2018屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)： 第8章 第4節(jié) 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系

第四節(jié)直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系 考綱傳真1.能根據(jù)給定直線、圓的方程判斷直線與圓的位置關(guān)系；能根據(jù)給定兩個圓的方程判斷兩圓的位置關(guān)系.2.能用直線和圓的方程解決一些簡單的問題.3.初步了解用代數(shù)方法處理幾何問題的思想1判斷直線與圓的位置關(guān)系常用的兩種方法(1)幾何法：利用圓心到直線的距離d和圓半徑r的大小關(guān)系：d<r相交；dr相切；d>r相離(2)代數(shù)法：聯(lián)立直線l與圓C的方程，消去y(或x)，得一元二次方程，計(jì)算判別式b24ac，>0相交，0相切，<0相離2圓與圓的位置關(guān)系設(shè)圓O1：(xa1)2(yb1)2r(r1>0)，圓O2：(xa2)2(yb2)2r(r2>0).1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯誤的打“×”)(1)“k1”是“直線xyk0與圓x2y21相交”的必要不充分條件()(2)如果兩個圓的方程組成的方程組只有一組實(shí)數(shù)解，則兩圓外切()(3)如果兩圓的圓心距小于兩半徑之和，則兩圓相交()(4)若兩圓相交，則兩圓方程相減消去二次項(xiàng)后得到的二元一次方程是公共弦所在直線的方程()解析依據(jù)直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系，只有(4)正確答案(1)×(2)×(3)×(4)2(教材改編)圓(x2)2y24與圓(x2)2(y1)29的位置關(guān)系為()A內(nèi)切B.相交C外切 D.相離B兩圓圓心分別為(2,0)，(2,1)，半徑分別為2和3，圓心距d.32<d<32，兩圓相交3(2017·合肥調(diào)研)直線3x4yb與圓x2y22x2y10相切，則b的值是()A2或12 B.2或12C2或12 D.2或12D由圓x2y22x2y10，知圓心(1,1)，半徑為1，所以1，解得b2或12.4在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線x2y30被圓(x2)2(y1)24截得的弦長為_圓心為(2，1)，半徑r2.圓心到直線的距離d，所以弦長為22.5(2016·全國卷)設(shè)直線yx2a與圓C：x2y22ay20相交于A，B兩點(diǎn)，若|AB|2，則圓C的面積為_4圓C：x2y22ay20化為標(biāo)準(zhǔn)方程是C：x2(ya)2a22，所以圓心C(0，a)，半徑r.|AB|2，點(diǎn)C到直線yx2a即xy2a0的距離d，由勾股定理得22a22，解得a22，所以r2，所以圓C的面積為×224.直線與圓的位置關(guān)系(1)(2017·豫南九校聯(lián)考)直線l：mxy1m0與圓C：x2(y1)25的位置關(guān)系是() 【導(dǎo)學(xué)號：01772298】A相交B.相切C相離 D.不確定(2)已知直線l：xay10(aR)是圓C：x2y24x2y10的對稱軸過點(diǎn)A(4，a)作圓C的一條切線，切點(diǎn)為B，則|AB|()A2 B.4C6 D.2(1)A(2)C(1)法一：圓心(0,1)到直線l的距離d<1<.故直線l與圓相交法二：直線l：mxy1m0過定點(diǎn)(1,1)，點(diǎn)(1,1)在圓C：x2(y1)25的內(nèi)部，直線l與圓C相交(2)由圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x2)2(y1)24.圓心為C(2,1)，半徑r2，由于直線xay10是圓C：x2y24x2y10的對稱軸，圓心C(2,1)在直線xay10上，2a10，a1，A(4，1)于是|AB|2|AC|2r240436，則|AB|6.規(guī)律方法1.(1)利用圓心到直線的距離可判斷直線與圓的位置關(guān)系，也可利用直線的方程與圓的方程聯(lián)立后得到的一元二次方程的判別式來判斷直線與圓的位置關(guān)系；(2)注意靈活運(yùn)用圓的幾何性質(zhì)，聯(lián)系圓的幾何特征，數(shù)形結(jié)合，簡化運(yùn)算如“切線與過切點(diǎn)的半徑垂直”等2與弦長有關(guān)的問題常用幾何法，即利用弦心距、半徑和弦長的一半構(gòu)成直角三角形進(jìn)行求解變式訓(xùn)練1(1)(2017·山西忻州模擬)過點(diǎn)(3,1)作圓(x1)2y2r2的切線有且只有一條，則該切線的方程為()A2xy50B.2xy70Cx2y50 D.x2y70(2)(2016·全國卷)已知直線l：xy60與圓x2y212交于A，B兩點(diǎn)，過A，B分別作l的垂線與x軸交于C，D兩點(diǎn)，則|CD|_.(1)B(2)4(1)依題意知，點(diǎn)(3,1)在圓(x1)2y2r2上，且為切點(diǎn)圓心(1,0)與切點(diǎn)(3,1)連線的斜率為.因此切線的斜率k2.故圓的切線方程為y12(x3)，即2xy70.(2)由圓x2y212知圓心O(0,0)，半徑r2.圓心(0,0)到直線xy60的距離d3，|AB|22.過C作CEBD于E.如圖所示，則|CE|AB|2.直線l的方程為xy60，kAB，則BPD30°，從而BDP60°.|CD|4.圓與圓的位置關(guān)系(2016·山東高考)已知圓M：x2y22ay0(a>0)截直線xy0所得線段的長度是2，則圓M與圓N：(x1)2(y1)21的位置關(guān)系是()A內(nèi)切 B.相交C外切 D.相離B法一：由得兩交點(diǎn)為(0,0)，(a，a)圓M截直線所得線段長度為2，2.又a>0，a2.圓M的方程為x2y24y0，即x2(y2)24，圓心M(0,2)，半徑r12.又圓N：(x1)2(y1)21，圓心N(1,1)，半徑r21，|MN|.r1r21，r1r23,1<|MN|<3，兩圓相交法二：x2y22ay0(a>0)x2(ya)2a2(a>0)，M(0，a)，r1a.圓M截直線xy0所得線段的長度為2，圓心M到直線xy0的距離d，解得a2.以下同法一規(guī)律方法1.圓與圓的位置關(guān)系取決于圓心距與兩個半徑的和與差的大小關(guān)系2若兩圓相交，則兩圓的公共弦所在直線的方程可由兩圓的方程作差消去x2，y2項(xiàng)得到3若兩圓相交，則兩圓的連心線垂直平分公共弦變式訓(xùn)練2若O：x2y25與O1：(xm)2y220(mR)相交于A，B兩點(diǎn)，且兩圓在點(diǎn)A處的切線互相垂直，則線段AB的長度是_4由題意O1與O在A處的切線互相垂直，則兩切線分別過另一圓的圓心，O1AOA.又|OA|，|O1A|2，|OO1|5.又A，B關(guān)于OO1對稱，AB為RtOAO1斜邊上高的2倍又·OA·O1AOO1·AC，得AC2.AB4.直線與圓的綜合問題(2016·江蘇高考改編)如圖8­4­1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知以M為圓心的圓M：x2y212x14y600及其上一點(diǎn)A(2,4)圖8­4­1(1)設(shè)圓N與x軸相切，與圓M外切，且圓心N在直線x6上，求圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)平行于OA的直線l與圓M相交于B，C兩點(diǎn)，且BCOA，求直線l的方程解圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x6)2(y7)225，所以圓心M(6,7)，半徑為5.1分(1)由圓心N在直線x6上，可設(shè)N(6，y0)因?yàn)閳AN與x軸相切，與圓M外切，所以0<y0<7，圓N的半徑為y0，從而7y05y0，解得y01.4分因此，圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x6)2(y1)21.5分(2)因?yàn)橹本€lOA，所以直線l的斜率為2.設(shè)直線l的方程為y2xm，即2xym0，則圓心M到直線l的距離d.8分因?yàn)锽COA2，而MC2d22，所以255，解得m5或m15.故直線l的方程為2xy50或2xy150.12分規(guī)律方法1.(1)設(shè)出圓N的圓心N(6，y0)，由條件圓M與圓N外切，求得圓心與半徑，從而確定圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(2)依據(jù)平行直線，設(shè)出直線l的方程，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式及勾股定理求解2求弦長常用的方法：弦長公式；半弦長、半徑、弦心距構(gòu)成直角三角形，利用勾股定理求解(幾何法)變式訓(xùn)練3(2017·天津南開中學(xué)模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C：x2y24x2ym0與直線xy20相切(1)求圓C的方程；(2)若圓C上有兩點(diǎn)M，N關(guān)于直線x2y0對稱，且|MN|2，求直線MN的方程解(1)將圓C：x2y24x2ym0化為(x2)2(y1)25m.1分圓C：x2y24x2ym0與直線xy20相切，圓心(2,1)到直線xy20的距離d2r，4分圓C的方程為(x2)2(y1)24.5分(2)若圓C上有兩點(diǎn)M，N關(guān)于直線x2y0對稱，則可設(shè)直線MN的方程為2xyc0.7分|MN|2，半徑r2，圓心(2,1)到直線MN的距離為1.則1，c5±.10分直線MN的方程為2xy5±0.12分 思想與方法1直線與圓的位置關(guān)系體現(xiàn)了圓的幾何性質(zhì)和代數(shù)方程的結(jié)合，解題時(shí)要抓住圓的幾何性質(zhì)，重視數(shù)形結(jié)合思想方法的應(yīng)用2計(jì)算直線被圓截得的弦長的常用方法：(1)幾何方法：運(yùn)用弦心距(即圓心到直線的距離)、弦長的一半及半徑構(gòu)成直角三角形計(jì)算(2)代數(shù)方法：弦長公式|AB|xAxB|.易錯與防范1求圓的弦長問題，注意應(yīng)用圓的性質(zhì)解題，即用圓心與弦中點(diǎn)連線與弦垂直的性質(zhì)，可以用勾股定理或斜率之積為“1”列方程來簡化運(yùn)算2過圓上一點(diǎn)作圓的切線有且只有一條；過圓外一點(diǎn)作圓的切線有且只有兩條，若僅求得一條，除了考慮運(yùn)算過程是否正確外，還要考慮斜率不存在的情況，以防漏解