2018屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)： 第6章 第6節(jié) 數(shù)學(xué)歸納法

第六節(jié)數(shù)學(xué)歸納法 考綱傳真1.了解數(shù)學(xué)歸納法的原理.2.能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)命題1數(shù)學(xué)歸納法證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可按下列步驟進(jìn)行：(1)(歸納奠基)證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0(n0N*)時(shí)命題成立；(2)(歸納遞推)假設(shè)nk(kn0，kN*)時(shí)命題成立，證明當(dāng)nk1時(shí)命題也成立只要完成這兩個(gè)步驟，就可以斷定命題對(duì)從n0開始的所有正整數(shù)n都成立2數(shù)學(xué)歸納法的框圖表示1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明問題時(shí)，第一步是驗(yàn)證當(dāng)n1時(shí)結(jié)論成立()(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明問題時(shí)，歸納假設(shè)可以不用()(3)不論是等式還是不等式，用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，由nk到nk1時(shí)，項(xiàng)數(shù)都增加了一項(xiàng)()(4)用數(shù)學(xué)歸納法證明等式“12222n22n31”，驗(yàn)證n1時(shí)，左邊式子應(yīng)為122223.()答案(1)×(2)×(3)×(4)2(2016·銀川九中月考)在應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明凸n邊形的對(duì)角線為n(n3)條時(shí)，第一步檢驗(yàn)n等于()A1B.2C3 D.0C因?yàn)橥筺邊形最小為三角形，所以第一步檢驗(yàn)n等于3，故選C.3已知n為正偶數(shù)，用數(shù)學(xué)歸納法證明12時(shí)，若已假設(shè)nk(k2，且k為偶數(shù))時(shí)命題為真，則還需要用歸納假設(shè)再證()Ank1時(shí)等式成立Bnk2時(shí)等式成立Cn2k2時(shí)等式成立Dn2(k2)時(shí)等式成立Bk為偶數(shù)，則k2為偶數(shù)4(教材改編)已知an滿足an1anan1，nN*，且a12，則a2_，a3_，a4_，猜想an_.345n15用數(shù)學(xué)歸納法證明：“1<n(n>1)”由nk(k>1)不等式成立，推證nk1時(shí)，左邊應(yīng)增加的項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)是_2k當(dāng)nk時(shí)，不等式為1<k.則nk1時(shí)，左邊應(yīng)為1，則左邊增加的項(xiàng)數(shù)為2k112k12k.用數(shù)學(xué)歸納法證明等式設(shè)f(n)1(nN*)求證：f(1)f(2)f(n1)nf(n)1(n2，nN*)證明(1)當(dāng)n2時(shí)，左邊f(xié)(1)1，右邊21，左邊右邊，等式成立.3分(2)假設(shè)nk(k2，kN*)時(shí)，結(jié)論成立，即f(1)f(2)f(k1)kf(k)1，6分那么，當(dāng)nk1時(shí)，f(1)f(2)f(k1)f(k)kf(k)1f(k)(k1)f(k)k(k1)k(k1)f(k1)(k1)(k1)f(k1)1，10分當(dāng)nk1時(shí)結(jié)論仍然成立由(1)(2)可知：f(1)f(2)f(n1)nf(n)1(n2，nN*).12分規(guī)律方法1.用數(shù)學(xué)歸納法證明等式問題，要“先看項(xiàng)”，弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律，等式兩邊各有多少項(xiàng)，初始值n0是多少2由nk時(shí)命題成立，推出nk1時(shí)等式成立，一要找出等式兩邊的變化(差異)，明確變形目標(biāo)；二要充分利用歸納假設(shè)，進(jìn)行合理變形，正確寫出證明過程，不利用歸納假設(shè)的證明，就不是數(shù)學(xué)歸納法變式訓(xùn)練1求證：1(nN*)證明(1)當(dāng)n1時(shí)，左邊1，右邊，左邊右邊.3分(2)假設(shè)nk時(shí)等式成立，即1，6分則當(dāng)nk1時(shí)，.10分即當(dāng)nk1時(shí)，等式也成立綜合(1)(2)可知，對(duì)一切nN*，等式成立.12分用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式用數(shù)學(xué)歸納法證明：對(duì)一切大于1的自然數(shù)n，不等式··>均成立. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：01772233】證明(1)當(dāng)n2時(shí)，左邊1；右邊.左邊>右邊，不等式成立.3分(2)假設(shè)nk(k2，且kN*)時(shí)不等式成立，即··>.6分則當(dāng)nk1時(shí)，··>·>.10分當(dāng)nk1時(shí)，不等式也成立由(1)(2)知，對(duì)于一切大于1的自然數(shù)n，不等式都成立.12分規(guī)律方法1.當(dāng)遇到與正整數(shù)n有關(guān)的不等式證明時(shí)，若用其他方法不容易證明，則可考慮應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法2用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的關(guān)鍵是由nk時(shí)命題成立，再證nk1時(shí)命題也成立，在歸納假設(shè)使用后可運(yùn)用比較法、綜合法、分析法、放縮法等來加以證明，充分應(yīng)用基本不等式、不等式的性質(zhì)等放縮技巧，使問題得以簡(jiǎn)化變式訓(xùn)練2已知數(shù)列an，當(dāng)n2時(shí)，an<1，又a10，aan11a，求證：當(dāng)nN*時(shí)，an1<an.證明(1)當(dāng)n1時(shí)，a2是aa210的負(fù)根，a1>a2.3分(2)假設(shè)當(dāng)nk(kN*)時(shí)，ak1<ak，5分aa(ak2ak1)(ak2ak11)，ak1<ak0，aa>0.8分又ak2ak11<1(1)11，ak2ak1<0，ak2<ak1，即當(dāng)nk1時(shí)，命題成立由(1)(2)可知，當(dāng)nN*時(shí)，an1<an.12分歸納猜想證明已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿足：Sn1，且an>0，nN*.(1)求a1，a2，a3，并猜想an的通項(xiàng)公式；(2)證明通項(xiàng)公式的正確性 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：01772234】解(1)當(dāng)n1時(shí)，由已知得a11，a2a120.a11(a1>0).2分當(dāng)n2時(shí)，由已知得a1a21，將a11代入并整理得a2a220.a2(a2>0)同理可得a3.猜想an(nN*).5分(2)證明：由(1)知，當(dāng)n1,2,3時(shí)，通項(xiàng)公式成立假設(shè)當(dāng)nk(k3，kN*)時(shí)，通項(xiàng)公式成立，即ak.7分由于ak1Sk1Sk，將ak代入上式，整理得a2ak120，ak1，即nk1時(shí)通項(xiàng)公式成立.10分由可知對(duì)所有nN*，an都成立.12分規(guī)律方法1.猜想an的通項(xiàng)公式時(shí)應(yīng)注意兩點(diǎn)：(1)準(zhǔn)確計(jì)算a1，a2，a3發(fā)現(xiàn)規(guī)律(必要時(shí)可多計(jì)算幾項(xiàng))；(2)證明ak1時(shí)，ak1的求解過程與a2，a3的求解過程相似，注意體會(huì)特殊與一般的辯證關(guān)系2“歸納猜想證明”的模式，是不完全歸納法與數(shù)學(xué)歸納法綜合應(yīng)用的解題模式，這種方法在解決探索性問題、存在性問題時(shí)起著重要作用，它的模式是先由合情推理發(fā)現(xiàn)結(jié)論，然后經(jīng)邏輯推理證明結(jié)論的正確性變式訓(xùn)練3(2016·洛陽(yáng)調(diào)研)已知數(shù)列xn滿足x1，xn1，nN*.猜想數(shù)列x2n的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論解由x1及xn1，得x2，x4，x6，由x2>x4>x6猜想：數(shù)列x2n是遞減數(shù)列.3分下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：(1)當(dāng)n1時(shí)，已證命題成立.5分(2)假設(shè)當(dāng)nk(k1，kN*)時(shí)命題成立，即x2k>x2k2，易知xk>0，那么x2k2x2k4>0，9分即x2(k1)>x2(k1)2.也就是說，當(dāng)nk1時(shí)命題也成立結(jié)合(1)(2)知，對(duì)nN*命題成立.12分思想與方法1數(shù)學(xué)歸納法是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，主要用于解決與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題證明時(shí)步驟(1)和(2)缺一不可，步驟(1)是步驟(2)的基礎(chǔ)，步驟(2)是遞推的依據(jù)2在推證nk1時(shí)，可以通過湊、拆、配項(xiàng)等方法用上歸納假設(shè)此時(shí)既要看準(zhǔn)目標(biāo)，又要弄清nk與nk1之間的關(guān)系在推證時(shí)，應(yīng)靈活運(yùn)用分析法、綜合法、反證法等方法易錯(cuò)與防范1第一步驗(yàn)證當(dāng)nn0時(shí)，n0不一定為1，要根據(jù)題目要求選擇合適的起始值2由nk時(shí)命題成立，證明nk1時(shí)命題成立的過程中，一定要用歸納假設(shè)，否則就不是數(shù)學(xué)歸納法3解“歸納猜想證明”題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確計(jì)算出前若干具體項(xiàng)，這是歸納、猜想的基礎(chǔ)否則將會(huì)做大量無用功