高中數(shù)學(xué)人教A版選修44學(xué)案：第1講2 極坐標(biāo)系 Word版含解析

二極坐標(biāo)系1理解極坐標(biāo)系的概念2能在極坐標(biāo)系中用極坐標(biāo)刻畫(huà)點(diǎn)的位置，體會(huì)在極坐標(biāo)系和平面直角坐標(biāo)系中刻畫(huà)點(diǎn)的位置的區(qū)別(難點(diǎn))3掌握極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化關(guān)系式，能進(jìn)行極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化(重點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn))基礎(chǔ)·初探教材整理1極坐標(biāo)系閱讀教材P8P10，完成下列問(wèn)題1極坐標(biāo)系的概念(1)極坐標(biāo)系的建立：在平面內(nèi)取一個(gè)定點(diǎn)O，叫做極點(diǎn)；自極點(diǎn)O引一條射線Ox，叫做極軸；再選定一個(gè)長(zhǎng)度單位、一個(gè)角度單位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆時(shí)針?lè)较?，這樣就建立了一個(gè)極坐標(biāo)系(2)極坐標(biāo)：設(shè)M是平面內(nèi)一點(diǎn)，極點(diǎn)O與點(diǎn)M的距離|OM|叫做點(diǎn)M的極徑，記為；以極軸Ox為始邊，射線OM為終邊的角xOM叫做點(diǎn)M的極角，記為.有序數(shù)對(duì)(，)叫做點(diǎn)M的極坐標(biāo)，記為M(，)一般地，不作特殊說(shuō)明時(shí)，我們認(rèn)為0，可取任意實(shí)數(shù)2點(diǎn)與極坐標(biāo)的關(guān)系一般地，極坐標(biāo)(，)與(，2k)(kZ)表示同一個(gè)點(diǎn)特別地，極點(diǎn)O的坐標(biāo)為(0，)(R)如果規(guī)定>0，0<2，那么除極點(diǎn)外，平面內(nèi)的點(diǎn)可用惟一的極坐標(biāo)(，)表示；同時(shí)，極坐標(biāo)(，)表示的點(diǎn)也是惟一確定的在極坐標(biāo)系中，12，且12是兩點(diǎn)M(1，1)和N(2，2)重合的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件【解析】前者顯然能推出后者，但后者不一定推出前者，因?yàn)?與2可相差2的整數(shù)倍【答案】A教材整理2極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化閱讀教材P11，完成下列問(wèn)題1互化背景：把直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)作為極點(diǎn)，x軸的正半軸作為極軸，并在兩種坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位，如圖1­2­1所示圖1­2­12互化公式：設(shè)M是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，它的直角坐標(biāo)是(x，y)，極坐標(biāo)是(，)，于是極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式如表：點(diǎn)M直角坐標(biāo)(x，y)極坐標(biāo)(，)互化公式2x2y2，tan (x0)將點(diǎn)M的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)是()A(5,5)B(5，5)C(5,5)D(5，5)【解析】xcos 10 cos5，ysin 10sin5.【答案】A質(zhì)疑·手記預(yù)習(xí)完成后，請(qǐng)將你的疑問(wèn)記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問(wèn)1： 解惑： 疑問(wèn)2： 解惑： 疑問(wèn)3： 解惑： 小組合作型將點(diǎn)的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)寫(xiě)出下列各點(diǎn)的直角坐標(biāo)，并判斷所表示的點(diǎn)在第幾象限(1)；(2)；(3)；(4)(2，2)【思路探究】點(diǎn)的極坐標(biāo)(，)點(diǎn)的直角坐標(biāo)(x，y)判定點(diǎn)所在象限【自主解答】(1)由題意知x2cos2×1，y2sin2×，點(diǎn)的直角坐標(biāo)為，是第三象限內(nèi)的點(diǎn)(2)x2cos 1，y2sin ，點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(1，)，是第二象限內(nèi)的點(diǎn)(3)x2cos1，y2sin，點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(1，)，是第四象限內(nèi)的點(diǎn)(4)x2cos (2)2cos 2，y2sin(2)2sin 2，點(diǎn)(2，2)的直角坐標(biāo)為(2cos 2，2sin 2)，是第三象限內(nèi)的點(diǎn)1點(diǎn)的極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式的三個(gè)前提條件：(1)極點(diǎn)與直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合；(2)極軸與直角坐標(biāo)系的x軸的正半軸重合；(3)兩種坐標(biāo)系的長(zhǎng)度單位相同2將點(diǎn)的極坐標(biāo)(，)化為點(diǎn)的直角坐標(biāo)(x，y)時(shí)，運(yùn)用到求角的正弦值和余弦值，熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值，靈活運(yùn)用三角恒等變換公式是關(guān)鍵再練一題1分別把下列點(diǎn)的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)：(1)；(2)；(3)(，)【解】(1)xcos 2cos，ysin 2sin1，點(diǎn)的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)為(，1)(2)xcos 3cos0，ysin 3sin3，點(diǎn)的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)為(0,3)(3)xcos cos ，ysin sin 0，點(diǎn)的極坐標(biāo)(，)化為直角坐標(biāo)為(，0)將點(diǎn)的直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)分別把下列點(diǎn)的直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)(限定0,0<2)：(1)(2,2)；(2)(，)；(3).【思路探究】利用公式2x2y2，tan (x0)，但求角時(shí)，要注意點(diǎn)所在的象限【自主解答】(1)4，tan ，0,2)，由于點(diǎn)(2,2)在第二象限，點(diǎn)的直角坐標(biāo)(2,2)化為極坐標(biāo)為.(2)2，tan ，0,2)，由于點(diǎn)(，)在第四象限，點(diǎn)的直角坐標(biāo)(，)化為極坐標(biāo)為.(3)，tan 1，0,2)，由于點(diǎn)在第一象限，點(diǎn)的直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)為.1將直角坐標(biāo)(x，y)化為極坐標(biāo)(，)，主要利用公式2x2y2，tan (x0)進(jìn)行求解，先求極徑，再求極角2在0,2)范圍內(nèi)，由tan (x0)求時(shí)，要根據(jù)直角坐標(biāo)的符號(hào)特征判斷出點(diǎn)所在的象限如果允許R，再根據(jù)終邊相同的角的意義，表示為2k(kZ)即可再練一題2已知下列各點(diǎn)的直角坐標(biāo)，求它們的極坐標(biāo)：(1)A(3，)；(2)B(2，2); (3)C(0，2)；(4)D(3,0)【解】(1)由題意可知：2，tan ，所以，所以點(diǎn)A的極坐標(biāo)為.(2)4，tan ，又由于為第三象限角，故，所以B點(diǎn)的極坐標(biāo)為.(3)2，為，在y軸負(fù)半軸上，所以C點(diǎn)的極坐標(biāo)為.(4)3，tan 0，故0，所以D點(diǎn)的極坐標(biāo)為(3,0)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的綜合應(yīng)用在極坐標(biāo)系中，如果A，B為等邊三角形ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)，求頂點(diǎn)C的極坐標(biāo)(>0,0<2)【思路探究】解答本題可以先利用極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)，再根據(jù)等邊三角形的定義建立方程組求解點(diǎn)C的直角坐標(biāo)，進(jìn)而求出點(diǎn)C的極坐標(biāo)【自主解答】對(duì)于點(diǎn)A有2，x2cos，y2sin，則A(，)對(duì)于B有2，x2cos，y2sin，B(，)設(shè)C點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，y)，由于ABC為等邊三角形，故|AB|BC|AC|4，有解之得或C點(diǎn)的坐標(biāo)為(，)或(，)，2，tan 1，或.故點(diǎn)C的極坐標(biāo)為或.1本例綜合考查了點(diǎn)的極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式以及等邊三角形的意義和性質(zhì)結(jié)合幾何圖形可知，點(diǎn)C的坐標(biāo)有兩解，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)尋求等量關(guān)系建立方程組求解是關(guān)鍵2若設(shè)出C(，)，利用余弦定理亦可求解再練一題3本例中，如果點(diǎn)的極坐標(biāo)仍為A，B，且ABC為等腰直角三角形，如何求直角頂點(diǎn)C的極坐標(biāo)？【解】對(duì)于點(diǎn)A，直角坐標(biāo)為(，)，點(diǎn)B的直角坐標(biāo)為(，)，設(shè)點(diǎn)C的直角坐標(biāo)為(x，y)，由題意得ACBC，且|AC|BC|，·0，即(x，y)·(x，y)0，x2y24.又|A|2|B|2，于是(x)2(y)2(x)2(y)2，yx，代入，得x22，解得x±，或點(diǎn)C的直角坐標(biāo)為(，)或(，)，2，tan 1，或，點(diǎn)C的極坐標(biāo)為或.探究共研型極坐標(biāo)探究1如圖1­2­2是某校園的平面示意圖假設(shè)某同學(xué)在教學(xué)樓處，請(qǐng)回答下列問(wèn)題：他向東偏北60°方向走120 m后到達(dá)什么位置？該位置惟一確定嗎？如果有人打聽(tīng)體育館和辦公樓的位置，他應(yīng)如何描述？圖1­2­2【提示】以A為基點(diǎn)，射線AB為參照方向，利用與A的距離、與AB所成的角，就可以刻畫(huà)平面上點(diǎn)的位置到達(dá)圖書(shū)館，該位置惟一確定；體育館在正東方向60 m處，辦公樓在西北方向50 m處探究2在極坐標(biāo)系中，表示的點(diǎn)有什么關(guān)系？你能從中體會(huì)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)在刻畫(huà)點(diǎn)的位置時(shí)的區(qū)別嗎？【提示】由終邊相同的角的定義可知，上述極坐標(biāo)表示同一個(gè)點(diǎn)實(shí)際上，(kZ)都表示這個(gè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)A，直線l為過(guò)極點(diǎn)且垂直于極軸的直線，分別求點(diǎn)A關(guān)于極軸，直線l，極點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的極坐標(biāo)(限定>0，<)【思路探究】欲寫(xiě)出點(diǎn)的極坐標(biāo)，首先應(yīng)確定和的值 【自主解答】如圖所示，關(guān)于極軸的對(duì)稱點(diǎn)為B2，關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為C，關(guān)于極點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)為D.四個(gè)點(diǎn)A，B，C，D都在以極點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓上1點(diǎn)的極坐標(biāo)不是惟一的，但若限制>0,0<2，則除極點(diǎn)外，點(diǎn)的極坐標(biāo)是惟一確定的2寫(xiě)點(diǎn)的極坐標(biāo)要注意順序：極徑在前，極角在后，不能顛倒順序再練一題4在極坐標(biāo)系中與點(diǎn)A關(guān)于極軸所在的直線對(duì)稱的點(diǎn)的極坐標(biāo)是()A.B.C. D.【解析】與點(diǎn)A關(guān)于極軸所在的直線對(duì)稱的點(diǎn)的極坐標(biāo)可以表示為(kZ)【答案】B構(gòu)建·體系極坐標(biāo)系1極坐標(biāo)系中，點(diǎn)M(1,0)關(guān)于極點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為()A(1,0)B(1，)C(1，)D(1,2)【解析】(，)關(guān)于極點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為(，)，M(1,0)關(guān)于極點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為(1，)【答案】C2點(diǎn)A的極坐標(biāo)是，則點(diǎn)A的直角坐標(biāo)為()A(1，)B(，1)C(，1)D(，1)【解析】xcos 2cos，ysin 2sin1.【答案】C3點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為，則點(diǎn)M的極坐標(biāo)可以為()A. B.C. D.【解析】，且，M的極坐標(biāo)為.【答案】C4將極軸Ox繞極點(diǎn)順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到射線OP，在OP上取點(diǎn)M，使|OM|2，則>0，0,2)時(shí)點(diǎn)M的極坐標(biāo)為_(kāi)，它關(guān)于極軸的對(duì)稱點(diǎn)的極坐標(biāo)為_(kāi)(>0，0,2). 【解析】|OM|2，與OP終邊相同的角為2k(kZ)0,2)，k1，M，M關(guān)于極軸的對(duì)稱點(diǎn)為.【答案】5在極軸上求與點(diǎn)A距離為5的點(diǎn)M的坐標(biāo)【解】設(shè)M(r,0)，A， 5，即r28r70，解得r1或r7，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,0)或(7,0)我還有這些不足：(1) (2) 我的課下提升方案：(1) (2) 學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng)(二)(建議用時(shí)：45分鐘)學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)一、選擇題1下列各點(diǎn)中與不表示極坐標(biāo)系中同一個(gè)點(diǎn)的是()A.B.C. D.【解析】與極坐標(biāo)相同的點(diǎn)可以表示為(kZ)，只有不適合【答案】C2將點(diǎn)的極坐標(biāo)(，2)化為直角坐標(biāo)為()A(，0)B(，2)C(，0)D(2，0)【解析】xcos(2)，ysin(2)0，所以點(diǎn)的極坐標(biāo)(，2)化為直角坐標(biāo)為(，0)【答案】A3若120，12，則點(diǎn)M1(1，1)與點(diǎn)M2(2，2)的位置關(guān)系是()A關(guān)于極軸所在直線對(duì)稱B關(guān)于極點(diǎn)對(duì)稱C關(guān)于過(guò)極點(diǎn)垂直于極軸的直線對(duì)稱D兩點(diǎn)重合【解析】因?yàn)辄c(diǎn)(，)關(guān)于極軸所在直線對(duì)稱的點(diǎn)為(，)由此可知點(diǎn)(1，1)和(2，2)滿足120，12，是關(guān)于極軸所在直線對(duì)稱【答案】A4在極坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)P1、P2，則|P1P2|等于()A9B10 C14D2【解析】P1OP2，P1OP2為直角三角形，由勾股定理可得|P1P2|10.【答案】B5在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(1，)若以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，則點(diǎn)P的極坐標(biāo)可以是() A. B.C. D.【解析】極徑2，極角滿足tan ，點(diǎn)(1，)在第四象限，.【答案】A二、填空題6平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)P經(jīng)過(guò)伸縮變換后的點(diǎn)為Q，則極坐標(biāo)系中，極坐標(biāo)為Q的點(diǎn)到極軸所在直線的距離等于_【解析】點(diǎn)P經(jīng)過(guò)伸縮變換后的點(diǎn)為Q，則極坐標(biāo)系中，極坐標(biāo)為Q的點(diǎn)到極軸所在直線的距離等于63.【答案】37已知點(diǎn)P在第三象限角的平分線上，且到橫軸的距離為2，則當(dāng)>0，0,2)時(shí)，點(diǎn)P的極坐標(biāo)為_(kāi)【解析】點(diǎn)P(x，y)在第三象限角的平分線上，且到橫軸的距離為2，x2，且y2，2，又tan 1，且0,2)，.因此點(diǎn)P的極坐標(biāo)為.【答案】8極坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的極坐標(biāo)是，則(1)點(diǎn)A關(guān)于極軸的對(duì)稱點(diǎn)的極坐標(biāo)是_；(2)點(diǎn)A關(guān)于極點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的極坐標(biāo)是_；(3)點(diǎn)A關(guān)于過(guò)極點(diǎn)且垂直于極軸的直線的對(duì)稱點(diǎn)的極坐標(biāo)是_(本題中規(guī)定>0，0,2)【解析】點(diǎn)A關(guān)于極軸的對(duì)稱點(diǎn)的極坐標(biāo)為；點(diǎn)A關(guān)于極點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的極坐標(biāo)為；點(diǎn)A關(guān)于過(guò)極點(diǎn)且垂直于極軸的直線的對(duì)稱點(diǎn)的極坐標(biāo)為.【答案】(1)(2)(3)三、解答題9(1)已知點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為A，B，C，D，求它們的直角坐標(biāo)(2)已知點(diǎn)的直角坐標(biāo)分別為A(3，)，B，C(2，2)，求它們的極坐標(biāo)(0,0<2)【解】(1)根據(jù)xcos ，ysin ，得A，B(1，)，C，D(0，4)(2)根據(jù)2x2y2，tan 得A，B，C.10在極坐標(biāo)系中，已知ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為A，B(2，)，C.(1)判斷ABC的形狀；(2)求ABC的面積【解】(1)如圖所示，由A，B(2，)，C，得|OA|OB|OC|2，AOBBOCAOC，AOBBOCAOC，ABBCCA，故ABC為等邊三角形(2)由上述可知，AC2OAsin2×2×2.SABC×(2)23.能力提升1已知極坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)P，則P關(guān)于極點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)分別為 ()A.，(1，)B.，(1，)C.，(1，)D.，(1，)【解析】點(diǎn)P關(guān)于極點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，即，且x2cos2cos1，y2sin2sin.【答案】D2已知極坐標(biāo)系中，極點(diǎn)為O,02，M，在直線OM上與點(diǎn)M的距離為4的點(diǎn)的極坐標(biāo)為_(kāi)【解析】如圖所示，|OM|3，xOM，在直線OM上取點(diǎn)P、Q，使|OP|7，|OQ|1，xOP，xOQ，顯然有|PM|OP|OM|734，|QM|OM|OQ|314.【答案】或3直線l過(guò)點(diǎn)A，B，則直線l與極軸夾角等于_【解析】如圖所示，先在圖形中找到直線l與極軸夾角(要注意夾角是個(gè)銳角)，然后根據(jù)點(diǎn)A，B的位置分析夾角大小因?yàn)閨AO|BO|3，AOB，所以O(shè)AB，所以ACO.【答案】4某大學(xué)校園的部分平面示意圖如圖1­2­3：用點(diǎn)O，A，B，C，D，E，F(xiàn)，G分別表示校門(mén)，器材室，操場(chǎng)，公寓，教學(xué)樓，圖書(shū)館，車(chē)庫(kù)，花園，其中|AB|BC|，|OC|600 m建立適當(dāng)?shù)臉O坐標(biāo)系，寫(xiě)出除點(diǎn)B外各點(diǎn)的極坐標(biāo)(限定0,0<2且極點(diǎn)為(0,0)圖1­2­3【解】以點(diǎn)O為極點(diǎn)，OA所在的射線為極軸Ox(單位長(zhǎng)度為1 m)，建立極坐標(biāo)系，由|OC|600 m，AOC，OAC，得|AC|300 m，|OA|300 m，又|AB|BC|，所以|AB|150 m.同理，得|OE|2|OG|300 m，所以各點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為O(0,0)，A(300，0)，C，D，E，F(xiàn)(300，)，G.最新精品資料