點和直線-畫法幾何基礎.ppt

第1章點和直線 第1章點和直線 1 1點的投影 1 2兩點的相對位置 1 3直線的投影 1 4線段的實長和對投影面的傾角 1 5點 直線與直線的相對位置 本章小結 投影法及其分類 投影法及其分類 一 投影法的基本知識 P 投射線 投射中心 投影 A S a 投影法的分類 中心投影法和平行投影法 中心投影法 二 中心投影法 投射線都由一點出發(fā)的投影法叫 中心投影法 所得的投影叫中心投影 投射線 物體 投影面 投影 投射中心 S 中心投影法 投射中心 物體 投影面三者之間的相對距離對投影的大小有影響 度量性較差 投影特性 物體位置改變 投影大小也改變 中心投影法立體感強 常用來繪制建筑物 或產品的立體圖 也稱之為透視圖 平行投影法 三 平行投影法 投射線都互相平行的投影法叫平行 投影法 所得的投影叫平行投影 平行投影法 正投影法 斜投影法 平行投影法 投影特性 投影大小與物體和投影面之間的距離無關 度量性較好 工程圖樣多數(shù)采用正投影法繪制 以后將 正投影 簡稱為 投影 投影法小結 投影法 中心投影法 平行投影法 正投影法 斜投影法 畫透視圖 畫斜軸測圖 畫工程圖樣及正軸測圖 1 1點的投影 采用多面投影 過空間點A向投影面P作垂線 交點a 唯一確定 點在一個投影面上的投影不能確定點的空間位置 一 點在一個投影面上的投影 a 1 1點的投影 反之 已知投影b 不能確定空間點B 四個分角 兩個互相垂直的平面將空間劃分為四個分角 第一分角 第二分角 第三分角和第四分角 X V H O 點的三面投影 二 點的三面投影 投影面 正立投影面 簡稱正面或V面 水平投影面 簡稱水平面或H面 側立投影面 簡稱側面或W面 投影軸 OX軸V面與H面的交線 OZ軸V面與W面的交線 OY軸H面與W面的交線 三個投影面互相垂直 點的三面投影 空間點A在三個投影面上的投影 a a a 注意 空間點用大寫字母表示 點的投影用小寫字母表示 點的三面投影 X Y Z O V H W A a a a 組成了一個長方體 投影面的展開 不動 向下翻 向右翻 投影面展開 aYW aYH 投影面的展開 點的投影規(guī)律 a a OZ軸 a a OX軸 Yw Z az a X aYw O a ax aYH a YH 投影面和投影軸上點的投影 投影面上的點 空間點的坐標值有一個為零 原點上的點 0 0 0 投影軸上點 空間點的坐標值有兩個為零 X軸上點 X 0 0 Y軸上點 0 Y 0 Z軸上點 0 0 Z 一般位置點 空間點的三個坐標值X Y Z均不為零 稱該點為一般位置點 特殊位置點 投影面和投影軸上點的投影 X Z O V H M m k n n N n m m k K k YW Z X YH O 投影面和投影軸上點的投影 W Y 例1 已知A點的坐標 20 15 10 B點的坐標 30 10 0 C點的坐標 15 0 0 作出各點的三面投影圖 B點在H面上 C點在X軸上 a a YH Z X YW b b c c c 例2 已知點的兩個投影 求第三投影 通過作45 輔助線使a az aax a b YH Z X YW O 兩點的相對位置指兩點在空間的上下 前后 左右位置關系 1 2兩點的相對位置 上 右 下 左 上 下 后 前 左 前 右 后 一 兩點的相對位置的確定 判斷方法 x坐標大的在左 y坐標大的在前 z坐標大的在上 B點在A點之前 之右 之下 例 如圖 已知點A的三投影 另一點B在點A上方8mm 左方12mm 前方10mm處 求點B的三個投影 a a a YH Z X YW O b b 作圖步驟 1 在a 上方8mm 左方12mm處確定b 2 作b b OX 且在a前方10mm處確定b 3 按投影關系求得b 點A B對H面的投影重合 二 重影點的投影 a b d 點C D對V面的投影重合 重影點 空間兩點在某一投影面上的投影重合為一點時 則稱此兩點為該投影面的重影點 對水平投影面 對正面投影面 對側面投影面 前遮后 上遮下 左遮右 a b 兩點確定一條直線 將兩點的同面投影用直線連接 就得到直線的同面投影 直線對一個投影面的投影特性 一 直線的投影特性 直線 投影面 重合為一點 積聚性 直線 投影面 反映實長 ab AB 直線 投影面 投影長變短 ab AB cos 1 3直線的投影 YH Z X YW O 直線在三個投影面中的投影特性 投影面平行線 投影面垂直線 正平線 V H W 側平線 W H V 水平線 H V W 正垂線 V H W 側垂線 W H V 鉛垂線 H V W 統(tǒng)稱特殊位置直線 取決于直線與三個投影面的相對位置 一般位置直線 H V W 直線與投影面夾角 與H面的夾角 傾角 與W面的夾角 傾角 與V面的夾角 傾角 一般位置直線 H V W 三個投影都傾斜于投影軸 且都小于實長 投影特性 各個投影與投影軸的夾角都不反映直線對投影面的傾角 投影面平行線 水平線 H V W 實長 平行于投影面反映實長 并反映直線與另兩投影面傾角 另兩個投影面上的投影 平行于相應的投影軸 投影特性 側平線 正平線 實長 實長 b a a b a b b a a b b a 例 如圖 已知直線EF為水平線 30 實長為20mm 試完成直線EF的三面投影 本題有幾解 f e e f X O f e YH YW Z 投影面平行線 投影面垂直線 鉛垂線 正垂線 側垂線 另外兩個投影 反映線段實長 且垂直于相應的投影軸 垂直于投影面 投影積聚為一點 投影特性 a b a b 投影面垂直線 特殊位置直線 水平線 O a b a X b 鉛垂線 c cd X d O 一般位置直線 O e e X f f 1 4直線段的實長和對投影面的傾角 一般位置直線的投影 既不能反映該線段的實長 又不能反映對投影面的傾角 本節(jié)介紹用直角三角形法求一般位置直線段的實長及其對投影面的傾角 a a A b B b 一 幾何分析 B1 A1 a 立體圖 b 投影圖 YA YB ZB ZA B 直角三角形法 在直角三角形AB1B中 AB1 ab B1B Bb Aa 特殊位置直線 水平線 O a b a X b 鉛垂線 c cd X d O 一般位置直線 O e e X f f 1 4直線段的實長和對投影面的傾角 一般位置直線的投影 既不能反映該線段的實長 又不能反映對投影面的傾角 本節(jié)介紹用直角三角形法求一般位置直線段的實長及其對投影面的傾角 a a A b B b 一 幾何分析 B1 A1 a 立體圖 b 投影圖 YA YB ZB ZA B 直角三角形法 在直角三角形AB1B中 AB1 ab B1B Bb Aa 二 作圖方法 有兩種作圖方式 1 求直線AB的實長和傾角 B0 AB實長 c b0 AB實長 A0 bB0 b b0 b0A0 ab 2 求直線AB的實長和傾角 AB實長 B0 d a0 A0 AB實長 a A0 aa0 a0B0 a b 三 三個直角三角形的含義 X a b b a Yw O YH b a Z 在直角三角形中 一直角邊為直線在某投影面上的投影長度 另一直角邊為直線兩端點到某投影面的距離差 斜邊為該直線的實長 距離差所對應的角是直線對投影面的傾角 這種利用直角三角形求一般位置直線實長和傾角的方法叫直角三角形法 對應于求 有三個不同的三角形 例1 已知線段AB的實長L和a b 及端點A的水平投影a 求線段AB的水平投影ab a a X b O b2 b1 A0 有兩解 利用 Z和AB L 確定ab的長度 求出b 例1 已知線段AB的實長L和a b 及端點A的水平投影a 求線段AB的水平投影ab a a X b O b2 b0 b1 A0 利用a b 和AB L 確定A B兩點的Y坐標差 從而求出b 有兩解 利用e f 和實長 確定E F兩點的Y坐標差 從而求出f 或利用 Z和實長 確定ef的長度 求出f 例2 已知線段EF的投影e f 及e 實長35mm 完成它的投影 X O YH YW f e e f e Z f 點在直線上 則點的投影必在直線的同面投影上 點分割線段成定比 即 AC CB ac cb a c c b a c c b 定比定理 1 5點 直線與直線的相對位置 一 直線上的點 H c V W 例1 判斷點C是否在線段AB上 在 不在 c 不在 利用定比定理 a b ac cb a c c b 例2 已知點K在線段AB上 求點K正面投影 解法一 利用第三投影 解法二 利用定比定理 a a b b k a b a a b b k 例3 如圖 已知線段AB的投影 ab a b 試在線段AB上取一點C 使AC之長等于給定長度L 求點C的投影 c和c a b X a b O B0 C0 c c 1 先用直角三角形法求出線段AB的實長aB0 作圖步驟 2 在aB0上自a點起截取長度為L得C0點 3 自C0點作bB0的平行線 與ab交于點c 4 自c點引投影連線 與a b 交于c 點 c和c 即為所求 L 分析 ac cb a c c b 1 2 可用比例作圖法作圖 作圖步驟 1 過a 或b 任作一直線aB1 或bB1 2 在aB1上取C1 使aC1 C1B1 1 2 3 連接B1 b 4 過C1作C1c B1b 與ab交于c 5 過c作X軸的垂線與a b 交于c 則c c 即所求分點C的投影 例3 在AB線段上取一點C 使AC CB 1 2 求點C的投影 例2 已知直線EF及點K的二投影 是判斷點K是否在直線EF線上 作圖步驟 1 在H投影上 過f 或e 任作一條直線fE1 2 在fE1上取fK1 f k K1E1 k e 3 連接E1e 過K1作直線平行于E1e 與fe交于k1 因已知投影k與k1不重合 所以點K不在直線EF上 二 兩直線的相對位置 平行 相交 交叉 異面 兩直線平行 空間兩直線平行 則其三面投影必相互平行 反之亦然 ab cd a b c d a b c d AB CD 兩直線相交 若空間兩直線相交 則其三面投影必相交 且交點的投影符合點的投影特性 交點是兩直線的共有點 V X H k k K O d k k d 例1 過C點作水平線CD與AB相交 先作正面投影 c d a b c d 例2 判斷直線AB CD的相對位置 相交嗎 不相交 為什么 交點不符合點的投影特性 判斷方法 應用定比定理 利用側面投影 b a 兩直線交叉 不相交 交點不符合點的投影規(guī)律 1 2 投影特性 同面投影可能相交 但 交點 不符合點的投影規(guī)律 交點 是兩直線上的一對重影點的投影 3 4 1 2 例 判斷圖中兩條直線是否平行 對于一般位置直線 只要有兩組同面投影互相平行 空間兩直線就平行 AB與CD平行 AB與CD不平行 對于特殊位置直線 只有兩組同面投影互相平行 空間直線不一定平行 三 垂直兩直線的投影 直角投影定理 若直角的兩邊同時平行于某個投影面 則此直角在該投影面上的投影仍為直角 1 垂直相交兩直線 AB H面 c AB BC 且AB H 則有ab bc 三 垂直兩直線的投影 直角投影定理 直角投影定理 當相交兩直線互相垂直 即成直角 且其中一條直線平行于某投影面 則兩直線在該投影面上的投影仍互相垂直 相交兩直線在某一投影面上的投影互相垂直 即成直角 且其中有一條直線平行于該投影面 則這兩直線在空間必互相垂直 注 該定理也適合空間垂直交叉兩直線 逆定理 直角投影定理 一 垂直相交的兩直線的投影定理一垂直相交的兩直線 其中有一條直線平行于投影面時 則兩直線在該投影面上的投影仍反映直角 定理二相交兩直線在同一投影面上的投影反映直角 且有一條直線平行于該投影面 則空間兩直線的夾角必是直角 二 交叉垂直的兩直線的投影定理三相互垂直的兩直線 其中有一條直線平行于投影面時 則兩直線在該投影面上的投影仍反映直角 定理四兩直線在同一投影面上的投影反映直角 且有一條直線平行于該投影面 則空間兩直線的夾角必是直角 二 交叉垂直的兩直線的投影 AB MN 且AB H 則有ab mn c X O a b a c d d 例1 判斷兩直線是否垂直 X O b a a a b b b a a a b b b c c c d c d c c 相交垂直 相交垂直 交叉垂直 交叉垂直 a b b c AB V ab bcAB H ab bcAB H a b b c AB V O 例2 試求A點至水平線BC的距離 k k 相交垂直 AK BCBC H c a b a c X b ZAK ak bc 分析 1 作投影2 求實長 例 過點A作線段EF的垂線AB 并使AB平行于V面 b b a a f e e f X O 分析 AB EF AB V則有a b e f AB V則有ab OX 例 過點E作線段AB CD的公垂線EF c b b a c d d f e e f X O a c X O ab b a c d d 例 求AB CD兩直線的公垂線EF f e e f 分析 1 AB是鉛垂線 水平投影具有積聚性 又EF AB 所以EF H 2 EF CD EF H 則有ef cd 例 已知菱形ABCD的一條對角線AC為一正平線 菱形的一邊AB位于直線AM上 求該菱形的投影 X O a c m c b a k m d k b d 分析 AC BD AC V 則有a c b d 小結 A B D C AB CDAD BC 菱形 正方形 等腰三角形 C A B A B D C M AB CDAD BC 例題10 作三角形ABC ABC為直角 使BC在MN上 且BC AB 2 3 習P5 3 在EF上求一點P 使P點與H V面的距離之比為3 2 p f e e f X O f e p p YH YW 習P8 3 以正平線AC為對角線作一正方形ABCD B點距離V面為45mm a a X O c b d b c d k k b BK AK a k