2018屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)： 第8章 第7節(jié) 拋物線

第七節(jié)拋物線 考綱傳真1.掌握拋物線的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì)(范圍、對稱性、頂點(diǎn)、離心率).2.理解數(shù)形結(jié)合的思想.3.了解拋物線的實(shí)際背景及拋物線的簡單應(yīng)用1拋物線的概念平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l(l不經(jīng)過點(diǎn)F)距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線2拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡一定是拋物線()(2)方程yax2(a0)表示的曲線是焦點(diǎn)在x軸上的拋物線，且其焦點(diǎn)坐標(biāo)是，準(zhǔn)線方程是x.()(3)拋物線既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形()(4)AB為拋物線y22px(p>0)的過焦點(diǎn)F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2，y1y2p2，弦長|AB|x1x2p.()答案(1)×(2)×(3)×(4)2(教材改編)若拋物線y4x2上的一點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離為1，則點(diǎn)M的縱坐標(biāo)是()A.B.C. D.0BM到準(zhǔn)線的距離等于M到焦點(diǎn)的距離，又準(zhǔn)線方程為y，設(shè)M(x，y)，則y1，y.3拋物線yx2的準(zhǔn)線方程是()Ay1B.y2Cx1 D.x2Ayx2，x24y，準(zhǔn)線方程為y1.4(2017·西安質(zhì)檢)若拋物線y22px(p>0)的準(zhǔn)線經(jīng)過雙曲線x2y21的一個(gè)焦點(diǎn)，則p_.2拋物線的準(zhǔn)線方程為x，p>0，雙曲線的焦點(diǎn)為F1(，0)，F(xiàn)2(，0)，所以，p2.5(2016·浙江高考)若拋物線y24x上的點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離為10，則M到y(tǒng)軸的距離是_9設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為x0，則點(diǎn)M到準(zhǔn)線x1的距離為x01，由拋物線的定義知x0110，x09，點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離為9.拋物線的定義及應(yīng)用(1)(2014·全國卷)已知拋物線C：y2x的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A(x0，y0)是C上一點(diǎn)，|AF|x0，則x0()A1B.2C4 D.8(2)(2017·廣東汕頭調(diào)研)已知P是拋物線y24x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，Q是圓(x3)2(y1)21上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，N(1,0)是一個(gè)定點(diǎn)，則|PQ|PN|的最小值為()A3 B.4C5 D.1(1)A(2)A(1)由y2x，知2p1，即p，因此焦點(diǎn)F，準(zhǔn)線l的方程為x.設(shè)點(diǎn)A(x0，y0)到準(zhǔn)線l的距離為d，則由拋物線的定義可知d|AF|.從而x0x0，解得x01.(2)由拋物線方程y24x，可得拋物線的焦點(diǎn)F(1,0)，又N(1,0)，所以N與F重合過圓(x3)2(y1)21的圓心M作拋物線準(zhǔn)線的垂線MH，交圓于Q，交拋物線于P，則|PQ|PN|的最小值等于|MH|13.規(guī)律方法1.凡涉及拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離時(shí)，一般運(yùn)用定義轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線距離處理如本例充分運(yùn)用拋物線定義實(shí)施轉(zhuǎn)化，使解答簡捷、明快2若P(x0，y0)為拋物線y22px(p>0)上一點(diǎn)，由定義易得|PF|x0；若過焦點(diǎn)的弦AB的端點(diǎn)坐標(biāo)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則弦長為|AB|x1x2p，x1x2可由根與系數(shù)的關(guān)系整體求出變式訓(xùn)練1(2017·鄭州調(diào)研)已知拋物線C：y28x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，P是l上一點(diǎn)，Q是直線PF與C的一個(gè)交點(diǎn)，若4 ，則|QF|()A. B.C3 D.2C4 ，|4|，.如圖，過Q作QQl，垂足為Q，設(shè)l與x軸的交點(diǎn)為A，則|AF|4，|QQ|3.根據(jù)拋物線定義可知|QF|QQ|3.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)(1)點(diǎn)M(5,3)到拋物線yax2的準(zhǔn)線的距離為6，那么拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是() 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：01772323】Ax2yB.x2y或x2yCx2y D.x212y或x236y(2)(2016·全國卷)以拋物線C的頂點(diǎn)為圓心的圓交C于A，B兩點(diǎn)，交C的準(zhǔn)線于D，E兩點(diǎn)已知|AB|4，|DE|2，則C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為()A2 B.4C6 D.8(1)D(2)B(1)將yax2化為x2y.當(dāng)a>0時(shí)，準(zhǔn)線y，則36，a.當(dāng)a<0時(shí)，準(zhǔn)線y，則6，a.拋物線方程為x212y或x236y.(2)設(shè)拋物線的方程為y22px(p0)，圓的方程為x2y2r2.|AB|4，|DE|2，拋物線的準(zhǔn)線方程為x，不妨設(shè)A，D.點(diǎn)A，D在圓x2y2r2上，85，p4(負(fù)值舍去)C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4.規(guī)律方法1.求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法：(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程常用待定系數(shù)法，因?yàn)槲粗獢?shù)只有p，所以只需一個(gè)條件確定p值即可(2)因?yàn)閽佄锞€方程有四種標(biāo)準(zhǔn)形式，因此求拋物線方程時(shí)，需先定位，再定量2由拋物線的方程可以確定拋物線的開口方向、焦點(diǎn)位置、焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離；從而進(jìn)一步確定拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程變式訓(xùn)練2(1)(2017·河南中原名校聯(lián)考)拋物線y22px(p>0)的焦點(diǎn)為F，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，M為拋物線上一點(diǎn)，且|MF|4|OF|，MFO的面積為4，則拋物線的方程為 ()Ay26x B.y28xCy216x D.y2(2)若拋物線y22px的焦點(diǎn)與橢圓1的右焦點(diǎn)重合，則該拋物線的準(zhǔn)線方程為_(1)B(2)x2(1)設(shè)M(x，y)，因?yàn)閨OF|，|MF|4|OF|，所以|MF|2p，由拋物線定義知x2p，所以xp，所以y±p.又MFO的面積為4，所以××p4，解得p4(p4舍去)所以拋物線的方程為y28x.(2)由橢圓1，知a3，b，所以c2a2b24，所以c2.因此橢圓的右焦點(diǎn)為(2,0)，又拋物線y22px的焦點(diǎn)為.依題意，得2，于是拋物線的準(zhǔn)線x2.直線與拋物線的位置關(guān)系角度1直線與拋物線的交點(diǎn)問題(2016·全國卷)在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l：yt(t0)交y軸于點(diǎn)M，交拋物線C：y22px(p>0)于點(diǎn)P，M關(guān)于點(diǎn)P的對稱點(diǎn)為N，連接ON并延長交C于點(diǎn)H.(1)求；(2)除H以外，直線MH與C是否有其他公共點(diǎn)？說明理由 解(1)如圖，由已知得M(0，t)，P.又N為M關(guān)于點(diǎn)P的對稱點(diǎn)，故N，2分故直線ON的方程為yx，將其代入y22px整理得px22t2x0, 解得x10，x2.因此H.所以N為OH的中點(diǎn)，即2.5分(2)直線MH與C除H以外沒有其他公共點(diǎn)理由如下：直線MH的方程為ytx，即x(yt).8分代入y22px得y24ty4t20，解得y1y22t，即直線MH與C只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以除H以外，直線MH與C沒有其他公共點(diǎn).12分規(guī)律方法1.(1)本題求解的關(guān)鍵是求出點(diǎn)N，H的坐標(biāo)(2)第(2)問將直線MH的方程與拋物線C的方程聯(lián)立，根據(jù)方程組的解的個(gè)數(shù)進(jìn)行判斷2(1)判斷直線與圓錐曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)時(shí)，可直接求解相應(yīng)方程組得到交點(diǎn)坐標(biāo)，也可利用消元后的一元二次方程的判別式來確定，需注意利用判別式的前提是二次項(xiàng)系數(shù)不為0.(2)解題時(shí)注意應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系及設(shè)而不求、整體代換的技巧角度2與拋物線弦長或中點(diǎn)有關(guān)的問題(2017·泰安模擬)已知拋物線C：y22px(p>0)的焦點(diǎn)為F，拋物線C與直線l1：yx的一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為8. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：01772324】(1)求拋物線C的方程；(2)不過原點(diǎn)的直線l2與l1的垂直，且與拋物線交于不同的兩點(diǎn)A，B，若線段AB的中點(diǎn)為P，且|OP|PB|，求FAB的面積解(1)易知直線與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)為(8，8)，2分(8)22p×8，2p8，拋物線方程為y28x.5分(2)直線l2與l1垂直，故可設(shè)直線l2：xym，A(x1，y1)，B(x2，y2)，且直線l2與x軸的交點(diǎn)為M.6分由得y28y8m0，6432m>0，m>2.y1y28，y1y28m，x1x2m2.8分由題意可知OAOB，即x1x2y1y2m28m0，m8或m0(舍)，直線l2：xy8，M(8,0).10分故SFABSFMBSFMA·|FM|·|y1y2|324.12分規(guī)律方法1.有關(guān)直線與拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點(diǎn)，若過拋物線的焦點(diǎn)，可直接使用公式|AB|x1x2p，若不過焦點(diǎn)，則必須用一般弦長公式2涉及拋物線的弦長、中點(diǎn)、距離等相關(guān)問題時(shí)，一般利用根與系數(shù)的關(guān)系采用“設(shè)而不求”“整體代入”等方法3涉及弦的中點(diǎn)、斜率時(shí)，一般用“點(diǎn)差法”求解思想與方法1拋物線定義的實(shí)質(zhì)可歸結(jié)為“一動(dòng)三定”：一個(gè)動(dòng)點(diǎn)M，一個(gè)定點(diǎn)F(拋物線的焦點(diǎn))，一條定直線l(拋物線的準(zhǔn)線)，一個(gè)定值1(拋物線的離心率)2拋物線的定義中指明了拋物線上點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到準(zhǔn)線距離的等價(jià)性，故二者可相互轉(zhuǎn)化，這一轉(zhuǎn)化思想在解題中有著重要作用3拋物線的焦點(diǎn)弦：設(shè)過拋物線y22px(p>0)的焦點(diǎn)的直線與拋物線交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，則：(1)y1y2p2，x1x2；(2)若直線AB的傾斜角為，則|AB|x1x2p.易錯(cuò)與防范1認(rèn)真區(qū)分四種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)區(qū)分yax2(a0)與y22px(p>0)，前者不是拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程(2)求標(biāo)準(zhǔn)方程要先確定形式，必要時(shí)要進(jìn)行分類討論，標(biāo)準(zhǔn)方程有時(shí)可設(shè)為y2mx或x2my(m0)2直線與拋物線結(jié)合的問題，不要忘記驗(yàn)證判別式3拋物線的定義中易忽視“定點(diǎn)不在定直線上”這一條件，當(dāng)定點(diǎn)在定直線上時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是過定點(diǎn)且與直線垂直的直線當(dāng)直線與拋物線有一個(gè)公共點(diǎn)，并不表明直線與拋物線相切