2018屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)： 選修4-4 第2節(jié)參數(shù)方程

第二節(jié)參數(shù)方程 考綱傳真1.了解參數(shù)方程，了解參數(shù)的意義.2.能選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)寫出直線、圓和橢圓曲線的參數(shù)方程1曲線的參數(shù)方程一般地，在平面直角坐標(biāo)系中，如果曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)x，y都是某個(gè)變數(shù)t的函數(shù)并且對(duì)于t的每一個(gè)允許值，由這個(gè)方程組所確定的點(diǎn)M(x，y)都在這條曲線上，那么這個(gè)方程組就叫做這條曲線的參數(shù)方程，聯(lián)系變數(shù)x，y的變數(shù)t叫做參變數(shù)，簡稱參數(shù)2參數(shù)方程與普通方程的互化通過消去參數(shù)從參數(shù)方程得到普通方程，如果知道變數(shù)x，y中的一個(gè)與參數(shù)t的關(guān)系，例如xf(t)，把它代入普通方程，求出另一個(gè)變數(shù)與參數(shù)的關(guān)系yg(t)，那么就是曲線的參數(shù)方程在參數(shù)方程與普通方程的互化中，必須使x，y的取值范圍保持一致3常見曲線的參數(shù)方程和普通方程點(diǎn)的軌跡普通方程參數(shù)方程直線yy0tan (xx0)(t為參數(shù))圓x2y2r2(為參數(shù))橢圓1(a>b>0)(為參數(shù))溫馨提示：在直線的參數(shù)方程中，參數(shù)t的系數(shù)的平方和為1時(shí)，t才有幾何意義且?guī)缀我饬x為：|t|是直線上任一點(diǎn)M(x，y)到M0(x0，y0)的距離1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)參數(shù)方程中的x，y都是參數(shù)t的函數(shù)()(2)過M0(x0，y0)，傾斜角為的直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))參數(shù)t的幾何意義表示：直線l上以定點(diǎn)M0為起點(diǎn)，任一點(diǎn)M(x，y)為終點(diǎn)的有向線段的數(shù)量()(3)方程表示以點(diǎn)(0,1)為圓心，以2為半徑的圓()(4)已知橢圓的參數(shù)方程(t為參數(shù))，點(diǎn)M在橢圓上，對(duì)應(yīng)參數(shù)t，點(diǎn)O為原點(diǎn)，則直線OM的斜率為.()答案(1)(2)(3)(4)×2(教材改編)曲線(為參數(shù))的對(duì)稱中心()A在直線y2x上B.在直線y2x上C在直線yx1上 D.在直線yx1上B由得所以(x1)2(y2)21.曲線是以(1,2)為圓心，1為半徑的圓，所以對(duì)稱中心為(1,2)，在直線y2x上3(教材改編)在平面直角坐標(biāo)系中，曲線C：(t為參數(shù))的普通方程為_xy10由x2t，且y1t，消去t，得xy1，即xy10.4在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系曲線C1的極坐標(biāo)方程為(cos sin )2，曲線C2的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，則C1與C2交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為_(2，4)由(cos sin )2，得xy2.由消去t得y28x.聯(lián)立得即交點(diǎn)坐標(biāo)為(2，4)5(2016·江蘇高考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，橢圓C的參數(shù)方程為(為參數(shù))設(shè)直線l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，求線段AB的長解橢圓C的普通方程為x21.2分將直線l的參數(shù)方程代入x21，得21，即7t216t0，8分解得t10，t2，所以AB|t1t2|.10分參數(shù)方程與普通方程的互化已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，圓C的參數(shù)方程為(為參數(shù))(1)求直線l和圓C的普通方程；(2)若直線l與圓C有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解(1)直線l的普通方程為2xy2a0，2分圓C的普通方程為x2y216.4分(2)因?yàn)橹本€l與圓C有公共點(diǎn)，故圓C的圓心到直線l的距離d4，8分解得2a2.10分規(guī)律方法1.將參數(shù)方程化為普通方程，消參數(shù)常用代入法、加減消元法、三角恒等變換消去參數(shù)2把參數(shù)方程化為普通方程時(shí)，要注意哪一個(gè)量是參數(shù)，并且要注意參數(shù)的取值對(duì)普通方程中x及y的取值范圍的影響，要保持同解變形變式訓(xùn)練1在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若直線l：(t為參數(shù))過橢圓C：(為參數(shù))的右頂點(diǎn)，求常數(shù)a的值. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：01772440】解直線l的普通方程為xya0，橢圓C的普通方程為1，4分所以橢圓C的右頂點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0)，若直線l過橢圓的右頂點(diǎn)(3,0)，則30a0，所以a3.10分參數(shù)方程的應(yīng)用已知曲線C：1，直線l：(t為參數(shù)). 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：01772441】(1)寫出曲線C的參數(shù)方程，直線l的普通方程；(2)過曲線C上任意一點(diǎn)P作與l夾角為30°的直線，交l于點(diǎn)A，求|PA|的最大值與最小值解(1)曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù))直線l的普通方程為2xy60.4分(2)曲線C上任意一點(diǎn)P(2cos ，3sin )到l的距離為d|4cos 3sin 6|，則|PA|5sin()6|，其中為銳角，且tan .8分當(dāng)sin()1時(shí)，|PA|取得最大值，最大值為.當(dāng)sin()1時(shí)，|PA|取得最小值，最小值為.10分規(guī)律方法1.解決直線與圓的參數(shù)方程的應(yīng)用問題時(shí)，一般是先化為普通方程，再根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系來解決問題2對(duì)于形如(t為參數(shù))，當(dāng)a2b21時(shí)，應(yīng)先化為標(biāo)準(zhǔn)形式后才能利用t的幾何意義解題變式訓(xùn)練2(2017·石家莊質(zhì)檢)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的參數(shù)方程為(為參數(shù))，直線l經(jīng)過點(diǎn)P(1,2)，傾斜角.(1)寫出圓C的普通方程和直線l的參數(shù)方程；(2)設(shè)直線l與圓C相交于A，B兩點(diǎn)，求|PA|·|PB|的值解(1)由消去，得圓C的普通方程為x2y216.2分又直線l過點(diǎn)P(1,2)且傾斜角，所以l的參數(shù)方程為即(t為參數(shù)).4分(2)把直線l的參數(shù)方程代入x2y216，得2216，t2(2)t110，所以t1t211，8分由參數(shù)方程的幾何意義，|PA|·|PB|t1t2|11.10分參數(shù)方程與極坐標(biāo)方程的綜合應(yīng)用(2016·全國卷)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(為參數(shù))以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為sin2.(1)寫出C1的普通方程和C2的直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)點(diǎn)P在C1上，點(diǎn)Q在C2上，求|PQ|的最小值及此時(shí)P的直角坐標(biāo)解(1)C1的普通方程為y21，2分由于曲線C2的方程為sin2，所以sin cos 4，因此曲線C2的直角坐標(biāo)方程為xy40.4分(2)由題意，可設(shè)點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(cos ，sin )因?yàn)镃2是直線，所以|PQ|的最小值即為P到C2的距離d()的最小值，8分又d()，當(dāng)且僅當(dāng)2k(kZ)時(shí)，d()取得最小值，最小值為，此時(shí)P的直角坐標(biāo)為.10分規(guī)律方法1.參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程的綜合題，求解的一般方法是分別化為普通方程和直角坐標(biāo)方程后求解當(dāng)然，還要結(jié)合題目本身特點(diǎn)，確定選擇何種方程2數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用，即充分利用參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義，或者利用和的幾何意義，直接求解，可化繁為簡變式訓(xùn)練3(2017·石家莊市質(zhì)檢)在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C的極坐標(biāo)方程為4sin 2cos .(1)求直線l的普通方程與曲線C的直角坐標(biāo)方程；(2)若直線l與y軸的交點(diǎn)為P，直線l與曲線C的交點(diǎn)為A，B，求|PA|PB|的值解(1)直線l的普通方程為xy30，24sin 2cos ，曲線C的直角坐標(biāo)方程為(x1)2(y2)25.4分(2)將直線l的參數(shù)方程(t為參數(shù))代入曲線C：(x1)2(y2)25，得到t22t30，8分t1t23，|PA|PB|t1t2|3.10分思想與方法1參數(shù)方程化普通方程常用的消參技巧：代入消元、加減消元、平方后加減消元等，經(jīng)常用到公式：cos2sin21,1tan2.2利用曲線的參數(shù)方程求解兩曲線間的最值問題是行之有效的好方法3將參數(shù)方程化為普通方程，將極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，然后在直角坐標(biāo)系下對(duì)問題求解，化生為熟，充分體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用易錯(cuò)與防范1將參數(shù)方程化為普通方程時(shí)，要注意兩種方程的等價(jià)性在消去參數(shù)的過程中，要注意x，y的取值范圍2確定曲線的參數(shù)方程時(shí)，一定要根據(jù)實(shí)際問題的要求確定參數(shù)的取值范圍，必要時(shí)通過限制參數(shù)的范圍去掉多余的解3設(shè)過點(diǎn)M(x0，y0)的直線l交曲線C于A，B兩點(diǎn)，若直線的參數(shù)方程為(t為參數(shù))注意以下兩個(gè)結(jié)論的應(yīng)用：(1)|AB|t1t2|；(2)|MA|·|MB|t1·t2|.