2018屆高三數(shù)學一輪復習： 重點強化課4 直線與圓

重點強化課(四)直線與圓復習導讀1.本部分的主要內(nèi)容是直線方程和兩條直線的位置關(guān)系、圓的方程、直線與圓的位置關(guān)系.2.高考對本部分的考查主要涉及直線的傾斜角與斜率的關(guān)系、兩直線的位置關(guān)系的判斷；距離公式的應(yīng)用、圓的方程的求法以及直線與圓的位置關(guān)系，常與向量、橢圓、雙曲線、拋物線的幾何性質(zhì)相結(jié)合考查.3.另外，應(yīng)認真體會數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，充分利用直線、圓的幾何性質(zhì)簡化運算重點1直線方程與兩直線的位置關(guān)系(1)(2017·江西南昌模擬)直線(2m1)x(m1)y7m40過定點()【導學號：01772303】A(1，3)B.(4,3)C(3,1) D.(2,3)(2)(2017·濟南調(diào)研)一條光線從點(2，3)射出，經(jīng)y軸反射后與圓(x3)2(y2)21相切，則反射光線所在直線的斜率為()A或 B.或C或 D.或(1)C(2)D(1)2mxxmyy7m40，即(2xy7)m(xy4)0，由解得則直線過定點(3,1)(2)由已知，得點(2，3)關(guān)于y軸的對稱點為(2，3)，由入射光線與反射光線的對稱性，知反射光線一定過點(2，3)設(shè)反射光線所在直線的斜率為k，則反射光線所在直線的方程為y3k(x2)，即kxy2k30.由反射光線與圓相切，則有d1，解得k或k.規(guī)律方法1.直線過定點問題，可將直線中的參數(shù)賦值，解方程組得交點坐標2直線方程常與直線垂直、平行、距離等知識交匯考查，考查直線方程的求法以及直線間的位置關(guān)系等注意數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想的應(yīng)用對點訓練1(2017·福建龍巖二模)已知m，n為正整數(shù)，且直線2x(n1)y20與直線mxny30互相平行，則2mn的最小值為()A7 B.9C11 D.16B直線2x(n1)y20與直線mxny30互相平行，2nm(n1)，m2nmn，又m>0，n>0，得1.2mn(2mn)5529.當且僅當時取等號2mn的最小值為9.重點2圓的方程(1)若圓x2y2ax2y10與圓x2y21關(guān)于直線yx1對稱，過點C(a，a)的圓P與y軸相切，則圓心P的軌跡方程為() 【導學號：01772304】Ay24x4y80B.y22x2y20Cy24x4y80 D.y22xy10(2)(2015·全國卷)過三點A(1,3)，B(4,2)，C(1，7)的圓交y軸于M，N兩點，則|MN|()A2 B.8C4 D.10(1)C(2)C(1)由圓x2y2ax2y10與圓x2y21關(guān)于直線yx1對稱，可知兩圓半徑相等且兩圓圓心連線的中點在直線yx1上，故可得a2，即點C(2,2)過點C(2,2)且與y軸相切的圓的圓心的軌跡方程為(x2)2(y2)2x2，整理得y24x4y80.(2)設(shè)圓的方程為x2y2DxEyF0，則解得圓的方程為x2y22x4y200.令x0，得y22或y22，M(0，22)，N(0，22)或M(0，22)，N(0，22)，|MN|4.規(guī)律方法求圓的方程時，應(yīng)根據(jù)條件選用合適的圓的方程一般來說，求圓的方程有兩種方法：(1)幾何法，通過研究圓的性質(zhì)進而求出圓的基本量確定圓的方程時，常用到的圓的三個性質(zhì)：圓心在過切點且垂直切線的直線上；圓心在任一弦的中垂線上；兩圓內(nèi)切或外切時，切點與兩圓圓心三點共線(2)代數(shù)法，即設(shè)出圓的方程，用待定系數(shù)法求解對點訓練2(2017·河北唐山二模)直線l：1與x軸、y軸分別相交于點A，B，O為坐標原點，則OAB內(nèi)切圓的方程為_ 【導學號：01772305】(x1)2(y1)21由題意，設(shè)OAB的內(nèi)切圓的圓心為M(m，m)，則半徑為|m|.直線l的方程1可化為3x4y120，由題意可得m，解得m1或m6(不符合題意，舍去)OAB內(nèi)切圓的方程為(x1)2(y1)21.重點3直線與圓的綜合問題角度1圓的切線如圖1，已知圓C與x軸相切于點T(1,0)，與y軸正半軸交于兩點A，B(B在A的上方)，且|AB|2.(1)圓C的標準方程為_；(2)圓C在點B處的切線在x軸上的截距為_圖1(1)(x1)2(y)22(2)1(1)由題意知點C的坐標為(1，)，圓的半徑r.所以圓的方程為(x1)2(y)22.(2)在(x1)2(y)22中，令x0，解得y±1，故B(0，1)直線BC的斜率為1，故切線的斜率為1，切線方程為yx1.令y0，解得x1，故所求截距為1.角度2直線與圓相交的弦長問題(2016·全國卷)已知直線l：mxy3m0與圓x2y212交于A，B兩點，過A，B分別作l的垂線與x軸交于C，D兩點若|AB|2，則|CD|_.4由直線l：mxy3m0知其過定點(3，)，由圓x2y212知半徑r2，又|AB|2，所以圓心O到直線l的距離為d.由|AB|2得2()212，解得m.又直線l的斜率為m，所以直線l的傾斜角.畫出符合題意的圖形如圖所示，過點C作CEBD，則DCE.在RtCDE中，可得|CD|2×4.角度3直線、圓與相關(guān)知識的交匯(2015·全國卷)已知過點A(0,1)且斜率為k的直線l與圓C：(x2)2(y3)21交于M，N兩點(1)求k的取值范圍；(2)若·12，其中O為坐標原點，求|MN|.解(1)由題設(shè)可知直線l的方程為ykx1.2分因為直線l與圓C交于兩點，所以<1，解得<k<.所以k的取值范圍為.5分(2)設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)將ykx1代入方程(x2)2(y3)21，整理得(1k2)x24(1k)x70.所以x1x2，x1x2.8分·x1x2y1y2(1k2)x1x2k(x1x2)18.由題設(shè)可得812，解得k1，所以直線l的方程為yx1.故圓心C在直線l上，所以|MN|2.12分規(guī)律方法1.研究直線與圓的位置關(guān)系最常用的方法為幾何法，將代數(shù)問題幾何化，利用數(shù)形結(jié)合思想解題2(1)圓與直線l相切的情形：圓心到l的距離等于半徑，圓心與切點的連線垂直于l.(2)過圓內(nèi)一點的所有弦中，最短的是垂直于過這點的直徑的那條弦，最長的是過這點的直徑(3)與弦長有關(guān)的問題常用幾何法，即利用圓的半徑r，圓心到直線的距離d，及半弦長，構(gòu)成直角三角形的三邊，利用其關(guān)系來處理