高三數(shù)學(xué)北師大版文一輪課后限時集訓(xùn)：44 垂直關(guān)系 Word版含解析

垂直關(guān)系建議用時：45分鐘一、選擇題1設(shè)m，n是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，則下列說法正確的是()A若mn，n，則mB若m，則mC若m，n，n，則mD若mn，n，則mCA中，由mn，n可得m或m與相交或m，錯誤；B中，由m，可得m或m與相交或m，錯誤；C中，由m，n可得mn，又n，所以m，正確；D中，由mn，n，可得m或m與相交或m，錯誤2在下列四個正方體中，能得出ABCD的是()AA選項中，因為CD平面AMB，所以CDAB；B選項中，AB與CD成60°角； C選項中，AB與CD成45°角；D選項中，AB與CD夾角的正切值為.3(2019·東北三省三校聯(lián)考)在四棱錐P­ABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD是正方形，且PAAB2，則直線PB與平面PAC所成角為()A.B.C.D.A連接BD，交AC于點O.因為PA平面ABCD，底面ABCD是正方形，所以BDAC，BDPA.又因為PAACA，所以BD平面PAC，故BO平面PAC.連接OP，則BPO即為直線PB與平面PAC所成角又因為PAAB2，所以PB2，BO.所以sinBPO，所以BPO.故選A.4(2017·全國卷)在正方體ABCD­A1B1C1D1中，E為棱CD的中點，則()AA1EDC1BA1EBDCA1EBC1 DA1EACC如圖A1E在平面ABCD上的投影為AE，而AE不與AC，BD垂直，B，D錯；A1E在平面BCC1B1上的投影為B1C，且B1CBC1，A1EBC1，故C正確；(證明：由條件易知，BC1B1C，BC1CE，又CEB1CC，BC1平面CEA1B1.又A1E平面CEA1B1，A1EBC1)A1E在平面DCC1D1上的投影為D1E，而D1E不與DC1垂直，故A錯5如圖所示，在四邊形ABCD中，ADBC，ADAB，BCD45°，BAD90°.將ADB沿BD折起，使平面ABD平面BCD，構(gòu)成三棱錐A­BCD，則在三棱錐A­BCD中，下列結(jié)論正確的是()A平面ABD平面ABCB平面ADC平面BDCC平面ABC平面BDCD平面ADC平面ABCD在四邊形ABCD中，ADBC，ADAB，BCD45°，BAD90°，BDCD.又平面ABD平面BCD，且平面ABD平面BCDBD，故CD平面ABD，則CDAB.又ADAB，ADCDD，AD平面ADC，CD平面ADC，故AB平面ADC.又AB平面ABC，平面ADC平面ABC.二、填空題6如圖，在長方體ABCD­A1B1C1D1中，ABBC2，若該長方體的體積為8，則直線AC1與平面BB1C1C所成的角為_30°連接BC1(圖略)，由AB平面BB1C1C知AC1B就是直線AC1與平面BB1C1C所成的角由2×2×AA18得AA12，BC12，在RtAC1B中，tanAC1B，AC1B30°.7在正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，AA12AB2，則點A1到平面AB1D1的距離是_如圖，AB1D1中，AB1AD1，B1D1，AB1D1的邊B1D1上的高為，SAB1D1××，設(shè)A1到平面AB1D1的距離為h；則有SAB1D1×hSA1B1D1×AA1，即h×2，解得h.8(2016·全國卷)，是兩個平面，m，n是兩條直線，有下列四個命題：如果mn，m，n，那么.如果m，n，那么mn.如果，m，那么m.如果mn，那么m與所成的角和n與所成的角相等其中正確的命題有_(填寫所有正確命題的編號)對于，可以平行，可以相交也可以不垂直，故錯誤對于，由線面平行的性質(zhì)定理知存在直線l，nl，又m，所以ml，所以mn，故正確對于，因為，所以，沒有公共點又m，所以m，沒有公共點，由線面平行的定義可知m，故正確對于，因為mn，所以m與所成的角和n與所成的角相等因為，所以n與所成的角和n與所成的角相等，所以m與所成的角和n與所成的角相等，故正確三、解答題9(2018·北京高考)如圖，在四棱錐P­ABCD中，底面ABCD為矩形，平面PAD平面ABCD，PAPD，PAPD，E，F(xiàn)分別為AD，PB的中點(1)求證：PEBC；(2)求證：平面PAB平面PCD；(3)求證：EF平面PCD.證明(1)因為PAPD，E為AD的中點，所以PEAD.因為底面ABCD為矩形，所以BCAD.所以PEBC.(2)因為底面ABCD為矩形，所以ABAD.又因為平面PAD平面ABCD，所以AB平面PAD.所以ABPD.又因為PAPD，所以PD平面PAB.因為PD平面PCD，所以平面PAB平面PCD.(3)取PC中點G，連接FG，DG.因為F，G分別為PB，PC的中點，所以FGBC，F(xiàn)GBC.因為四邊形ABCD為矩形，且E為AD的中點，所以DEBC，DEBC.所以DEFG，DEFG.所以四邊形DEFG為平行四邊形，所以EFDG.又因為EF平面PCD，DG平面PCD，所以EF平面PCD.10(2019·太原模擬)如圖，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，D是BC上的一點，ABAC，且ADBC.(1)求證：A1C平面AB1D；(2)若ABBCAA12，求點A1到平面AB1D的距離解(1)證明：如圖，連接BA1，交AB1于點E，再連接DE，據(jù)直棱柱性質(zhì)知，四邊形ABB1A1為平行四邊形，E為AB1的中點，ABAC，ADBC，D是BC的中點，DEA1C，又DE平面AB1D，A1C平面AB1D，A1C平面AB1D.(2)如圖，在平面BCC1B1中，過點B作BFB1D，垂足為F，D是BC中點，點C到平面AB1D與點B到平面AB1D距離相等，A1C平面AB1D，點A1到平面AB1D的距離等于點C到平面AB1D的距離，BF長為所求，在RtB1BD中，BD1，BB12，B1D，BF，點A1到平面AB1D的距離為.1如圖，在斜三棱柱ABC­A1B1C1中，BAC90°，BC1AC，則C1在底面ABC上的射影H必在()A直線AB上B直線BC上C直線AC上DABC內(nèi)部A連接AC1(圖略)，由ACAB，ACBC1，ABBC1B，得AC平面ABC1.AC平面ABC，平面ABC1平面ABC.C1在平面ABC上的射影H必在兩平面的交線AB上2(2019·唐山模擬)如圖，在以下四個正方體中，直線AB與平面CDE垂直的是()ABCDB對于，易證AB與CE所成角為45°，則直線AB與平面CDE不垂直；對于，易證ABCE，ABED，且CEEDE，則AB平面CDE；對于，易證AB與CE所成角為60°，則直線AB與平面CDE不垂直；對于，易證ED平面ABC，則EDAB，同理ECAB，可得AB平面CDE.故選B.3如圖，PA圓O所在的平面，AB是圓O的直徑，C是O上的一點，E，F(xiàn)分別是點A在PB，PC上的射影，給出下列結(jié)論：AFPB；EFPB；AFBC；AE平面PBC.其中正確結(jié)論的序號是_由BCAC，BCPA可得BC平面PAC，又AF平面PAC，所以AFBC，又AFPC，則AF平面PBC，從而AFPB，AFBC，故正確；由PBAF，PBAE可得PB平面AEF，從而PBEF，故正確；若AE平面PBC，則由AF平面PBC知AEAF與已知矛盾，故錯誤4(2019·西寧模擬)已知三棱柱ABC­A1B1C1，A1在底面ABC上的射影恰為AC的中點D，BCA90°，ACBC2，又知BA1AC1.(1)求證：AC1平面A1BC；(2)求點C到平面A1AB的距離解(1)證明：BCA90°得BCAC，因為A1D平面ABC，所以A1DBC，A1DACD，所以BC平面A1ACC1，所以BCAC1.因為BA1AC1，BA1BCB，所以AC1平面A1BC.(2)作DEAB于點E，連接A1E，作DFA1E于點F.因為A1D平面ABC，所以A1DAB，DEAB，DEA1DD，所以AB平面A1DE，又DF平面A1DE，所以ABDF，由DFA1E，A1EABE，所以DF平面A1AB，由(1)及已知得DE，A1D，RtA1DE中，DF，因為D是AC中點，所以C到面A1AB距離.1(2019·衡陽模擬)如圖，在四面體ABCD中，ADBD，截面PQMN是矩形，則下列結(jié)論不一定正確的是()A平面BDC平面ADCBAC平面PQMNC平面ABD平面ADCDAD平面BDCD由PQMN，MN平面ADC，PQ平面ADC，得PQ平面ADC，又PQ平面ABC，平面ABC平面ADCAC，PQAC，同理QMBD，因為PQQM，ACBD，又BDAD，ACADA，BD平面ADC，平面BDC平面ADC，平面ABD平面ADC，A和C選項均正確；由PQAC，得AC平面PQMN，B選項正確不能得到ADDC或ADBC，不能得到AD平面BDC，故選項D不一定正確故選D.2(2019·泉州模擬)如圖，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，底面ABC是邊長為2的正三角形，M，N分別是AB，AA1的中點，且A1MB1N.(1)求證：B1NA1C；(2)求M到平面A1B1C的距離解(1)證明：如圖，連接CM.在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AA1平面ABC，CM平面ABC，所以AA1CM.在ABC中，ACBC，AMBM，所以CMAB.又AA1ABA，所以CM平面ABB1A1.因為B1N平面ABB1A1，所以CMB1N.又A1MB1N，A1MCMM，所以B1N平面A1CM.因為A1C平面A1CM，所以B1NA1C.(2)法一：連接B1M.在矩形ABB1A1中，因為A1MB1N，所以AA1MA1B1N.所以tanAA1MtanA1B1N，即.因為ABC是邊長為2的正三角形，M，N分別是AB，AA1的中點，所以AM1，CM，A1B12.設(shè)AA1x，則A1N.所以，解得x2.從而SA1B1MS正方形ABB1A12，A1CB1C2.在A1CB1中，cosA1CB1，所以sinA1CB1，所以SA1B1CA1C·B1C·sinA1CB1.設(shè)點M到平面A1B1C的距離為d，由V三棱錐M­A1B1CV三棱錐C­A1B1M，得SA1B1C·dSA1B1M·CM，所以d，即點M到平面A1B1C的距離為.法二：在矩形ABB1A1中，因為A1MB1N，所以AA1MA1B1N，所以tanAA1MtanA1B1N，即.因為ABC是邊長為2的正三角形，M，N分別是AB，AA1的中點，所以AM1，CM，A1B12.設(shè)AA1x，則A1N，所以，解得x2.如圖，取A1B1的中點D，連接MD，CD，過M作MOCD于O.在正方形ABB1A1中，易知A1B1MD，由(1)可得CMA1B1，又CMMDM，所以A1B1平面CDM.因為MO平面CDM，所以A1B1MO.又MOCD，A1B1CDD，所以MO平面A1B1C，即線段MO的長就是點M到平面A1B1C的距離由(1)可得CMMD，又MD2，所以由勾股定理，得CD.SCMD·CD·MO·CM·MD，即××MO××2，解得MO，故點M到平面A1B1C的距離為.