2018屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)： 第10章 第1節(jié) 分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理

第十章計(jì)數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量及其分布深研高考·備考導(dǎo)航為教師授課、學(xué)生學(xué)習(xí)提供豐富備考資源五年考情考點(diǎn)2016年2015年2014年2013年2012年計(jì)數(shù)原理、排列組合全國(guó)卷·T5，全國(guó)卷·T12全國(guó)卷·T2二項(xiàng)式定理全國(guó)卷·T14全國(guó)卷·T10全國(guó)卷·T15全國(guó)卷·T13全國(guó)卷·T9全國(guó)卷·T5隨機(jī)事件的概率、古典概型與幾何概型全國(guó)卷·T4全國(guó)卷·T10全國(guó)卷·T5全國(guó)卷·T5全國(guó)卷·T14條件概率、二項(xiàng)分布、離散型隨機(jī)變量的分布列、均值與方差全國(guó)卷·T19全國(guó)卷·T18全國(guó)卷·T4全國(guó)卷·T18全國(guó)卷·T19全國(guó)卷·T19全國(guó)卷·T18重點(diǎn)關(guān)注綜合近5年全國(guó)卷高考試題，我們發(fā)現(xiàn)高考命題在本章呈現(xiàn)以下規(guī)律：1從考查題型看：一般有12個(gè)客觀題，1個(gè)解答題；從考查分值看，占1022分，基礎(chǔ)題主要考查對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法的應(yīng)用意識(shí)，中檔題主要考查轉(zhuǎn)化與化歸思想及運(yùn)算求解能力2從考查知識(shí)點(diǎn)看：主要考查計(jì)數(shù)原理、排列與組合、二項(xiàng)式定理、隨機(jī)事件的概率、古典概型與幾何概型、離散型隨機(jī)變量及其分布列、離散型隨機(jī)變量的均值與方差3從命題思路上看：(1)計(jì)數(shù)原理、排列組合與古典概型相結(jié)合考查(2)幾何概型與線性規(guī)劃、定積分等知識(shí)相結(jié)合考查(3)隨機(jī)事件的概率、離散型隨機(jī)變量及其分布列、離散型隨機(jī)變量的均值與方差和統(tǒng)計(jì)知識(shí)交匯考查(4)相互獨(dú)立事件、二項(xiàng)分布、超幾何分布、正態(tài)分布、實(shí)際問題等其他知識(shí)交匯考查導(dǎo)學(xué)心語(yǔ)1全面系統(tǒng)復(fù)習(xí)，深刻理解知識(shí)本質(zhì)(1)重視計(jì)數(shù)原理、二項(xiàng)式定理的理解，深刻把握排列組合、隨機(jī)事件、古典概型、幾何概型、離散型隨機(jī)變量及其分布列、條件概率、二項(xiàng)分布、離散型隨機(jī)變量的均值與方差、正態(tài)分布等概念，研究事件的概率，注意該事件的特征，用適當(dāng)?shù)母怕誓Ｐ颓蠼?2)注意各類概率公式和概率模型的理解和應(yīng)用，掌握其適用條件和用法2抓住重點(diǎn)、針對(duì)訓(xùn)練通過對(duì)近5年全國(guó)卷高考試題分析，可以預(yù)測(cè)，在2017年，本章問題考查的重點(diǎn)是：(1)計(jì)數(shù)原理、二項(xiàng)式定理、古典概型、幾何概型(2)離散型隨機(jī)變量及其分布列、期望與方差做針對(duì)性訓(xùn)練，通過小題強(qiáng)化概率各種題型的計(jì)算，通過解答題訓(xùn)練鞏固離散型隨機(jī)變量及分布列問題3重視轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用研究計(jì)數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量及其分布列問題，轉(zhuǎn)化與化歸思想貫穿始終，首先需要將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的計(jì)數(shù)問題、排列組合問題、概率計(jì)算問題、離散型隨機(jī)變量的分布列與均值、方差等的計(jì)算問題，其次將概率的計(jì)算轉(zhuǎn)化為計(jì)數(shù)問題、長(zhǎng)度或面積的計(jì)算問題，將求分布列問題轉(zhuǎn)化為概率的計(jì)算問題，將復(fù)雜事件的概率計(jì)算轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單事件的概率計(jì)算第一節(jié)分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理 考綱傳真1.理解分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理.2.能正確區(qū)分“類”和“步”，并能利用兩個(gè)原理解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題1分類加法計(jì)數(shù)原理完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有Nmn種不同的方法2分步乘法計(jì)數(shù)原理完成一件事需要兩個(gè)步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有Nm×n種不同的方法1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)在分類加法計(jì)數(shù)原理中，兩類不同方案中的方法可以相同()(2)在分類加法計(jì)數(shù)原理中，每類方案中的方法都能直接完成這件事()(3)在分步乘法計(jì)數(shù)原理中，每個(gè)步驟中完成這個(gè)步驟的方法是各不相同的()(4)在分步乘法計(jì)數(shù)原理中，事情是分兩步完成的，其中任何一個(gè)單獨(dú)的步驟都能完成這件事()答案(1)×(2)(3)(4)×2(教材改編)從0,1,2,3,4,5這六個(gè)數(shù)字中，任取兩個(gè)不同數(shù)字相加，其和為偶數(shù)的不同取法的種數(shù)有()A30B.20C.10D.6D從0,1,2,3,4,5六個(gè)數(shù)字中，任取兩數(shù)和為偶數(shù)可分為兩類：取出的兩數(shù)都是偶數(shù)，共有3種方法；取出的兩數(shù)都是奇數(shù)，共有3種方法，故由分類加法計(jì)數(shù)原理得共有N336種3從集合0,1,2,3,4,5,6中任取兩個(gè)互不相等的數(shù)a，b組成復(fù)數(shù)abi，其中虛數(shù)有()A30個(gè) B.42個(gè)C.36個(gè) D.35個(gè)Cabi為虛數(shù)，b0，即b有6種取法，a有6種取法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理知可以組成6×636個(gè)虛數(shù)4(2016·全國(guó)卷)如圖10­1­1，小明從街道的E處出發(fā)，先到F處與小紅會(huì)合，再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動(dòng)，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為()圖10­1­1A24 B.18C.12 D.9B分兩步，第一步，從EF，有6條可以選擇的最短路徑；第二步，從FG，有3條可以選擇的最短路徑由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知有6×318條可以選擇的最短路程5.現(xiàn)有4種不同的顏色要對(duì)如圖10­1­2所示的四個(gè)部分進(jìn)行著色，要求有公共邊界的兩塊不能用同一種顏色，則不同的著色方法共有_種圖10­1­248按ABCD順序分四步涂色，共4×3×2×248種不同的著色方法分類加法計(jì)數(shù)原理(1)三個(gè)人踢毽子，互相傳遞，每人每次只能踢一下，由甲開始踢，經(jīng)過4次傳遞后，毽子又被踢回給甲，則不同的傳遞方式共有()A4種B.6種C.10種D.16種(2)(2017·青島二中月考)滿足a，b1,0,1,2，且關(guān)于x的方程ax22xb0有實(shí)數(shù)解的有序數(shù)對(duì)(a，b)的個(gè)數(shù)為() 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：01772376】A14 B.13C.12 D.10(1)B(2)B(1)分兩類：甲第一次踢給乙時(shí)，滿足條件有3種方法(如圖)，甲乙丙乙甲甲乙甲丙甲同理，甲先傳給丙時(shí)，滿足條件有3種方法由分類加法計(jì)數(shù)原理，共有336種傳遞方法(2)當(dāng)a0時(shí)，有x，b1,0,1,2，有4種可能；當(dāng)a0時(shí)，則44ab0，ab1，()當(dāng)a1時(shí)，b1,0,1,2，有4種可能；()當(dāng)a1時(shí)，b1,0,1，有3種可能；()當(dāng)a2時(shí)，b1,0，有2種可能有序數(shù)對(duì)(a，b)共有443213個(gè)規(guī)律方法1.第(2)題常見的錯(cuò)誤：(1)想當(dāng)然認(rèn)為a0；(2)誤認(rèn)為ab.2分類標(biāo)準(zhǔn)是運(yùn)用分類計(jì)數(shù)原理的難點(diǎn)所在，應(yīng)抓住題目中的關(guān)鍵詞、關(guān)鍵元素、關(guān)鍵位置(1)根據(jù)題目特點(diǎn)恰當(dāng)選擇一個(gè)分類標(biāo)準(zhǔn)(2)分類時(shí)應(yīng)注意完成這件事情的任何一種方法必須屬于某一類，并且分別屬于不同種類的兩種方法是不同的方法，不能重復(fù)變式訓(xùn)練1從集合1,2,3，10中任意選出三個(gè)不同的數(shù)，使這三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，這樣的等比數(shù)列的個(gè)數(shù)為()A3B.4C.6D.8D以1為首項(xiàng)的等比數(shù)列為1,2,4；1,3,9.以2為首項(xiàng)的等比數(shù)列為2,4,8.以4為首項(xiàng)的等比數(shù)列為4,6,9.把這4個(gè)數(shù)列的順序顛倒，又得到另外的4個(gè)數(shù)列，所求的數(shù)列共有2(211)8個(gè)分步乘法計(jì)數(shù)原理(1)(2017·山東威海模擬)某學(xué)校開設(shè)“藍(lán)天工程博覽課程”，組織6個(gè)年級(jí)的學(xué)生外出參觀包括甲博物館在內(nèi)的6個(gè)博物館，每個(gè)年級(jí)任選一個(gè)博物館參觀，則有且只有兩個(gè)年級(jí)選擇甲博物館的情況有()AC·45種B.A·54種CC·A種 D.C·54種(2)有六名同學(xué)報(bào)名參加三個(gè)智力項(xiàng)目，每項(xiàng)限報(bào)一人，且每人至多參加一項(xiàng)，則共有_種不同的報(bào)名方法(1)D(2)120(1)有兩個(gè)年級(jí)選擇甲博物館共有C種情況，其余四個(gè)年級(jí)每個(gè)年級(jí)各有5種選擇情況，故有且只有兩個(gè)年級(jí)選擇甲博物館的情況有C×54種(2)每項(xiàng)限報(bào)一人，且每人至多參加一項(xiàng)，因此可由項(xiàng)目選人，第一個(gè)項(xiàng)目有6種選法，第二個(gè)項(xiàng)目有5種選法，第三個(gè)項(xiàng)目只有4種選法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理，得共有報(bào)名方法6×5×4120種規(guī)律方法1.利用分步乘法計(jì)數(shù)原理應(yīng)注意：(1)要按事件發(fā)生的過程合理分步，即分步是有先后順序的(2)各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各步驟都完成才算完成這件事2在第(1)題中，除僅有兩個(gè)年級(jí)選擇甲博物館外，其余4個(gè)年級(jí)易錯(cuò)誤認(rèn)為有45種選擇方法導(dǎo)致錯(cuò)選A項(xiàng)變式訓(xùn)練2(1)設(shè)集合A1,0,1，B0,1,2,3，定義A*B(x，y)|xAB，yAB，則A*B中元素的個(gè)數(shù)為_(2)將甲、乙、丙、丁四名學(xué)生分到兩個(gè)不同的班，每個(gè)班至少分到一名學(xué)生，且甲、乙兩名學(xué)生不能分到同一個(gè)班，則不同的分法的種數(shù)為_(用數(shù)字作答)(1)10(2)8(1)易知AB0,1，AB1,0,1,2,3，x有2種取法，y有5種取法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理，A*B的元素有2×510個(gè)(2)第1步把甲、乙分到不同班級(jí)有A2種分法第2步分丙、丁：丙、丁分到同一班級(jí)有2種分法，丙、丁分到兩個(gè)不同的班級(jí)有A2種分法由計(jì)數(shù)原理，不同的分法為2×(22)8種兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用(1)(2017·杭州調(diào)研)已知集合M1,2,3,4，集合A，B為集合M的非空子集，若對(duì)xA，yB，x<y恒成立，則稱(A，B)為集合M的一個(gè)“子集對(duì)”，則集合M的“子集對(duì)”共有_個(gè) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：01772377】(2)如圖10­1­3，矩形的對(duì)角線把矩形分成A，B，C，D四部分，現(xiàn)用5種不同顏色給四部分涂色，每部分涂1種顏色，要求共邊的兩部分顏色互異，則共有_種不同的涂色方法圖10­1­3(1)17(2)260(1)當(dāng)A1時(shí)，B有231種情況；當(dāng)A2時(shí)，B有221種情況；當(dāng)A3時(shí)，B有1種情況；當(dāng)A1,2時(shí)，B有221種情況；當(dāng)A1,3，2,3，1,2,3時(shí)，B均有1種情況，所以滿足題意的“子集對(duì)”共有7313317(個(gè))(2)區(qū)域A有5種涂色方法；區(qū)域B有4種涂色方法；區(qū)域C的涂色方法可分2類：若C與A涂同色，區(qū)域D有4種涂色方法；若C與A涂不同色，此時(shí)區(qū)域C有3種涂色方法，區(qū)域D也有3種涂色方法，所以共有5×4×45×4×3×3260種涂色方法規(guī)律方法1.(1)注意在綜合應(yīng)用兩個(gè)原理解決問題時(shí)，一般是先分類再分步在分步時(shí)可能又用到分類加法計(jì)數(shù)原理(2)注意對(duì)于較復(fù)雜的兩個(gè)原理綜合應(yīng)用的問題，可恰當(dāng)?shù)禺嫵鍪疽鈭D或列出表格，使問題形象化、直觀化2解決涂色問題，可按顏色的種數(shù)分類，也可按不同的區(qū)域分步完成，第(2)題中，由于共邊的區(qū)域不同色，從而是按區(qū)域A與區(qū)域C是否同色分類處理的變式訓(xùn)練3(2017·廈門市聯(lián)考)用a代表紅球，b代表藍(lán)球由加法原理及乘法原理，從1個(gè)紅球和1個(gè)藍(lán)球中取出若干個(gè)球的所有取法可由(1a)(1b)的展開式1abab表示出來，如：“1”表示一個(gè)球都不取，“a”表示取出一個(gè)紅球，而“ab”則表示把紅球和藍(lán)球都取出來以此類推，下列各式中，其展開式可用來表示從5個(gè)無區(qū)別的紅球、5個(gè)無區(qū)別的藍(lán)球中取出若干個(gè)球，且所有的藍(lán)球都取出或都不取出的所有取法的是()A(1aa2a3a4a5)(1b5)B(1a5)(1bb2b3b4b5)C(1a)5(1bb2b3b4b5)D(1a5)(1b5)A分兩步：第一步，5個(gè)無區(qū)別的紅球可能取出0個(gè)，1個(gè)，5個(gè)，則有1aa2a3a4a5種不同的取法第二步，5個(gè)無區(qū)別的藍(lán)球都取出或都不取出，則有1b5種不同取法由分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有(1aa2a3a4a5)(1b5)種取法思想與方法1分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理，都涉及完成一件事的不同方法的種數(shù)區(qū)別在于：分類加法計(jì)數(shù)原理與分類有關(guān)，各種方法相互獨(dú)立，用其中的任一種方法都可以完成這件事；分步乘法計(jì)數(shù)原理與分步有關(guān)，各個(gè)步驟相互依存，只有各個(gè)步驟都完成了，這件事才算完成2涉及加法與乘法原理的混合問題一般是先分類再分步3要恰當(dāng)畫出示意圖或樹狀圖，使問題的分析更直觀、清楚，便于探索規(guī)律易錯(cuò)與防范1切實(shí)理解“完成一件事”的含義，以確定需要分類還是需要分步進(jìn)行2分類的關(guān)鍵在于要做到“不重不漏”，分步的關(guān)鍵在于要正確設(shè)計(jì)分步的程序，即合理分類，準(zhǔn)確分步3確定題目中是否有特殊條件限制