高中數(shù)學講義微專題11函數(shù)零點的性質問題

微專題11 函數(shù)零點的性質一、基礎知識：1、函數(shù)零點，方程，圖像交點的相互轉化：有關零點個數(shù)及性質的問題會用到這三者的轉化，且這三者各具特點：（1）函數(shù)的零點：有“零點存在性定理”作為理論基礎，可通過區(qū)間端點值的符號和函數(shù)的單調性確定是否存在零點（2）方程：方程的特點在于能夠進行靈活的變形，從而可將等號兩邊的表達式分別構造為兩個可分析的函數(shù)，為作圖做好鋪墊（3）圖像的交點：通過作圖可直觀的觀察到交點的個數(shù)，并能初步判斷交點所在區(qū)間。三者轉化：函數(shù)的零點方程的根方程的根函數(shù)與的交點2、此類問題的處理步驟：（1）作圖：可將零點問題轉化成方程，進而通過構造函數(shù)將方程轉化為兩個圖像交點問題，并作出函數(shù)圖像（2）確定變量范圍：通過圖像與交點位置確定參數(shù)和零點的取值范圍（3）觀察交點的特點（比如對稱性等）并選擇合適的方法處理表達式的值，3、常見處理方法：（1）代換法：將相等的函數(shù)值設為，從而用可表示出，將關于的表達式轉化為關于的一元表達式，進而可求出范圍或最值（2）利用對稱性解決對稱點求和：如果關于軸對稱，則；同理，若關于中心對稱，則也有。將對稱的點歸為一組，在求和時可與對稱軸（或對稱中心）找到聯(lián)系二、典型例題：例1：已知函數(shù)，若，且，則的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 思路：先做出的圖像，通過圖像可知，如果，則，設，即，由范圍可得：，從而，所以，而，所以答案：C小煉有話說：（1）此類問題如果圖像易于作出，可先作圖以便于觀察函數(shù)特點（2）本題有兩個關鍵點，一個是引入輔助變量，從而用表示出，達到消元效果，但是要注意是有范圍的（通過數(shù)形結合需與有兩交點）；一個是通過圖像判斷出的范圍，從而去掉絕對值。例2：已知函數(shù) ，若有三個不同的實數(shù)，使得 ，則的取值范圍是_思路：的圖像可作，所以考慮作出的圖像，不妨設，由圖像可得： ，且關于軸對稱，所以有，再觀察，且，所以，從而 答案： 小煉有話說：本題抓住關于對稱是關鍵，從而可由對稱求得，使得所求式子只需考慮的范圍即可例3：定義在上的奇函數(shù)，當時，則關于的函數(shù)的所有零點之和為（ ） A. B. C. D. 思路：為奇函數(shù)，所以考慮先做出正半軸的圖像，再利用對稱作出負半軸圖像，當時，函數(shù)圖象由兩部分構成，分別作出各部分圖像。的零點，即為方程的根，即圖像與直線的交點。觀察圖像可得有5個交點：關于對稱，且滿足方程即，解得：，關于軸對稱，答案：B例4：已知，函數(shù)的零點分別為，函數(shù)的零點分別為，則的最小值為（ ）A. B. C. D. 思路：從解析式中發(fā)現(xiàn)可看做與的交點，可看做與的交點，且，從而均可由進行表示，所以可轉化為關于的函數(shù)，再求最小值即可解：由圖像可得： 答案：B例5：已知函數(shù)有兩個不同的零點，則（ ）A. B. C. D. 思路：可將零點化為方程的根，進而轉化為與的交點，作出圖像可得，進而可將中的絕對值去掉得： ，觀察選項涉及，故將可得：，而為減函數(shù)，且，從而，即答案：D例6：已知函數(shù)，存在，則的最大值為 思路：先作出的圖像，觀察可得：，所求可先減少變量個數(shù)，利用可得：，從而只需求出在的最小值即可：，所以函數(shù)在單增，在單減。從而 答案： 例7：已知定義在上的函數(shù)滿足： ，且，則方程在區(qū)間上的所有實根之和為（ ）A. B. C. D. 思路：先做圖觀察實根的特點，在中，通過作圖可發(fā)現(xiàn)在關于中心對稱，由可得是周期為2的周期函數(shù)，則在下一個周期中，關于中心對稱，以此類推。從而做出的圖像（此處要注意區(qū)間端點值在何處取到），再看圖像，可視為將的圖像向左平移2個單位后再向上平移2個單位，所以對稱中心移至，剛好與對稱中心重合，如圖所示：可得共有3個交點，其中，與 關于中心對稱，所以有。所以答案：C例8：函數(shù)，直線與函數(shù)的圖像相交于四個不同的點，從小到大，交點橫坐標依次記為，有以下四個結論 若關于的方程恰有三個不同實根，則的取值唯一則其中正確的結論是（ ）A. B. C. D. 思路：本題涉及到的取值，及4個交點的性質，所以先作出的圖像，從而從圖上確定存在個交點時，的范圍是，所以正確。從圖像上可看出在同一曲線， 在同一曲線上，所以在處理時將放在一組，放在一組。涉及到根的乘積，一方面為方程的兩根，所以由韋達定理，可得，而為方程的兩根，且，從而，即，所以有，正確 由中的過程可得：，所以，從而，而， 設，則為增函數(shù)，所以正確可將問題轉化為與的交點個數(shù)問題，通過作圖可得的值不唯一綜上所述：正確答案：A 例9：已知函數(shù)，若，且，則的值（ ）A. 恒小于2 B. 恒大于2 C. 恒等于2 D. 與相關思路：觀察到當時，為單調函數(shù)，且時，的圖像相當于作時關于對稱的圖像再進行上下平移，所以也為單調函數(shù)。由此可得時，必在兩段上。設 ，可得，考慮使用代換法設，從而將均用表示，再判斷與的大小即可。解：設，不妨設，則 若，則為減函數(shù)，且 若，則為增函數(shù)，且 的值恒大于2答案：B例10：定義函數(shù)，則函數(shù)在區(qū)間（）內的所有零點的和為（ ） A B C D 思路：從可得：函數(shù)是以區(qū)間為一段，其圖像為將前一段圖像在水平方向上拉伸為原來的2倍，同時豎直方向上縮為原來的，從而先作出時的圖像，再依以上規(guī)律作出的圖像，的零點無法直接求出，所以將轉化為，即與的交點。通過作圖可得，其交點剛好位于每一段中的極大值點位置，可歸納出中極大值點為，所以所有零點之和為 答案：D小煉有話說：（1）本題考查了合理將軸劃分成一個個區(qū)間，其入手點在于的出現(xiàn)，體現(xiàn)了橫坐標之間2倍的關系，從而所劃分的區(qū)間長度成等比數(shù)列。（2）本題有一個易錯點，即在作圖的過程中，沒有發(fā)現(xiàn)恰好與相交在極大值點處，這一點需要通過計算得到：當時，從而歸納出規(guī)律。所以處理圖像交點問題時，如果在某些細節(jié)很難通過作圖直接確定，要通過函數(shù)值的計算來確定兩圖像的位置三、近年模擬題題目精選1、（2016四川高三第一次聯(lián)考）已知函數(shù)，若存在，當時，則的取值范圍為（ ）A. B. C. D. 2、（2016，蘇州高三調研）已知函數(shù)有且只有三個零點，設此三個零點中的最大值為，則_3、已知函數(shù)的零點分別為，則的大小關系是_4、已知函數(shù)的零點為，有使得，則下列結論不可能成立的是（ ）A. B. C. D. 5、已知，若方程有四個不同的解，則的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 6、已知函數(shù)，若存在實數(shù)，滿足，且，則的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 習題答案：1、答案：C解析：如圖可知： 2、答案：解析：，即與恰有三個公共點，通過數(shù)形結合可得：橫坐標最大值為直線與曲線在相切的切點。設改點，的導數(shù)為，所以，代入到所求表達式可得：3、答案：解析： ，在同一坐標系下作出如圖所示可得。令，解得，所以，從而4、答案：C解析：可判斷出為減函數(shù)，則包含兩種情況，一個是均小于零?？芍敃r，。所以的零點必在中，即，A選項可能；另一種情況為，則，即B,D選項可能。當時，由和為減函數(shù)即可得到不再存在零點。5、答案：B解析：作出的圖像可知若有四個不同的解，則，且在這四個根中，關于直線對稱，所以，所以，即，所以，由可得的范圍是6、答案：B解析：不妨設，作出的圖像可知若與有四個不同交點，則，且關于軸對稱。所以有即因為，所以，求出該表達式的范圍即為