)不同實(shí)根,所以根據(jù)拋物線的定義知:| AB |若,則即直線有兩條,其方程分別為:解法二:由拋物線的焦點(diǎn)弦長公式|AB|(為AB的傾斜角)易知sin±,即直線AB的斜率ktan±,故所求直線方程為:或.(2) 由(1)知,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),|AB|有最小值4解法二:由(1)知|AB| |AB|min4 (此時(shí)sin1,90°)變式訓(xùn)練2:過拋物線y24x的焦點(diǎn)作一條直線與拋物線相交于A、B兩點(diǎn),它們的橫坐標(biāo)之和等于5,則這樣的直線( )A有且僅有一條B有且僅有兩條C有無數(shù)條D不存在解:B例3. 若A(3,2),F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn),P為拋物線上任意一點(diǎn),求的最小值及取得最小值時(shí)的P的坐標(biāo)解:拋物線的準(zhǔn)線方程為過P作PQ垂直于準(zhǔn)線于Q點(diǎn),由拋物線定義得|PQ| PF |,| PF | PA | PA | PQ |要使| PA | PQ |最小,A、P、Q三點(diǎn)必共線,即AQ垂直于準(zhǔn)線,AQ與拋物線的交點(diǎn)為P點(diǎn)從而|PA|PF|的最小值為此時(shí)P的坐標(biāo)為(2,2)1.(2008·遼寧理,10)已知點(diǎn)P是拋物線y2=2x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),則點(diǎn)P到點(diǎn)(0,2)的距離與點(diǎn)P到該拋物線準(zhǔn)線的距離之和的最小值為 .答案 變式訓(xùn)練3:一個(gè)酒杯的軸截面是拋物線的一部分,它的方程是x2,在杯內(nèi)放入一個(gè)玻璃球,要使球觸及酒杯底部,則玻璃球的半徑r的取值范圍是 。解:例4. 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),兩點(diǎn)在拋物線y2x2上,l是AB的垂直平分線(1)當(dāng)且僅當(dāng)x1x2取何值時(shí),直線l經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)F?證明你的結(jié)論?(2)當(dāng)直線l的斜率為2時(shí),求在y軸上的截距的取值范圍解:(1)Fl|FA|FB|A、B兩點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離相等拋物線的準(zhǔn)線是x軸的平行線,y10,y20,依題意y1,y2不同時(shí)為0上述條件等價(jià)于y1y2(x1x2)(x1x2)0x1x2 x1x20即當(dāng)且僅當(dāng)x1x20時(shí),l過拋物線的焦點(diǎn)F(2)設(shè)l在y軸上的截距為b,依題意得l的方程為y2xb,過點(diǎn)A、B的直線方程可寫為yxm所以x1、x2滿足方程:2x2xm0且x1x2,由于A、B為拋物線上不同的兩點(diǎn),所以8m0,即m設(shè)AB之中點(diǎn)為N(x0,y0),則x0y0x0mm由Nl得:mb于是bm即l在y軸上截距的取值范圍是(,)變式訓(xùn)練4:正方形ABCD中,一條邊AB在直線yx4上,另外兩頂點(diǎn)C、D在拋物線y2x上,求正方形的面積設(shè)C、D的坐標(biāo)分別為(y12,y1),(y22,y2)( y1> y2),則直線CD的斜率為1 1,即y1y21 又| CD |(y1y2)| BC |(y12y14恒正)由| CD | BC |,有(y1y2) 解、 得 y12或y13當(dāng)y12時(shí),有| BC |3,此時(shí)SABCD18當(dāng)y13時(shí),有| BC |5,此時(shí)SABCD50 正方形的面積為18或50小結(jié)歸納1求拋物線方程要注意頂點(diǎn)位置和開口方向,以便準(zhǔn)確設(shè)出方程,然后用待定系數(shù)法2利用好拋物線定義,進(jìn)行求線段和的最小值問題的轉(zhuǎn)化3涉及拋物線的弦的中點(diǎn)和弦長等問題要注意利用韋達(dá)定理,能避免求交點(diǎn)坐標(biāo)的復(fù)雜運(yùn)算4、解決焦點(diǎn)弦問題時(shí),拋物線的定義有廣泛的應(yīng)用,應(yīng)注意焦點(diǎn)弦的幾何性質(zhì)基礎(chǔ)過關(guān)第4課時(shí) 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系1直線與圓錐曲線的位置關(guān)系,常用研究方法是將曲線方程與直線方程聯(lián)立,由所得方程組的解的個(gè)數(shù)來決定,一般地,消元后所得一元二次方程的判別式記為,>0時(shí),有兩個(gè)公共點(diǎn),0時(shí),有一個(gè)公共點(diǎn),<0時(shí),沒有公共點(diǎn)但當(dāng)直線方程與曲線方程聯(lián)立的方程組只有一組解(即直線與曲線只有一個(gè)交點(diǎn))時(shí),直線與曲線未必相切,在判定此類情形時(shí),應(yīng)注意數(shù)形結(jié)合(對(duì)于雙曲線,重點(diǎn)注意與漸近線平行的直線,對(duì)于拋物線,重點(diǎn)注意與對(duì)稱軸平行的直線)2直線與圓錐曲線的交點(diǎn)間的線段叫做圓錐曲線的弦設(shè)弦AB端點(diǎn)的坐標(biāo)為A(x1,y1),B(x2,y2),直線AB的斜率為k,則:AB=或:利用這個(gè)公式求弦長時(shí),要注意結(jié)合韋達(dá)定理當(dāng)弦過圓錐曲線的焦點(diǎn)時(shí),可用焦半徑進(jìn)行運(yùn)算3中點(diǎn)弦問題:設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)是橢圓上不同的兩點(diǎn),且x1x2,x1x20,M(x0,y0)為AB的中點(diǎn),則 兩式相減可得即 對(duì)于雙曲線、拋物線,可得類似的結(jié)論典型例題例1. 直線yax1與雙曲線3x2y21相交于A、B兩點(diǎn)(1) 當(dāng)a為何值時(shí),A、B兩點(diǎn)在雙曲線的同一支上?當(dāng)a為何值時(shí),A、B兩點(diǎn)分別在雙曲線的兩支上?(2) 當(dāng)a為何值時(shí),以AB為直徑的圓過原點(diǎn)?解: 消去y(1) 聯(lián)立 (3a2)x22ax20 顯然a23,否則方程只有一解,于是直線與雙曲線至多一個(gè)交點(diǎn)若交點(diǎn)A、B在雙曲線同支上,則方程滿足:a(,)(,)若A、B分別在雙曲線的兩支上,則有:a(,)(2) 若以AB為直徑的圓過點(diǎn)O,則OAOB,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)由于x1x2,x1x2y1y2(ax11)(ax21)a(x1x2)a2x1x21a2·a·11OAOB x1x2y1y20 1a±1此時(shí)0,符合要求變式訓(xùn)練1:已知直線y(a1)x1與曲線y2ax恰有一個(gè)公共點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的值.解:聯(lián)立方程為(1) 當(dāng)a0時(shí),此時(shí)方程組恰有一組解 (2) 當(dāng)a0時(shí),消去x得 若0,即a1方程變?yōu)橐淮畏匠?,y10,方程組恰有一組解 若0,即a1,令0得1,解得a此時(shí)直線與曲線相切,恰有一個(gè)公共點(diǎn),綜上所述知,當(dāng)a0,1,時(shí),直線與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)例2. 已知雙曲線方程2x2y22.(1) 求以A(2,1)為中點(diǎn)的雙曲線的弦所在直線方程;(2) 過點(diǎn)B(1,1)能否作直線l,使l與所給雙曲線交于Q1、Q2兩點(diǎn),且點(diǎn)B是弦Q1Q2的中點(diǎn)?這樣的直線l如果存在,求出它的方程;如果不存在,說明理由解:(1)即設(shè)的中點(diǎn)弦兩端點(diǎn)為,則有關(guān)系又據(jù)對(duì)稱性知,所以是中點(diǎn)弦所在直線的斜率,由、在雙曲線上,則有關(guān)系兩式相減是: 所求中點(diǎn)弦所在直線為,即(2)可假定直線存在,而求出的方程為,即方法同(1),聯(lián)立方程,消去y,得然而方程的判別式,無實(shí)根,因此直線與雙曲線無交點(diǎn),這一矛盾說明了滿足條件的直線不存在變式訓(xùn)練2:若橢圓的弦被點(diǎn)(4,2)平分,則此弦所在直線的斜率為( )A2 B2 C D 解:D例3. 在拋物線y24x上恒有兩點(diǎn)關(guān)于直線ykx3對(duì)稱,求k的取值范圍解法一:設(shè)、關(guān)于直線對(duì)稱,直線方程為,代入得,設(shè)、,中點(diǎn),則 點(diǎn)在直線上,代入,得,即解得解法二:設(shè),關(guān)于對(duì)稱,中點(diǎn),則相減得:,則 在拋物線內(nèi)部,化簡而得,即,解得變式訓(xùn)練3:設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F,經(jīng)過點(diǎn)P(2,1)的直線l與拋物線相交于A、B兩點(diǎn),又知點(diǎn)P恰為AB的中點(diǎn),則 .解:8例4. 已知橢圓1(a為常數(shù),且a>1),向量(1, t) (t >0),過點(diǎn)A(a, 0)且以為方向向量的直線與橢圓交于點(diǎn)B,直線BO交橢圓于點(diǎn)C(O為坐標(biāo)原點(diǎn))(1) 求t表示ABC的面積S( t );(2) 若a2,t, 1,求S( t )的最大值CAOBxy解:(1) 直線AB的方程為:yt(xa),由 得 y0或y 點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為 S(t)SABC2SAOB|OA|·yB(2) 當(dāng)a2時(shí),S(t) t,1, 4t24當(dāng)且僅當(dāng)4t,t時(shí),上式等號(hào)成立. S(t)2即S(t)的最大值S(t)max2變式訓(xùn)練4:設(shè)橢圓C:的左焦點(diǎn)為F,上頂點(diǎn)為A,過點(diǎn)A作垂直于AF的直線交橢圓C于另外一點(diǎn)P,交x軸正半軸于點(diǎn)Q, 且 (1)求橢圓C的離心率; (2)若過A、Q、F三點(diǎn)的圓恰好與直線l: APQFOxy相切,求橢圓C的方程. 解:設(shè)Q(x0,0),由F(-c,0)A(0,b)知2分設(shè),得因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓上,所以整理得2b2=3ac,即2(a2c2)=3ac,,故橢圓的離心率e由知,于是F(a,0), QAQF的外接圓圓心為(a,0),半徑r=|FQ|=a所以,解得a=2,c=1,b=,小結(jié)歸納所求橢圓方程為小結(jié)歸納1判斷直線與圓錐曲線的位置關(guān)系時(shí),注意數(shù)形結(jié)合;用判別式的方法時(shí),若所得方程二次項(xiàng)的系數(shù)有參數(shù),則需考慮二次項(xiàng)系數(shù)為零的情況2涉及中點(diǎn)弦的問題有兩種常用方法:一是“設(shè)而不求”的方法,利用端點(diǎn)在曲線上,坐標(biāo)滿足方程,作差構(gòu)造出中點(diǎn)坐標(biāo)和斜率的關(guān)系,它能簡化計(jì)算;二是利用韋達(dá)定理及中點(diǎn)坐標(biāo)公式對(duì)于存在性問題,還需用判別式進(jìn)一步檢驗(yàn)3對(duì)稱問題,要注意兩點(diǎn):垂直和中點(diǎn)圓錐曲線單元測試題一、選擇題1 中心在原點(diǎn),準(zhǔn)線方程為x±4,離心率為的橢圓方程是 ( )ABC D2 AB是拋物線y22x的一條焦點(diǎn)弦,|AB|4,則AB中點(diǎn)C的橫坐標(biāo)是 ( )A2BCD3 若雙曲線的一條準(zhǔn)線與拋物線y28x的準(zhǔn)線重合,則雙曲線的離心率為 ( )ABC4D4 已知拋物線y2x2上兩點(diǎn)A(x1,y1), B(x2,y2)關(guān)于直線yxm對(duì)稱,且x1x2, 那么m的值等于( )A B C 2 D35已知雙曲線x21的焦點(diǎn)為F1、F2,點(diǎn)M在雙曲線上且0,則點(diǎn)M到x軸的距離為 ( )A BC D6點(diǎn)P(3,1)在橢圓(a>b>0)的左準(zhǔn)線上,過點(diǎn)P且方向?yàn)?2,5)的光線,經(jīng)直線y2反射后通過橢圓的左焦點(diǎn),則這個(gè)橢圓的離心率為( )A BC D 7 橢圓上有n個(gè)不同的點(diǎn):P1,P2,Pn,橢圓的右焦點(diǎn)為F,數(shù)列|PnF|是公差大于的等差數(shù)列,則n的最大值是( )A198 B199C200 D2018 過點(diǎn)(4, 0)的直線與雙曲線的右支交于A、B兩點(diǎn),則直線AB的斜率k的取值范圍是( )A| k |1B| k | >C| k |D| k | < 19 已知為三角形的一個(gè)內(nèi)角,且sincos,則方程x2siny2cos1表示 ( )A焦點(diǎn)在x軸上的橢圓B焦點(diǎn)在y軸上的橢圓C焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線D焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線10下列圖中的多邊形均為正多邊形,M、N是所在邊上的中點(diǎn),雙曲線均以圖中的F1、F2為焦點(diǎn),設(shè)圖、中的雙曲線離心率分別為e1、e2、e3,則( )MNF1F2F1F2F2F1MNNMAe1 > e2 > e3 Be1 < e2 < e3 Ce1e2 < e3 De1e2 > e3 二、填空題11拋物線yx2上到直線2xy4的距離最近的點(diǎn)是 .12雙曲線3x24y212x8y40按向量平移后的雙曲線方程為,則平移向量 13P在以F1、F2為焦點(diǎn)的雙曲線上運(yùn)動(dòng),則F1F2P的重心G的軌跡方程是14橢圓中,以M(1,2)為中點(diǎn)的弦所在直線的方程為 .15以下四個(gè)關(guān)于圓錐曲線的命題中: 設(shè)A、B為兩個(gè)定點(diǎn),k為非零常數(shù),若,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為雙曲線; 過定圓C上一定點(diǎn)A作圓的動(dòng)弦AB、O為坐標(biāo)原點(diǎn),若(),則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為橢圓; 方程2x25x20的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率; 雙曲線與有相同的焦點(diǎn)其中真命題的序號(hào)為 (寫出所有真命題的序號(hào))三、解答題16已知雙曲線的離心率為2,它的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2,P為雙曲線上的一點(diǎn),且F1PF260°,PF1F2的面積為,求雙曲線的方程17已知?jiǎng)訄AC與定圓x2y21內(nèi)切,與直線x3相切.(1) 求動(dòng)圓圓心C的軌跡方程;(2) 若Q是上述軌跡上一點(diǎn),求Q到點(diǎn)P(m,0)距離的最小值.18如圖,O為坐標(biāo)原點(diǎn),直線在軸和軸上的截距分別是和,且交拋物線于、兩點(diǎn) (1) 寫出直線的截距式方程; (2) 證明:; (3) 當(dāng)時(shí),求的大小xyOMlaNb19設(shè)x,yR,,為直角坐標(biāo)平面內(nèi)x軸,y軸正方向上的單位向量,若x(y2),x(y2),且|8(1) 求動(dòng)點(diǎn)M(x,y)的軌跡C的方程(2) 設(shè)曲線C上兩點(diǎn)A、B,滿足(1)直線AB過點(diǎn)(0,3),(2) 且OAPB為矩形,求直線AB方程.20動(dòng)圓M過定點(diǎn)A(,0),且與定圓A´:(x)2y212相切(1)求動(dòng)圓圓心M的軌跡C的方程;(2)過點(diǎn)P(0,2)的直線l與軌跡C交于不同的兩點(diǎn)E、F,求的取值范圍21已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是F1(c, 0)、F2(c, 0),Q是橢圓外的動(dòng)點(diǎn),滿足,點(diǎn)P是線段F1Q與橢圓的交點(diǎn),點(diǎn)T在線段F2Q上,并且滿足0,0(1) 設(shè)x為點(diǎn)P的橫坐標(biāo),證明;(2) 求點(diǎn)T的軌跡C的方程;(3) 試問:在點(diǎn)T的軌跡C上,是否存在點(diǎn)M,使F1MF2的面積Sb2 ?若存在,求F1MF2的正切值,若不存在,請(qǐng)說明理由xyQPOF1F2圓錐曲線單元測試題答案1.B 2. C 3. A 4. B 5. C 6. A 7. C 8. B 9. B 10. D 11. (1,1) 12. (2,1) 13. 14. 9x32y730 15. 16. 解:以焦點(diǎn)F1、F2所在直線為x軸,線段F1F2的垂直平分線為y軸建立直角坐標(biāo)系,如右圖所示:設(shè)雙曲線方程為:0F1F2xyP60°依題意有: 解之得:a24,c216,b212故所求雙曲線方程為:17解:(1) 設(shè)則C與O內(nèi)切,即軌跡方程為(2) 設(shè),則當(dāng),即時(shí) 當(dāng),即時(shí),18解:(1) (2) 由直線方程及拋物線方程可得:by22pay2pab0故 所以(3) 設(shè)直線OM,ON的斜率分別為k1,k2則.當(dāng)a2p時(shí),知y1y24p2,x1x24p2所以,k1k21,即MON90°19( 1 ) 解:令M(x,y),F(xiàn)1(0,2),F(xiàn)2(0,2)則,即|,即|8又 42c, c2,a4,b212所求軌跡方程為 ( 2) 解:由條件(2)可知OAB不共線,故直線AB的斜率存在,設(shè)AB方程為ykx3,A(x1,y1),B(x2,y2),則 (3k24)x218kx210x1x2 x1·x2y1·y2(kx13) (kx23)k2 x1x23k(x1x2)9 OAPB為矩形, OAOB 0 x1x2y1y20 得k±所求直線方程為y±x3xyFA(,0)EMP(0, 2)A´(,0)20解:(1)A´(,0),依題意有|MA´|2|MA´|MA|2 2點(diǎn)M的軌跡是以A´、A為焦點(diǎn),2為長軸上的橢圓,a,c b21因此點(diǎn)M的軌跡方程為(2) 解法一:設(shè)l的方程為xk(y2)代入,消去x得:(k23)y24k2y4k230由0得16k4(4k23)(k23)0 0k21設(shè)E(x1,y1),F(xiàn)(x2,y2),則y1y2,y1y2又(x1,y12),(x2,y22)·x1x2(y12)(y22)k(y12)·k (y22) (y12)(y22)(1k2)0k21 3k234 ·解法二:設(shè)過P(0,2)的直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù),為直線l的傾角)代入中并整理得:(12sin2)t212sin·t90由122sin236(12sin2)0得:sin2 又t1t2··cos0°|PE|·|PF|t1t2由sin21得:·21(1) 證法一:設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y)xyQPOF1F2T由P(x,y)在橢圓上,得

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